第二、三节 旋转体体积与功_第1页
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第六章 定积分的应用,第三节 定积分在物理学上的应用,第二节 定积分在几何学上的应用,二、旋转体的体积,第二节 定积分在几何学上的应用,所以,积分变量为,积分区间为,此圆柱体的体积即体积元素为：,解,建立坐标系如图,旋转体为圆锥体，其体积为：,例1,例2,解,上半个椭圆的方程为：,当 a=b时，椭球体 就成为球体,体积为,图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为,解,当图形绕 y 轴旋转时，,所成的旋转体的体积为,注意,变力沿直线所作的功,恒力作功：,于是所求的功为,第三节 定积分在物理学上的应用,任一点r 处的电场力为：,则功元素为:,由物理学知：,解,所以电场力所作的功为：,解,又因为,所以有,由物理学知道，,一定量的气体在等温条件下，,压强 p 与体积V 成反比，,即,（其中k为比例系数）,当活塞离O点 x 处时，,气体作用在活塞上的力为：,故所求的功为：,则功元素为：,把重量为G 的物体提高高度为h需作的功是：,解,H,R,（即功元素）为,于是所求的功为：,相应于0，5上任一小区间,的一薄层水,建立如图所示的坐标系.,取深度 x为积分变量，,变化区间为0,5,被吸出需作的功的近似值,课后作业： 教

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