03第三章时域分析法.ppt

1、控制工程基础 第三章 主讲教师：蹇崇军,第三章 时域分析法,一、典型输入信号,二、一阶系统的时间响应,三、二阶系统的时间响应,四、高阶系统的时间响应,五、误差分析和计算,六、稳定性分析,七、时域特性的计算机辅助分析,八、小结,一、典型输入信号,时域分析的目的,在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。,优点：直观、简便,第三章 时域分析法,典型输入信号,第三章 时域分析法,一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具

2、有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。,对典型输入信号的要求,第三章 时域分析法,形式简单，便于解析分析；,能够使系统工作在最不利的情形下；,实际中可以实现或近似实现。,第三章 时域分析法,常用的典型输入信号,第三章 时域分析法,能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；,典型输入信号的选择原则,如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。,注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。,第三章 时域分析法,二、一阶系统的时间响应,一阶系统（惯性环节）,一阶系统的单

3、位阶跃响应,极点（特征根）：-1/T,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,一阶系统单位阶跃响应的特点,响应分为两部分,瞬态响应：,表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程）,稳态响应：1,表示t时，系统的输出状态,xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；,第三章 时域分析法,xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统 响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数T；,时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% 98%时，认为

4、系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。,第三章 时域分析法,将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：,即ln1-xo(t)与时间t成线性关系。,该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。,第三章 时域分析法,一阶系统的单位速度响应,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,一阶系统单位速度响应的特点,瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T；,经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T；,系统响应误差为：,第三章 时域分析法,一阶系统的单位脉冲响应,第三章 时域分析法,一阶系

5、统单位脉冲响应的特点,瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0；,xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；,对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。,第三章 时域分析法,线性定常系统时间响应的性质,系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。,注意到：,第三章 时域分析法,对一阶系统：,即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。,第三章 时域分析法,同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。

6、,这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。,第三章 时域分析法,三、二阶系统的时间响应,二阶系统,其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。,第三章 时域分析法,二阶系统的特征方程：,极点（特征根）：,欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 01,具有一对共轭复数极点：,系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：,第三章 时域分析法,临界阻尼二阶系统： 1,具有两个相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,第三章 时域分析法,过阻尼二阶系统： 1,具有两个不相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,零阻尼二阶系统： 0,具有一对共轭

7、虚极点：,负阻尼二阶系统： 0,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,系统时域响应含有复指数振荡项：,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,三、二阶系统的时间响应,二阶系统,其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。,第三章 时域分析法,二阶系统的特征方程：,极点（特征根）：,欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 01,具有一对共轭复数极点：,系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：,第三章 时域分析法,临界阻尼二阶系统： 1,具有两个相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,第三章 时域分析法,过阻尼二阶系统： 1,具有两个不相等的负实数极点

8、：,系统包含两类瞬态衰减分量：,零阻尼二阶系统： 0,具有一对共轭虚极点：,负阻尼二阶系统： 0,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,系统时域响应含有复指数振荡项：,第三章 时域分析法,二阶系统的单位阶跃响应,第三章 时域分析法,欠阻尼（01）状态,其中，,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点,xo() = 1，无稳态误差；,瞬态分量为振幅等于 的阻尼 正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。 阻尼振荡频率 ；,振荡幅值随减小而加大。,第三章 时域分析法,临界阻尼（=1）状态,特点,单调上升，无 振荡、无超调；,xo () = 1，无 稳态误差。,第三章

9、时域分析法,过阻尼（1）状态,特点,单调上升，无振荡， 过渡过程时间长,xo () = 1，无稳态 误差。,第三章 时域分析法,无阻尼（=0）状态,特点 频率为n的等 幅振荡。,第三章 时域分析法,负阻尼（0）状态,-10：输出表达式与欠阻尼状态相同。, -1：输出表达式与过阻尼状态相同。,特点：振荡发散,特点：单调发散,第三章 时域分析法,几点结论,二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：, 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；, 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；,01时，有振荡， 愈小，振荡愈严重， 但响应愈快，, = 0时，出现等幅振荡。,第三章 时域分析法,一定时，n越大，瞬态响应分量衰

10、减越 迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应 的快速性越好。,工程中除了一些不允许产生振荡的应用， 如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻 尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间， 以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。,第三章 时域分析法,二阶系统的单位脉冲响应, 1：, = 1：,01：, = 0：,第三章 时域分析法,二阶系统的单位速度响应, 1：, = 1：,第三章 时域分析法,01：, = 0：,第三章 时域分析法,例题,例1,解：由题意Xi(s)=1，所以：,第三章 时域分析法,例2,解：1）单位阶跃输入时,从而：,第三章 时域分析法,2）单位脉冲输入时，由于,因此：,第

11、三章 时域分析法,二阶系统的性能指标,控制系统的时域性能指标,控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。,系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,评价系统快速性的性能指标,上升时间tr,响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。,峰值时间tp,响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。,第三章 时域分析法,调整时间ts,响应曲线到达并保持在允许误差范

12、围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。,最大超调量Mp,响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：,评价系统平稳性的性能指标,第三章 时域分析法,若xo(tp) xo()，则响应无超调。,振荡次数N,在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。,实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。,第三章 时域分析法,欠阻尼二阶系统的时域性能指标,上升时间tr,根据上升时间的定义有：,欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：,第三章 时域分析法,从而：,显然， 一定时，n越大，tr越小；,即：,n一定时， 越大，tr 越大。,第三章 时域分析法,峰值时间tp,即：,第三章 时域分析法,根据tp的定义解上方程

13、可得：,可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。,第三章 时域分析法,最大超调量 Mp,显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,调整时间ts,对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线：,第三章 时域分析法,当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：,可以求得：,由上式求得的ts包通常

14、偏保守。,以进入5%的误差范围为例，,第三章 时域分析法,当阻尼比较小时，有,同理可证，进入2%的误差范围，则有,得,解,第三章 时域分析法,当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率n越大，则调整时间ts越短，系统响应越快。,当n一定时，变化求ts的极小值，可得：,当=0.707左右时，系统的单位阶跃响应的调整时间ts最短，即响应最快。,当0.707时， 愈小，则ts愈长；,当0.707时， 愈大，则ts愈长。,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,由图可见：,当由零增大时，nts先减小后增大，当= 5%时，nts的最小值出现在0.78处；当= 2%时，nts的最小值出现在0.69处；出现最小值后，

15、nts随几乎线性增加。,nts出现最小值的原因：增大时，响应的振荡逐渐减小，nts 减小，但同时降低了响应起始段的上升速度(tr 加大)。二因素比较，在起始段前者起主要作用，nts 下降。这一段曲线上的突跳点与响应曲线切于允许误差线相对应；,第三章 时域分析法,当增加到0.7左右，振荡很小，此时起始段上升速度的下降对nts 的影响起主导作用，导致nts增加。,当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。,当00.7时，,第三章 时域分析法,振荡次数N,N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。,对欠阻尼二阶系统，振荡周期,则,第三章 时域分析法,二阶系统

16、的动态性能由n和决定。,结论,通常根据允许的最大超调量来确定。一般 选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合 适的瞬态响应时间。,一定，n越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小。,增加可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡 次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；,第三章 时域分析法,例题1,图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘 性阻尼系数C的值。,第三章 时域分析法,解：根据牛顿第二定律：,其中，,系统的传递函数为：,第三章 时域分析法,由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，

17、因此,根据拉氏变换的终值定理：,由图b)知 xo() = 0.03m，因此：,K=8.9/0.03=297N/m,第三章 时域分析法,又由图b)知：,解得： = 0.6,又由：,代入，可得n=1.96rad/s,根据,解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s,第三章 时域分析法,例题2,第三章 时域分析法,解：系统闭环传递函数为：,1）K = 200时,n=31.6rad/s，=0.545,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,2）K = 1500时,n=86.2rad/s，=0.2，同样可计算得：,tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7% ts=0.174s，

18、N=2.34,可见，增大K，减小，n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化,第三章 时域分析法,即系统可以视为由两个时间常数不同的 一阶系统串联组成，其中 T1=0.481s, T2=0.0308s,3）K = 13.5时,n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：,第三章 时域分析法,对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即： ts=3T1=1.443s (=0.05),显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。,第三章 时域分析法,四、高阶系统的时间响应,高阶系统的单位

19、阶跃响应,考虑系统,第三章 时域分析法,假设系统极点互不相同。,其中，a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数； bk、ck是与Xo(s)在极点 处的留数有关的常数。,当Xi(s)=1/s时，,第三章 时域分析法,其中，=arctg(bk/ck)。,第三章 时域分析法,高阶系统的单位阶跃响应的特点,高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系 统的响应函数叠加而成。,如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面 内，即所有闭环极点都具有负实部( pj 、 kk大于零)，则随着时间t，xo()=a。 即系统是稳定的。,第三章 时域分析法,极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态 分量衰减的

20、快慢，距离越远衰减越快；,系统零极点分布对时域响应的影响,第三章 时域分析法,系统零点影响各极点处的留数的大小（即 各个瞬态分量的相对强度），如果在某一 极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量 的强度将变小，所以一对靠得很近的零点 和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零 极点称为偶极子。,通常如果闭环零点和极点的距离比其模值 小一个数量级，则该极点和零点构成一对 偶极子，可以对消。,第三章 时域分析法,综上所述，对于高阶系统，如果能够找到 主导极点（通常选为一对共轭复数极点， 即二阶系统），就可以忽略其它远离虚轴 的极点和偶极子的影响，近似为二阶系统 进行处理。,主导极点（ 距虚轴最近、实部的绝对

21、值为 其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附 近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬 态响应起主导作用。,第三章 时域分析法,例题,解：系统闭环传递函数的零极点形式为：,第三章 时域分析法,由系统零极点分布图可见，零点z1-20.03和极点p1-20 构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点p3,4-10j71.4与极点p2-60相距很远， p3,4 为系统的主导极点， p2对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：,第三章 时域分析法,系统的近似单位阶跃响应为：,n=72.11rad/s，=0.139,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,五、误差分析和计算,控制系统的偏差与误差,考虑图示反馈控

22、制系统,偏差信号(s),(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s),偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即：,第三章 时域分析法,误差信号E(s),误差信号E(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即：,E(s)= Xor(s) Xo(s),控制系统的期望输出Xor(s) 为偏差信号(s)0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出： Xo(s)Xor(s),第三章 时域分析法,由：(s)= Xi(s)B(s) =Xi(s)H(s)Xor(s)0,可得：Xor(s)Xi(s)/H(s),对于单位反馈

23、系统，H(s)1，Xor(s)Xi(s),偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系,对单位反馈系统：E(s) (s),第三章 时域分析法,稳态误差及其计算,稳态误差ess,稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量：,当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：,第三章 时域分析法,稳态误差的计算,系统在输入作用下的偏差传递函数为：,即：,利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：,第三章 时域分析法,稳态误差：,对于单位反馈系统：,显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)

24、，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。,第三章 时域分析法,例题,已知单位反馈系统的开环传递函数为： G(s)=1/Ts 求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sint输入下的稳态误差。,解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：,第三章 时域分析法,在单位阶跃输入下的稳态误差为：,在单位速度输入下的稳态误差为：,在单位加速度输入下的稳态误差为：,第三章 时域分析法,sint输入时：,由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。,对上式拉氏变换后得：,第三章 时域分析法,稳态输出为：,而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论

25、：,此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。,第三章 时域分析法,稳态误差系数,稳态误差系数的概念,稳态位置误差（偏差）系数,单位阶跃输入时系统的稳态偏差,称为稳态位置误差（偏差）系数。,其中，,第三章 时域分析法,稳态速度误差（偏差）系数,单位速度输入时系统的稳态偏差,称为稳态速度误差（偏差）系数。,其中，,对于单位反馈系统，,易知：,第三章 时域分析法,稳态加速度误差（偏差）系数,单位加速度输入时系统的稳态偏差,称为稳态加速度误差（偏差）系数。,其中，,对于单位反馈系统，,易知：,第三章 时域分析法,结论,当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。,对于单

26、位反馈系统，,易知：,第三章 时域分析法,系统类型,将系统的开环传递函数写成如下形式：,则：,第三章 时域分析法,即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号以及开环传递函数中积分环节的个数v。,根据系统开环传递函数中积分环节的多少，当 v = 0, 1, 2, 时，系统分别称为0型、I型、型、系统。,第三章 时域分析法,不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差,0型系统,第三章 时域分析法,I型系统,第三章 时域分析法,型系统,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,几点结论,不同类型的输入信号作用于同一控制系统， 其稳态误差不同；相同的输入信号作用于 不同类型的控制系统，其稳态误差也

27、不同。,系统的稳态误差与其开环增益有关，开环 增益越大，稳态误差越小。,在阶跃输入作用下， 0型系统的稳态误差 为定值，常称为有差系统； I型系统的稳 态误差为0，常称为一阶无差系统；,第三章 时域分析法,令为输入信号拉氏变换后s的阶次，当v 时，无稳态偏差（误差）；-v=1时，偏差 （误差）为常数；-v=2时，偏差（误差） 为无穷大；,在速度输入作用下，II 型系统的稳态误差 为 0，常称为二阶无差系统。,习惯上，称输出量为“位置”，输出量的变 化率为“速度”。在此位置和速度是广义的 概念。,第三章 时域分析法,尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入 下系统的误差分别称之为位置误差、速度 误差

28、和加速度误差，但对速度误差、加速 度误差而言并不是指输出与输入的速度、 加速度不同，而是指输出与输入之间存在 一确定的稳态位置偏差。,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差 （误差）等于多个信号单独作用下的稳态 偏差（误差）之和。,如：,总的稳态偏差：,如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误 差）按比例增加。,第三章 时域分析法,稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加 速度输入有意义。,扰动引起的稳态误差和系统总误差,扰动引起的稳态误差,第三章 时域分析法,所以，扰动引起的稳态偏差：,扰动偏差传递函数为：,即：,第三章 时域分析法,由扰动引起的输出为：,即系统

29、误差：,稳态误差：,第三章 时域分析法,对于单位阶跃扰动，,若G1(0)G2(0)H(0)1，则,即 扰动作用点前的前向通道传递函数G1(0)越大，由一定的扰动引起的稳态误差越小。,第三章 时域分析法,系统总误差,当系统同时受到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时，由叠加原理，系统总的稳态偏差：,稳态误差：,第三章 时域分析法,例题,系统结构图如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T为常数，试求当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的K4值和G0(s)。,第三章 时域分析法,解：n(t)=0时,系统闭环传递函数：,第三章 时域分析法,第三章 时域分析法,注：已知输入

30、作用下闭环传递函数时，稳态误差也可由其等效单位反馈系统的开环传递函数通过稳态误差系数求解。,要使系统对输入xi(t)=1+t无稳态误差，Gi(s)需为II型系统，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。,第三章 时域分析法,只有扰动作用时(xi(t)=0),第三章 时域分析法,减小稳态误差的方法,提高系统开环增益；,增加系统开环传递函数中积分环节的个数；,通过顺馈控制或复合控制进行补偿；,第三章 时域分析法,六、稳定性分析,稳定的概念,稳定性示例,第三章 时域分析法,稳定性定义,原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍然

31、能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是（渐近）稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。,稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,第三章 时域分析法,若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。,对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。,第三章 时域分析法,稳定程度,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,第三章 时域分析法,处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系

32、统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。,经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,第三章 时域分析法,稳定的条件,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：,系统（渐近）稳定。,第三章 时域分析法,考虑系统,其特征方程为：,对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：,当- 0时，该输出分量指数单调衰减。,当- 0时，该输出分量指

33、数单调递增。,当- = 0时，该输出分量为常数。,第三章 时域分析法,对于特征方程的一对共轭单复根- j，相应瞬态输出为：,其中， = arctgB/C。,当- 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。,当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。,当- = 0时，该分量为等幅振荡。,第三章 时域分析法,对于r重实根-，相应的时域分量为：,当- 0时，该输出分量指数单调衰减。,当- 0时，该输出分量指数单调递增。,当- = 0时，该输出分量多项式递增。,第三章 时域分析法,对于一对r重共轭复根 - j，相应的时域分量为：,当- 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。,当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。

34、,当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。,第三章 时域分析法,综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。,由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。,显然，稳定性与零点无关。,第三章 时域分析法,劳斯（Routh）稳定判据,系统稳定的必要条件,优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。,第三章 时域分析法,由根与系数的关系可以求得：,第三章 时域分析法,若使全部特征根pi若均具有负实部，则要求特征方程的各项

35、系数ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即：,注意，该条件仅为系统稳定的必要条件。,ai0 (i = 0, 1, 2, , n),第三章 时域分析法,系统稳定的充要条件劳斯稳定判据,第三章 时域分析法,列出劳斯阵列,第三章 时域分析法,在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。,第三章 时域分析法,用劳斯判据判别系统稳定性,考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实 部特征根的个数。,通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,第三章 时域分析法,例题,解：劳斯阵列如下：,劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，表明系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。,事实上系统包含了三个极点：0.406+j10.185、 0.406-j10.185、 -4.812,第三章 时域分析法,低阶系统的劳斯稳定判据,二阶系统,第三章 时域分析法,三阶系统,第三章 时域分析法,例题,解：系统闭环传递函数为：,第三章 时域分析法,由三阶系统的稳定条件，有：,此系统为三阶系统，特征方程为：,即：当0K30时系统稳定。,第三章 时域分析法,解