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文档简介

1、二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,例1. 求解方程y2y3y=0,解：特征方程 r22r 3=0,得特征根 r1= 1, r2=3,(r+1)(r 3)=0,解：特征方程,得 r1=r2=5,例2.,例3.,解：,得,例4. 求解方程 y(4)+5y+9y+7y+2y=0,解：特征方程 r4+5r3+9r2+7r+2=0,可求得 r1= 2, r2=r3=r4=1,则 y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2ex,当二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,例1.,解：,=2，P1(x)=4x+5,特征

2、方程： r23r20 得 r1=2, r2=1,所以设 y*=xe2x(Ax+B),y*=2Ax2e2x+2(A+B)xe2x+Be2x,y*=4Ax2e2x+4(2A+B)xe2x+2(A+2B)e2x,代入方程化简得,2Ax+(2A+B)=4x+5,比较得,2A=4, 2A+B=5,例2.,解：,=0, P2(x)=2x23,特征方程 r2+1=0, 得 r1,2=i,所以设 y*=Ax2+Bx+C,代入方程得 Ax2+Bx+(2A+C)=2x23,比较得 A=2, B=0, 2A+C= 3,有 A=2, B=0, C= 7,例3.,=1, P0(x)=1,解：,特征方程 r22r10, r1,21,故设 y*=x2Aex,求得,其中,k,例6.,解：,特征方程 r2+4=0, 得r1,2=2i,例7.,解：,特征方程 r2+1=0, 得r1,2=i,例8.,解：,特征方程 r25r60,得 r1=2, r2=3,(2) 再求y*：,有,(1),(2), 求方程(1)的y1*: 设y1*=A

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