(白)(哈工大教材)Y量子物理-第25章

1、粒子的量子态,（空域描述）,（频域描述）,力学量的平均值,24-5 力学量的平均值与算符,一 量子力学中力学量为什么要用算符代替？,（位置确定，动量则不确定）,由于很多力学量（例如：能量、角动量）中既有坐标又有动量，所以必须统一在同一表象中计算其平均值。,但是,二 力学量与算符对应,动能,源于波粒二象性，不确定关系,例,(量子力学基本原理之三）,利用傅里叶变换,在坐标表象中,动量算符,把力学量用其对应的算符来代替就可以在同一表象中计算其平均值,也可用简便的方法引入算符；由一维定态薛定谔方程,哈密顿（ 能量）算符,在经典力学中, 哈密顿函数(能量)在非相对论近似下为,对于算符 ，如果,为常数,例

2、. 力学量 经典定义 算符 位置 动量 角动量 动能 总能量,就将经典力学的能量和量子力学中的能量算符关联起来.,三维,经典物理学中,一个粒子的状态用 描写,其他物理量,在量子力学中 对应一个算符,只要建立如下关系,第25章 氢原子的量子理论,25-1 氢原子的薛定谔方程,在氢原子中，电子的势能函数为：,考虑到势能是 r 的函数，采用球极坐标系 ( r, , )代替直角坐标 (x, y, z),由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：,式中,拉普拉斯算符,两边对x求偏导,两边对x求偏导,通常采用分离变量法求解，即设,由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：,式中,拉普拉斯算符,解此三个方程，并考虑到波

3、函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数,(1),(2),(3),能量量子化,角动量量子化,角动量空间量子化,并且可得到：,其中 和 l 是引入的常数。,选用能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的分量 为体系守恒量完全集,通常，一个力学量A1对应多个本征波函数（简并），所以一个力学量不能完全确定体系状态。完全集的力学量数等于体系的自由度数。,（它们有共同的本征波函数，且同时有确定值）,在有心力场中运动的粒子，角动量守恒，能量守恒。,在有心力场中运动的粒子有三个自由度，应该有三个力学量来描述其状态,由不确定关系发现：,粒子的能量、角动量的平方、角动量沿Z方向的,分量可以同时精确测定。,角动量的三个

4、分量中的任意两个都不能同时精确测定。,能量与r，有关,角动量的平方和角动量沿Z方向的分量与，有关,角动量大小,角动量在任何方向的投影,能量可以完全描述体系状态。,的表示式，,不对易，不能同时具有确定值,可以证明,分别和 对易，因而 分别和 同时有确定值， 注意:当 与 同时有确定值时， 和 就不确定了。,利用,的表示式，,可求出,比较:,如何用分离变量法求解氢原子的薛定谔方程？,带入上式,同乘 r2/RY,并且移项,分别得,(3),带入上式,同乘,分别得,(1),(2),(3),前面已经得到,由自然周期条件,(1),对方程 (1)求解，而又使()能满足标准化条件，就自然得出 ml 只能取 0，

5、1，2，3 等整数值。,(1),(2),把一定的 ml 值代入方程 (2)求解，又使 ()能满足标准化条件，就得出 l 只能取 0，1，2，3 等正整数值。,对于一定的 ml 必定有 l ml.,对于一定的 l , ml 的最大值只能取到 l ,即,25-2. 三个量子数,1.能量量子化和主量子数,式中 n 称为主量子数.,求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于,能量是量子化的。,n =1时得氢原子的基态能量 E1=-13.6eV,2.角动量量子化和角量子数,求解方程(2)时，要使方程有确定的解，电子绕核运动的角动量必须满足量子化条件，,n =2，3，4， 时，

6、得氢原子的其他激发态能量,（或称为轨道角动量量子数）,式中 称为角量子数或副量子数.,3. 空间量子化和磁量子数,电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：,式中 ml 称为磁量子数（或称为轨道角动量磁量子数）,求解方程(1),角动量在空间的取向只有 种可能,把一定的 l 值代入方程 (3)对 R(r)求解，分为两种情况：,式中 n 称为主量子数，且只能取 n l+1的正整数，,对于一定的 n, l 只能取 0，1，2 (n-1)共n个整数值。,(3),(a) E0，电子已不再受氢核的束缚，E可取连续值。,(b) E 0，求解方程

7、 （3），并使 R ( r ) 满足标准化条件， 求得 E必等于,氢原子处于电离状态。自由电子。,例,按光谱习惯, 把 l =0，1，2，3，4，5，6，,总之，稳定氢原子中电子的状态用一组量子数 n, l, m l 来描述,各态记作 s，p，d，f，g，h，i，,25-1,25-3 氢原子能级与光镨,离散值,氢原子能级与光谱,1) En随 n 的增加而增高;,2) 能级间距随 n 增加而减小;,其绝对值等于氢原子电离能,4) 电子 跃迁时 辐射光频率,基态电子能量,开始电离，,3) 当,1),例如 3s 曲线有两个节点,径向函数的节点数,nr为 0（ l = n-1）的态 称为圆轨道：1s，

8、2p，3d,曲线,- 最概然半径,如基态 1s 态，有,25-4. 电子的分布概率,径向概率密度P(r)定义为,例,2p态有,3d态有,2）径向位置概率分布曲线 有 个极大值峰， n 给定, 愈小，主峰位置离核越远,但峰数增多,最内层的峰离核越近。,3) n不同但 相同, 其主峰 按 n 增加顺序向离核远 的方向依次排列,4） 概率密度分布随角度的变化,电子概率密度角分布,已知氢原子的电子处于基态和第一激发态的迭加态，,处于基态的概率幅为1/2，第一激发态的概率幅为,则该迭加态的波函数,迭加态的概率密度,可以看出,概率密度,与时间有关,该迭加态不是定态,表示电子在两个定态之间过渡或跃迁,相当于

9、电子在两个能级间振动,辐射或吸收的电磁波频率,光子的能量,例：,25-5 多电子原子中的电子分布,一. 电子自旋的假设,1.正常塞曼效应,强磁场中的原子所发出的每条光谱 线都分裂为三条,2.电子自旋假设提出,(1) 光谱的精细结构 如: 钠 D1 线: 589.0nm，D2 线: 589.6nm (2) 反常塞曼效应：弱磁场中，谱线分裂为偶数 条 如: 钠D1 线 分裂为 4条，D2分裂为 6条 - 不可能由轨道运动状态引 起的 (3) 乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设,乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设,每个电子都有自旋角动量,自旋磁矩:,它在空间任意方向投影 Sz 只能取两个

10、值, 即：,电子的轨道磁矩:,3. 施特恩格拉赫实验,1927年，基态100态氢原子, （最开始用银原子做实验） 只有一个 ls 态电子, 其轨道磁矩为 0， 实验观测到氢子束被不均匀磁场分裂成两束,二 自旋磁量子数,电子自旋具有角动量的一切性质, 自旋角动量平方,的本征值是,令,自旋磁量子数ms,类比轨道角动量,与自旋角动量,所以,自旋角动量大小,电子绕核运动的总角动量,自旋轨道偶合,总角动量大小,j为总角动量量子数,自旋和轨道角动量平行,自旋和轨道角动量反平行,量子理论给出：,电子自旋磁矩,单一的能级 为什么会分裂为2个能级？,玻尔磁子,电子自旋磁矩沿Z方向分量,如果电子看做不动，则原子核

11、绕电子同方向转动,电子受到原子核运动所产生的Z方向磁场作用,其能量（称为自旋轨道偶合能量）为：,电子的总能量,所以单一的能级 分裂为2个能级,三 微观粒子的不可分辨性和泡利不相容原理,1.微观粒子的不可分辨性,微观粒子具有波动性,根据不确定关系不能用轨道描述,2个粒子碰撞前后无法区分.,粒子无法跟踪,量子物理把这种不能区分称为微观粒子的不可分辨性,(“粒子碰撞”在量子物理中用波函数的叠加来描述),以一维势阱的两个粒子系统为例:,粒子1在dx区间和粒子2在dx区间的概率,粒子1在dx区间和粒子2在dx区间的概率,由于微观粒子的不可分辨性,对称,反对称.,波函数对任意两个粒子交换, 或者是对称的,

12、 或者 是反对称的., 全同粒子的波函数的交换对称性不随时间改变,玻色子:,全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的 如: 介子( s =0), 光子(s =1)等,费米子:,全同粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的 如电子, 质子, 中子等,全同粒子系的基本特征,全同粒子: 静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子,全同粒子系: 由同类粒子组成的多粒子系,2 泡利不相容原理,费米子系 的波函数对于交换是反对称.,以2个电子系统为例:,为完整描述粒子状态应加入自旋,如果忽略两电子的相互影响,及其叠加态, 包括自旋在内的同一个量子态不可能有多于一个费米子存在,即不可能有两个全同的

13、费米子的四个量子数完全相同,如果两个电子的四个量子数完全相同,.,四 多电子原子中的电子分布,一个电子有4个自由度，其运动状态 由四个量子数,主要决定电子能量,角量子数,主要决定电子云（轨道）形状,（当 相同 不相同时，能量稍有不同）,决定电子云（轨道）空间取向,（正常塞曼效应在匀强磁场中谱钱分裂为奇数条）,角动量大小,决定,（与玻尔量子化假设 不同）,决定电子自旋角动量空间取向,在外场方向投影,在外场方向投影,1. 四个量子数,自旋磁量子数,主量子数,磁量子数,（反常塞曼效应在非匀强磁场中谱钱分裂为偶数条）,2 原子的电子壳层结构,一个电子的运动状态 四个量子数,1) 都确定以后, 具有这些

14、量子数的电子不多于一个,2). 相同, 最多只有两个, 分别为1/2和-1/2.,4. 具有相同量子数 n 的电子最多只有 2n2 个 n 确定后, 取值( = 0,1,n -1) n 个， 而对于每个 最多只能取 2(2l+1)个电子,3). 相同, 最多只有 个 对同一个 取(2 +1)个; 而对每个 可取两个不同值,s , p , d , f , g .,把原子中具有相同主量子数 n 的电子称为同一壳层电子.,最大电子数 2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 ),主量子数 n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .,壳层 K , L , M , N , O .,= 0

15、, 1, 2, 3, 4, .,在每一壳中具有相同量子数 的电子组成支壳层.,电子态表示如 n=2, =1 态用 2p表示,n=2, =0 态用 2s 表示,结论: 在泡利不相容原理和能量取最小值原理的两种限制下，,电子的分布的确具有周期性结构.,1) 在电子数目Z不太大时, 电子总是在泡利不相容原理 限制下， 由低能级 n=1 的 k 壳层开始填起， 一个壳层填完以后再填另一个,钾:,2) 在电子数目较多时, 电子间相互作用不能忽略，,铜:,电子能级与 n, 有关, 能级交叉 按能量最低原理填充,1. 斯特藩-玻尔兹曼定律， 维恩位移定律，普朗克能量子假说。,2. 光电效应， 康普顿效应，爱因斯坦光量子论。,3. 玻尔量子论及其核心思想，氢原子能级及光谱规律。,5.