高数考研大一下下

1、1,第三讲 重积分的计算法及其应用,1. 重积分计算的基本方法,一. 方法指导,累次 积分法,逐次积分,混合积分,先一后二 (穿针法),先二后一 (切片法),二次积分,三次积分,（ 包括 5-1 ， 5 -2 ， 5 - 5 部分 ）,2,具体注意以下几点, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限,域边界应尽量多为坐标轴或面,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 由内到外: 面 , 线 , 点 ),3,2. 重积分计算的主要技巧,(1) 消去绝对值符号,分区域积分,利用对称性,(2) 利用对称性简化计算, 选取坐标系时要考虑对称性, 被积

2、函数和积分域的对称性要匹配, 添加辅助线或面，化区域为对称, 利用形心公式简化计算,(3) 重积分的换元积分法,4, 二重积分的换元公式, 且,则,最常用的换元公式,极坐标变换,广义极坐标变换,5, 三重积分的换元公式 ( P309 ),若,且,则,其中,6,柱坐标变换,最常用的换元公式,球坐标变换,广义球坐标变换,7,3. 重积分的应用,(1) 解决的问题 : 分布在平面域或空间域上具有可加性,(2) 解决的方法 : 微元分析法,求微分表达式,求积分表达式,(3) 主要应用问题 :,几何方面:,面积 , 体积 , 形心,物理方面:,质量 , 转动惯量 , 质心 , 引力,二 . 实例分析,二

3、重积分部分,的整体量,8,附：将,化成极坐标下的二次积分。,9,附：将,化成极坐标下的二次积分。,10,3.,附：将,化成极坐标下的二次积分。,11,例1. 计算,其中,( P281 例3 ),解:,12,例2. 计算二次积分,解: 作积分域如图.,选用极坐标系,( P282 例5(2) ),13,例3,计算,解：求曲线的交点,14,例4 计算,(2) D 由直线 y = x , y = 1 及 x = 1 围成.,( P286 例7 ),解: (1) 利用对称性,有,(2),利用对称性, 有,添加辅助线,分,为,15,例5. 计算二重积分,解:,其中,利用对称性,分区域 D 为,(如图) ,

4、则,用形心公式,16,例6. 计算,，其中,解法一：,17,例6. 计算,，其中,解法2,令,18,练习:,( P467 例4),19,练习、区域D由曲线,围成，,（）；,，故选择,A、,B、,C、,D、,2012考研,解,20,例7 设D由xoy平面上以点,为顶点的三角形区域，D1是D的第一象限部分，则,( P486 例2 ),( ),21,例8,解:,计算,(10年考研),22,例9. 设,为连续函数，则,( 考研2001 ),23,例10 设,表示不超过,的最大整数，,计算,解法1,记,则有,于是,( 考研2008 ),24,例10. 设,( 考研2008 ),表示不超过,的最大整数，,

5、计算,解法2,25,例11.,解：因为,已知函数,具有二阶连续偏导数，且,其中,，计算,。,所以,从而,( 2011考研 ),26,例12 计算,，其中区域D为曲线,与极轴围成。,2012考研,解,27,练习、计算,，其中D由曲线,与,及y轴所围成。,2012考研,解,28,例13 设,连续，则二次积分,（）；,解 作图，,得y的下界为,得y的上界为,故排除,将极坐标下的二重积分化为直角坐标系下的,，故选择,得被积函数为,A、,B、,C、,D、,2012考研,D,二重积分，,29,例14 求,其中,( P294 例14 ),解: 令, 则域 D 的原像为,30,例15 求,其中D 由曲线,与x

6、,y轴所围区域 .,解: 令,则积分区域 D 的原像为,31,例16 求,其中D 为直线 x + y = 2,与坐标轴所围区域 . ( P292 例12 ),解: 令,则积分区域 D 的原像为,32,例17. 证明:,( P288 例10(2) ),证:由左边积分式作积分域如图,交换积分顺序, 得,左边 =,= 右边,33,例18. 设,证法1. 利用变限积分 .,则,令,左边 =,= 右边,证明,34,例18 .设,证明,证法2. 左端,同时改变积分变量的字母, 左端 =,= 右端,(考研95),35,例18. 设,证明,证法3. 利用轮换对称性 .,即,故 左边 =,= 右边,36,设,且

7、,求,证,例19,因为,连续，故设,，所以,37,练习.,设,，求证：,证：令,，则,原式=,又,所以，原式=,38,例20. 证明:,其中,解:,又D 的面积为 1,故有,技巧: 利用题中 x , y 位置的对称性,39,例21. 设,说明: 1) 其它证法参考 L. P 291 方法2, 方法3 ;,提示: 利用,在 a , b 上连续, 证明柯西不等式,( L.P290 例11 ),它关于 t 的二次三项式判别式,即,40,2) 特别当,时, 有,例21. 设,在a,b上连续, 证明柯西不等式,41,例22 计算,因为,所以,10年考研,42,例1. 计算,其中由锥面,与平面 z=1 所

8、围成. ( P300 例1 ),解:用“先二后一”计算.,设,说明: 此题也可用 “三次积分” 或 “先一后二” 计算.,三重积分部分,43,例2. 计算,解: 在球坐标系下,与平面 z=1 所围成.,其中由,锥面,即,44,例3,设 是二球域,及,的公共部分, 计算,( P368 题5(3) ),提示: 由于被积函数缺 x , y ,利用“先二后一” 计算方便 .,45,例3 .计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,解:,原式 =,46,例4. 计算,其中,解: 利用对称性和积分域的特点, 用“先二后一”方法,( P303 例5 ),47,例5. 计算,其中,围成. (P304

9、例6),解:,利用对称性,48,例6. 计算,其中,围成. (P305例7),解: 作辅助曲面,将分成上下两部分:,则,由,与,49,例7,设,求,提示:,利用球坐标.,50,例8. 计算,( P310 例12 ),解:利用球坐标系,积分域为,51,例9. 计算,( P309 例11 ),解: 积分域为平面 x + y + z =1 与三个坐标面所围四,交换积分顺序， 得,面体 ,52,例10. 计算,所围成.,其中由,解：,思考：若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便 ?,53,例11. 设,存在, 求,其中:,( P307 例8 (1),解: 在球坐标系下,利用洛必达法则, 得,

10、说明: 陕西90年竞赛题为求,54,例1.,求由曲面,柱面,以及平面,解：该立体向xoy面作投影，投影区域D：,所围的立体的体积。,重积分应用部分,55,例2 .求曲面,和,所围闭区域的体积.,解：方法1,或,方法2,56,例3,已知两个球的半径分别为a和b,的球心在大球的球面上，,建立直角坐标系：故有,，于是,且小球的,解：以两球心所在直线为z轴，,以大球球心为原点,试求小球在大球内的那一部,分的体积。,57,例4. 求曲线,所围图形的面积 (P355例1),解: 在极坐标系下,曲线为,利用对称性有,58,例5. 求由曲面,和,所围成的体积 V 和表面积 S .,解: 易求出,利用二重积分,

11、 得,59,例6,已知,则,提示:,其形心为,其体积为,60,例7 计算,10年考研,设,则,的形心坐标,；,解,61,例8. 设面密度为 1 的均匀薄片由曲线,与直线,围成 , 分别求其关于原点及直线 的转动惯量,( P360 例5 ),解:,思考: 如何求该薄片关于直线,的转动惯量 ?,62,例9. 在均匀半球下方接一个半径相同的均匀圆柱体 ,使其形心在球心处, 求圆柱半径与其高之比.,解: 如图所示, 设半球体密度为,柱体的体密度为,利用,得,即,63,( t 为时间) 的雪堆在融化,过程中,设长度单位为厘米 ,时间单位为小时,设有一高度为,其侧面满足方程,已知体积减少的速率与侧面积成正,比 (比例系数 0