2014年人教A版数学理（广东用）配套课件第四章 第五节数系的扩充与复数的引入

1、第五节 数系的扩充与复数的引入,1.复数的有关概念 (1)定义： 形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中a叫做_，b叫做 _.,实部,虚部,(2)分类：,b=0,b0,(3)复数相等：a+bi=c+di (a,b,c,dR). (4)共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dR). (5)模： 向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_或_， 即|z|=|a+bi|= (a,bR).,|z|,|a+bi|,(3)复数相等：a+bi=c+di (a,b,c,dR). (4)共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dR). (5)模： 向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记

2、作_或_， 即|z|=|a+bi|= (a,bR).,2.复数的几何意义 (1)复平面：建立_来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_,y轴叫做_， 实轴上的点都表示_；除了原点外，虚轴上的点都表示 _. (3)复数的几何表示： 复数z=a+bi 复平面内的点_ 平面向量 .,直角坐标系,实轴,虚轴,实数,纯虚数,Z(a,b),3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(2)复数加法的运算律: 设z1,z2,z3C，则复数加法满足以下运算律: 交换

3、律：z1+z2=_； 结合律：(z1+z2)+z3=_.,z2+z1,z1+(z2+z3),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)方程x2+x+1=0没有解.( ) (2)复数z=a+bi(a,bR)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ),【解析】(1)错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解； 但在复数范围内，此方程有解，且解为x= .故不正确. (2)错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi

4、(a,bR)中，虚部应 为b.故不正确. (3)错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小，其 他情况不能比较大小.故不正确. (4)正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确. (5)正确.根据复数的几何意义可知此结论正确. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.已知aR，若(1ai)(32i)为纯虚数，则a的值为( ) (A)- (B) (C)- (D) 【解析】选A.(1ai)(32i)(32a)(23a)i为纯虚 数，故 得a .,2.复数 (i是虚数单位)的实部是( ) (A) (B)- (C) (D)- 【解析】选A. ，实部为 .,3.若a，bR，i为虚数单位，且(

5、ai)ibi，则( ) (A)a1，b1 (B)a1，b1 (C)a1，b1 (D)a1，b1 【解析】选C.由(ai)ibi，得：1aibi，根据复数相等得：a1，b1.,4.已知i为虚数单位，则复数z 对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C.z ,故复数对应的点为( )，位于第三象限.,5.设z1是复数，z2z1i (其中 表示z1的共轭复数)，已知 z2的实部是1，则z2的虚部为_. 【解析】设z1xyi(x，yR)，则z2xyii(xyi) (xy)(yx)i，故有xy1，则yx1. 答案:1,考向1 复数的概念 【典例1】(1

6、)(2012江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位), 是z的共轭复数，则 的虚部为( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2 (2)(2012湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则 |z|=_. (3)(2012江苏高考)设a,bR，a+bi= (i为虚数单位)， 则a+b的值为_.,【思路点拨】,【规范解答】(1)选A. 因为z=1+i，所以 =1-i， =(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0. (2)由条件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i, |z|= =10. 答案:10 (3)a+bi= = =5+3i， a=5,b=3,a+b=8

7、. 答案:8,【互动探究】本例题(3)的条件不变，结论改为“则复数z=a+bi的共轭复数 =_”.结果如何？ 【解析】由本例题(3)的解题过程可得z=5+3i， 所以 =5-3i. 答案:5-3i,【拓展提升】解答复数概念题的关注点 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，解题时只需把复数化为代数形 式，确定出实部、虚部即可 (2)复数zabi(a，bR)的模|z| ，实际上就是指 复平面上的点Z到原点O的距离；|z1z2|的几何意义是复平面 上的点Z1,Z2之间的距离,【变式备选】 (1)若复数 (aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )

8、 (A)-2 (B)4 (C)-6 (D)6 【解析】选C. = . 复数 是纯虚数, a=-6.,(2)已知aR，复数z12ai，z212i，若 为纯虚数，则复数 的虚部为_. 【解析】 . 为纯虚数， a1, =1, 故 的虚部为1. 答案:1,考向2 复数的几何意义 【典例2】(1)在复平面内，向量 对应的复数是 2i， 向量 对应的复数是13i，则向量 对应的复数是( ) (A)12i (B)12i (C)34i (D)34i,(2)(2013惠州模拟)设z1=3-4i,z2=-2+3i，则z1+z2在复平面 内对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)

9、第四象限 (3)(2013大同模拟)已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面 内复数 对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限,【思路点拨】(1)根据复数加法的几何意义求解 (2)求z1+z2，由实部、虚部确定点所在象限. (3)求出复数 ，再判断对应的点所在的象限.,【规范解答】(1)选D.向量 对应的复数是2i， 则 对应的复数是2i， ， 对应的复数是(13i)(2i)34i. (2)选D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i, 对应点为(1，-1)，在第四象限. (3)选A. ， 故复数对应的点是( )，在第一象限.,【拓展提升】对

10、复数几何意义的理解及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即zabi (a，bR)Z(a，b) . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可 把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合 的方法，使问题的解决更加直观.,【变式训练】(1)已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i， 对应的点是(-2,-2)，故选C.,(2)已知复数 的对应点在复平面的第二、四象限的角平 分线上，则实数a=_. 【解析】已

11、知复数 =-1-(a+1)i, 由题意知a+1=-1，解得a=-2. 答案:2,考向3 复数代数形式的四则运算 【典例3】(1)(2012辽宁高考)复数 =( ) (A) (B) (C) (D) (2)(2012安徽高考)复数z满足：(z-i)(2-i)=5,则z=( ) (A)-2-2i (B)-2+2i (C)2-2i (D)2+2i,(3)若z=cos +isin (i为虚数单位)，则使z2=1成立的值 可能是( ) (A) (B) (C) (D) 【思路点拨】(1)将复数进行分母实数化，根据复数代数形式 的四则运算法则计算. (2)将等式化简，根据复数代数形式的四则运算法则进行计算.

12、(3)先求出z2，再根据条件得到关于的三角函数关系式，验 证求解即可.,【规范解答】(1)选A. (2)选D. (z-i)(2-i)=5z-i= z=i+ =2+2i. (3)选D. z2=(cos +isin )2=cos2+isin 2=1, cos2=1,sin 2=0,=k,kZ,经验证知选项D成立.,【拓展提升】 1.复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式,2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. (1)(1i)2=2i; =i; =-i. (2

13、)-b+ai=i(a+bi). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.,【变式训练】(1)(2012天津高考)i是虚数单位，复数 =( ) (A)2+i (B)2-i (C)-2+i (D)-2-i 【解析】选B. =2-i.,(2)复数z1i， 为z的共轭复数，则z z1( ) (A)2i (B)i (C)i (D)2i 【解析】选B.依题意得z z1(1i)(1i)(1i) 1i，选B.,【创新体验】复数中的新定义问题 【典例】(2013广州模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个

14、“序”类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R)， z1z2当且仅当“a1a2”或“a1=a2且b1b2”,按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： 若z1z2，则|z1|z2|； 若z1z2，z2z3，则z1z3； 若z1z2，则对于任意zC，z1+zz2+z； 对于复数z0，若z1z2，则zz1zz2. 其中所有真命题的个数为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【思路点拨】,【规范解答】选B.对于复数z1=2+i,z2=1-3i显然满足z1z2， 但|z1|= ,

15、|z2|= ，不满足|z1|z2|，故不正确； 设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1z2,z2z3可得 “a1a3”或“a1=a3且b1b3”，故正确； 设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，由z1z2可得“a1a2”或 “a1=a2且b1b2”显然有“a1+aa2+a”或“a1+a=a2+a且 b1+bb2+b”，从而z1+zz2+z.故正确；,对于复数z1=2+i,z2=1-3i显然满足z1z2，令z=1+i，则zz1=(1+i)(2+i)=1+3i， zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i, 显然不满足zz1zz2，故错误. 综上正确，

16、故选B.,【思考点评】 1.方法感悟: 本题体现了类比方法的运用，即通过类比的方式，给出了复数中与实数类似的结论，借以考查阅读理解和应用新知识解决问题的能力.这种类比的方法在数学中可以帮助我们得到一些新的结论.,2.技巧提升: 利用复数与实数的类比来命题是一个新的考查方向，主要以给出新概念或新运算为主，用来考查学生的阅读理解、应用新知识解决问题的能力.从实质上看，此类问题考查的还是基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新概念或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并且将所给信息与所学知识相结合.,1.(2013湛江模拟)已知a是实数,i是虚数单位，若 是纯虚数，则a=( ) (A)1 (B)-1

17、 (C) (D)- 【解析】选A. ，由题意知 是纯虚数， =0，即a=1.选A.,2.(2012广东高考)设i为虚数单位，则复数 =( ) (A)6+5i (B)6-5i (C)-6+5i (D) -6-5i 【解析】选D. =-6-5i.,3. (2012陕西高考)设a,bR,i是虚数单位,则“ab=0”是 “复数a+ 为纯虚数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件,【解析】选B.若ab=0，则a=0或b=0,a+ 是纯虚数或实数， 不是充分条件；若复数a+ 为纯虚数，则a+ =a-bi，a=0 且b0，ab=0，是必要条件.,