信号与系统拉普拉斯变换分析法二.ppt

1、2,4.8 系统函数的零、极点对系统特性的影响 4.8.1 零点与极点的概念 4.8.2 系统函数的极点分布与响应模式的关系 4.8.3 从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,=,H ( s) =,=,= H 0,k,j,bm,3,4.8.1 零点与极点的概念(1),H ( s) =,N ( s) bm s m + bm 1 s m 1 + L + b1 s + b0 D( s) an s n + an 1 s n 1 + L + a1 s + a0,零点（Zero）：分子多项式 N ( s) = 0 的根,极点（Pole）：分母多项式 D

2、( s) = 0 的根 N ( s) bm ( s z1 )( s z2 )L( s zm ) D( s) an ( s p1 )( s p2 )L( s pn ) z j ( j = 1,2,L, m ) 系统函数的零点 pk (k = 1,2,L, n) 系统函数的极点 H 0 = 标量系数 an,m ( s z j =1 n ( s p k =1,) ),电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,j,j,(2),4,4.8.1 零点与极点的概念(2) 零、极点图：把系统函数的零点与极点表示在S平面上的图形 零点有O表示，极点用X表示。若为n重零点或极点，则注以(n),如 H (

3、s) =,s 2 ( s + 3) ( s + 1)( s + 2 + j )( s + 2 j ),研究零、极点的意义： 从系统函数的极点分布 可以知道系统响应具有 的模式，从而可以了解 系统是否稳定。 从系统函数的零、极点 分布可以求得系统的频, 3, 2, 1,0 j,率响应特性，从而可以 分析系统的正弦稳态响,应特性。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,5,4.8.2系统函数的极点分布与响应模式的关系 j,0,t,0,t,0 0,t,0,t 系统稳定,0,t,0 系统不稳定,t,系统临界稳定不稳定 （单极点重极点） 零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位,电路基础

4、教学部,2004年12月7日11时17分,j z1,H ( ) = H 0,N 1,N 1,0,1,6,4.8.3 从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(1) 稳定系统（H(s)极点均位于s平面左半平面） H ( ) = H ( s) |s = j =| H ( ) | e j ( ),以 H ( s) = H 0,( s z1 ) ( s p1 )( s p2 ),为例来说明频率响应性质的确定,( j p1 )( j p2 ) H ( ) = H 0 M 1 M 2 | H ( ) |= H 0 ( ) = 1 1 2 M 1 M 2,p1 p2, M1 M 2 2, 1,j N1 z1

5、,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,U ( s) R,j,1,N,7,4.8.3 从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(2) 例：分析如图所示RC高通滤波器的频率响应特性,解：H ( s) = 2 = U1 ( s) R + 1 sC H ( ) = j + RC,=,s + j,s 1 RC, + U1 ( s) 1 1 / 2,1 sC | H ( ) |,R, + U 2 ( s) ,| H ( ) |= M ( ) = , M , N 0,0 90 45,1 /( RC ) ( ),0,1 /( RC ),电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,N,8,4

6、.8.3 从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(3) 例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。,解：, M p,j 0, N,z,H 0 0,| H ( ) |,| p |=| z | | H ( ) |= H 0 M ( ) = ,180 0, ( ),电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,*,9,4.8.3 从系统函数的零、极点分布确定频率响应特性(4),例：系统函数的零、极点图如图示，求系统的频率响应特性。,解：,p1, M1,j N z,H 0 2,0,| H ( ) | 0,一般情况下，可以认 为，若系统有一对非 常靠近虚轴的共轭极 点 p1, 2 =

7、j 0 ，则 在 = 0 附近处，幅频, M 2,0, ( ),特性出现峰值，相频 特性迅速减小。,p2 p1 = + j 0 = p2 ( 0 ),90 0 90, 0,若系统有一对非常靠 近 虚 轴 的 共 轭 零 点 z1, 2 = j 0 ，则 在 = 0 附近处，幅频 特性出现谷值，相频,特性迅速上升。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,10,4.9 系统稳定性判别(1) 稳定系统的含义 对于有界的激励产生有界的响应的系统称为稳定系统。 系统稳定性 稳定系统：H(s)的极点全部位于s左半平面（不包括虚轴） 不稳定系统： H(s)的极点至少有一个位于s右半平面，或在 虚

8、轴上有重极点 临界稳定系统： H(s) 的极点位于虚轴上，且为单极点。 系统稳定的充要条件 H(s)的极点全部位于s左半平面（不包括虚轴）,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,D,11,4.9 系统稳定性判别(2),稳定系统性判别 H ( s) =,N ( s) D( s),劳斯霍尔维茨准则 若系统的特征方程为： ( s) = an s n + an1 s n1 + L + a1 s + a0 = 0 则特征方程的根全部位于s左半平面的充要条件是 D(s)的全部系统为正，且不为零; 劳斯表（劳斯阵列）中第1列元素的符号相同。 对于二阶系统，系统稳定的充要条件：D(s)各次系数为正

9、。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,n 1,12,4.9 系统稳定性判别(3) 劳斯表（劳斯阵列）D( s) = an s n + an1 s n1 + L + a1 s + a0 = 0,第1行 s n 第2行 s 第3行 s n 2 第4行 s n 3 第5行 s n 4 直到n+1行,an an1 cn1 d n1 en1 M,an 2 an 3 cn 3 d n 3 en 3 M,an4 L an5 L cn 5 L d n 5 L en 5 L M O,cn1 = cn 3 = M d n1 = d n 3 = M,1 an an1 an1 1 an an1 an1

10、 1 an1 cn1 cn1 1 an1 cn1 cn1,an 2 an 3 an 4 an 6 an 3 cn 3 an 5 cn 5,如果劳斯表中第1列各元素的符号不尽相同，则称号改变 的次数即为系统特征方程的根位于s右半平面的数目。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,D,2,=,0,0,13,4.9 系统稳定性判别(4),例：已知某系统的特征方程为： ( s) = 2s 4 + s 3 + 3s 2 + 5s + 10 = 0，,试判断该系统的稳定性。,解：排出劳斯表,第1行 s 第2行 s,4 3,2 1,3 5,10 0,第3行 s,2 3 1 5,= 7,2 10

11、1 0,= 10 0,第4行 s1,1 1 5 45 7 7 10 7,0,0,第5行 s 0,7 7 10 45 45 7,= 10 0,第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位 于s右半平面，为不稳定系统。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,14,4.9 系统稳定性判别(5) 劳斯表排写过程中的两种特殊情况及其处理 劳斯表中出现某一行的第1列元素为零，而其余元素又不 全为零。可以将第1列中出现的零用一个任意小的正数来 代替，然后继续排写下去。 劳斯表尚未排写完时出现一行元素全为零。利用全零行 的前一行的元素组成一个辅助多项式，用辅助多项式导数 的系数来代替全零行

12、，再继续排写下去。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,15,4.9 系统稳定性判别(6),例：某系统的特征方程为：D( s) = s 5 + s 4 + 4s 3 + 4s 2 + 2s + 1 = 0 ，,试判断该系统的稳定性。,解：排出劳斯表,第1行 s 5 第2行 s 4 第3行 s 3 第4行 s 2 第5行 s1 第6行 s 0,1 1 (0代之以 4 1 2 + 4 1 4 1 1,4 2 4 1 1 0) 1 0 0 0 0 0,当0时，第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特 征根有两个位于s右半平面，为不稳定系统。,电路基础教学部,2004年12月7日11时17分,4,3,2,16,4.9 系统稳定性判别(7),例：已知某系统的特征方程为： D( s) = s 4 + s 3 3s 2 s + 2 = 0 ，,试判断该系统的稳定性。,解：排出劳斯表,第1行 s 第2行 s,1 1, 3 2 1 0,第3行 s 第4行 s1 第5行 s 0, 2 2 （0代之以 - 4 0 2 0,0 0) 此行用 0,dA( s) ds,的系数代替,A( s) = 2s 2 + 2 第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位 于s右半平面，为不稳定系统。,电路基础教