角平分线的性质与判定

1、12.3角平分线的性质,福田河中学 八年级数学组 夏玉焰, 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？,操作与思考1：,C,信不信由你,如图，ABAD，BCDC，沿着AC画一条射线AE，AE就是BAC的角平分线，你知道为什么吗？,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,如何用尺规作角的平分线？,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,作射线OC,则射线即为所求,探究,探索1,将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?,O,A,B,角平分线上的点到角的两边的距离相等。,在AOB的平分线OC上任取

2、一点P，然后，作点P到AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？,画一画,想一想,议一议,命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.,角平分线的性质,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE.,1.如图，OC是AOB的平分线， PD=PE,PDOA，PEOB,2.如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分

3、线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。,3.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ 哪条线段与DE相等？为什么？ 若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长。,练一练,3在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE的长。,E,D,C,B,A,4.ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,（点D到AB的距离是3）,如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？,议一议,到一个角的两边的距离相等

4、的点， 在这个角的平分线上。,已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。,解：设要截取的长度为m,则：,要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）,解得：0.025m 2.5cm,则点即为所求的点,想一想,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平分线上。,证明：,作射线OP, 点P在 角的平分线上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP = OP

5、 （公共边）,PD = PE （ 已 知 ）,角平分线的判定,角平分线的判定的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,PD = PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F， 且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,4.已知：如图，C= C=90 ，AC=AC . 求证（1） ABC= ABC ；（2）BC=B

6、C .（要求不用三角形全等的判定）,B,5已知：如图，BEAC于E， CFAB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分BAC 。,课堂练习,例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知） PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？,拓展与延伸,1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,2、已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求证：OP平分AOB,A,O,B,P,1,2,E,F,3 已知：如图，ABC的B的外角的平分线BD和C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在BAC的平分线上。,D,E,课堂小结,1.角平