湘潭大学材料力学课件全之补充与应力分析有关的截面图形的几何性质

1、1、补充知识、人民教师：毛卫单位：材料和光物理学院，2，7.2与应力分析有关的剖面图形的几何性质，不同受力形式下构件的应力和变形不仅取决于内力成分的类型、大小和构件的尺寸，还取决于构件的剖面的几何形状。 因此，研究构件的应力和变形，研究破坏问题和强度、刚度、稳定问题，需要截面图形的几何形状和尺寸量。 这些个的量统称为几何量，包括形心、静力矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。 3，3，7.2.1静力矩，形心及其相互关系，1 .截面一次矩或静力矩，静力矩单位为m3，将dA看作垂直于图形平面的力，ydA和zdA分别为dA相对于z轴和y轴的矩，Sz和Sy分别为a相对于z轴和y轴的矩、y、z

2、、4、图形形状的中心称为重心(Centroid of an area )，如果将面积视为与图形平面垂直的力，则重心成为合力的作用点。 如果将zc、yc设为向心坐标，则力矩定理：向心坐标与静心力矩的关系，5 .根据上述静心力矩的定义、静心力矩与向心的关系，静心力矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静心力矩如果计算了静力矩，则可以定位心形，反之，如果知道某坐标系中的形心位置，则可以计算该坐标系中形心相对于轴的静力矩。 对于通过图心的坐标轴，6、y、z、b、h、c相对于图心的静力矩等于0.7，对于组合图形，首先分解为几个简单的图形(能够直接决定图心的位置的图形)。 然后，根据式(7.

3、2 )，分别计算针对规定的坐标轴(同一规定坐标系)的静力矩，求出其代数和，即，8，进而使用式(7-3)，求出组合模式的质心坐标： 9， 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性乘积、惯性半径，1 )截面可获得次轴距离的惯性矩，2 )次极距，极惯性矩，单位为m4，单位为M4，1.0，3 ) 惯性乘积，4 )惯性半径，单位是m-4，定义，惯性矩和极惯性矩总是正惯性乘积可以是正的，因为坐标轴的位置。 三者的单位都是m4。 1.1、圆形截面：此时坐标轴通过横截面的形心时，极惯性矩为：同样圆环截面相对于圆环中心的极惯性矩为：1.2、坐标轴通过某个圆形截面的中心时，该圆形截面对于其中任意两根轴具有相同的惯性矩。

4、对其数值：类似的圆环形状的横截面而言，类似的结果：1.3、坐标轴原点位于矩形横截面的中心时，惯性矩分别为：1.4、7.2.3惯性矩和惯性积的位移定理：dA :z、y、y、z、o :z1、y1、y1、z1、o :y1 1.5、1.6、7.2.4惯性矩和惯性积的旋转轴定理、dA、z、z、o、z1、y1、y1、z1、z1、旋转轴的定理不要求原始的坐标轴通过横截面的心。1.7、7.2.5主轴和形心主轴、主惯性矩和形心惯性矩，如果相对于超过图形一点的一对坐标轴的惯性积为零，则将该一对坐标轴称为超过该点的主轴(principal axis )。 格拉夫相对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。 主惯性矩具有极大值或

5、极小值的特征。主惯性矩为：1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，总结，dA，y，z，y，r，面积：截面一次矩(静矩)，截面二次矩(极惯性矩)，截面二次矩(惯性积)，惯性半径，25，特征：静其中，静力矩和惯性乘积可以是正负或零。惯性矩、极惯性矩和惯性半径都是大于零的正值，其值随坐标系而变化。 惯性半径的维是长度的平方，面积的维是长度的平方，静力矩的维是长度的三次方，剩下的(惯性矩，惯性积，极惯性矩)维是长度的四次方。2.6、静力矩和心形的位置确定、单图形的情况：图形组合的情况：2.7、注意点：平面图形有两个对称轴，则心形一定位于两个对称轴的升交点处。 如果平面图形有对称轴，心一

6、定在该对称轴上，只要确定其具体的位置即可。 在工程中求平面图形的心、2.8时，不是用积分方法求静力矩，而是用尽可能组合的图形求静力矩。 如果对于同一平面图形选择了不同的参照坐标系，则其质心位置的坐标也不同。 心形在平面图上的位置不变。 由于平面图形对通过其形状中心的坐标轴的静力矩为零，因此如果平面图形对的某轴的静力矩为零，则该坐标轴必定通过平面图形的形状中心。y、z、h、b、2.9、平行位移轴式、dA、z、y、z、o、z1、y1、y1、z1、o、 b，a，参考坐标系oyz的原点在形心的话：3.0，dA，z，y，z，o，z1，y1，y1，z1，旋转轴式的几个说明：角从原坐标轴y量开始逆时针方向为

7、正，顺时针方向为负。 在相同坐标原点的任意2个坐标系yoz和y1o1z1中，具有3.1、主轴和形心主轴、主惯性矩和形心惯性矩的关系，如果超过一点的一对坐标轴的惯性积为零，则将该一对坐标轴称为超过该点的主轴(principal axis )。 格拉夫相对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。 主惯性矩具有极大值或极小值的特征。 主惯性矩为：3.2，一些简单平面图形的形心主惯性矩，圆形截面，环状截面，矩形截面，3.3，7.3平面弯曲时南朝梁截面上的正应力，7.3.1平面弯曲和纯弯曲的概念，对称面：南朝梁的横截面具有对称轴，都由相同对称轴组成的平面称为南朝梁的对称面， 虽然南朝梁的横截面没有对称轴，但通过横截

8、面心形的心形主轴、由所有相同心形主轴构成的平面，被称为“平面包含轴”(plane including principal axis )。 因为对称轴也是主轴，所以对称面也不是主轴平面。 以下的分析和记述使用主轴平面。 3.4、平面弯曲：当所有外力(包括力、力偶)作用于南朝梁的同一主轴平面内时，南朝梁的轴线弯曲后弯曲成平面曲线，该曲线位于外力作用的平面内，该弯曲称为平面弯曲。3.5、纯弯曲：一般来说，在平面弯曲时，南朝梁的截面有剪切力和弯矩这两个内力成分。 如果梁的横截面只有弯矩，则此平面弯曲称为纯弯曲，而纯弯曲只有垂直于横截面的正应力，因为梁的横截面只有弯矩。AB段区间、3.6、横弯曲：南朝梁

9、是垂直南朝梁轴线的横力，其横截面在云同步上产生剪切力和弯矩。 此时，南朝梁的横截面不仅有正应力，也有剪切应力。 这样的弯曲称为横向弯曲，也称为横向弯曲。 7.3.2纯弯曲时梁截面上的正应力分析、梁截面上的正应力分析是确定梁截面上各点的正应力和弯矩、截面形状和尺寸的关系。 截面的应力不可见，而南朝梁的变形可见，应力与变形有关，因此可以从南朝梁的变形情况推测南朝梁截面的正应力分布。3.7、1 .平面假设和应变分布、在拉伸层和缩短层边界处的层既不拉伸也不缩短，这种层称为中性层或中性面。中性层和剖面的交线被称为中性轴(neutral axis )，中性轴垂直于载荷方向，在具有对称轴的剖面波束中，中性轴

10、垂直于剖面的对称轴。假设3.8、变形前、变形后的整体变形效果、OO是中性层，制作图示的坐标OXY。弧AA=，弧OO=dx=，其中，弧AA的绝对伸长量为：其中，弧AA的相对伸长量为：(2)物理方程式中，假定纵纤维不相互挤压。 因此，任何一点都在单一的应力状态中。 时，剖面的弯曲正应力沿剖面的高度方向从零到直线分布中性轴。 该公式只显示了正应力分布，但无法具体求出数值。 主要原因是y坐标是从中性轴计算的，但中性轴的曲率半径也不确定，因为中性轴的位置还未确定。 4.0、(3)纯弯曲时的静力学关系：中心轴z通过截面图心，与对称轴垂直，所以中心轴的位置决定截面图心的位置。 在、纯弯曲的情况下，任何横截面

11、都只有一个弯矩的内力成分，轴向力必须为零。 由于4.1、y轴是截面的对称轴，所以其截面的惯性积等于0。(7-34 )，(7-29 )，(3)纯弯曲的情况下的静力学关系：横截面上：4.2，5 .最大正应力式和弯曲截面系数，圆形截面，环状截面，矩形截面，Wz称为弯曲截面系数，4.3，6 .梁弯曲后的轴线的曲率式，南朝梁的轴线弯曲后的曲率与弯曲力矩成比例，弯曲刚性上4.4，7.3.3南朝梁弯曲正应力公式的应用和推广，需要注意一些问题。 首先关于正应力的符号：决定正应力是抗拉应力还是压缩应力。 确定正应力码的相对简单的方法是首先确定截面上的弯曲力矩的实际方向、确定中性轴的位置，并且基于所请求的应力点的

12、位置以及“弯曲力矩是根据分布正应力合成的合力力矩”的关系。 可以确定这一点的正应力是抗拉应力还是压缩应力(图7-17 )。 其次，关于最大正应力的计算。 如果南朝梁有一对彼此垂直的对称轴，并且载荷方向与一个对称轴重合，则中性轴将与另一个对称轴重合。 此时的最大抗拉应力和最大压缩应力的绝对值相等，根据式(7-30 )计算。 如果4.5、南朝梁的截面只有一条对称轴，负荷方向与对称轴相一致，则中性轴通过截面的中心，并通过垂直对称轴。 在这种情况下，横截面上的最大抗拉应力和最大压缩应力的绝对值不相等，可以用下面的公式分别计算： 4.6，另外，某横截面上的最大正应力不一定是梁内的最大正应力，应该首先判断

13、可能发生最大正应力的截面，留心这些个的截面称为危险截面其中最大的是梁内截面的最大正应力。 保证南朝梁的安全工作不破坏最重要的是，保证这个最大的正应力不要超过允许值。 2、纯弯曲的正应力可以推广到与横弯曲以上的纯弯曲的正应力有关的公式中。 不纯的弯曲，即横截面除了弯矩外，还有剪切力时。 只要是细长的棒，几乎都能适用。 理论和实验结果表明，由于剪切应力的存在，南朝梁截面在南朝梁变形后不能保持平面，产生翘曲，该翘曲对应力分布的影响较小。 细长的南朝梁比较小，通常可以忽略。 4.7、7.4平面弯曲正应力公式的应用实例是：、的南朝梁的故障标准与拉伸或压缩棒的故障类似。 韧性材料制成的南朝梁，认为是南朝梁

14、危险断面的最大正应力达到材料屈服极限，南朝梁故障的脆性材料制成的南朝梁，认为是南朝梁危险断面的最大正应力达到材料极限拉伸强度，南朝梁故障。 即，5.5、7.5.2南朝梁的弯曲强度的计算标准，根据上述强度条件，同样能够解决强度检查、截面尺寸设计、允许负荷的确定三种强度问题。5.6，7.5.3南朝梁抗弯强度计算过程，根据南朝梁抗弯强度设计规范进行抗弯强度计算的一般过程，根据南朝梁约束的性质，分析南朝梁受力并确定约束力。 画出南朝梁的角图：根据角图化学基，确定可能的危险断面。 根据应力分布和材料的拉伸和压缩强度性能是否相等，可能的危险点：对于拉伸、压缩强度相同的材料(例如低碳钢等)，最大抗拉应力作用

15、点和最大压缩应力作用点有相同的危险性，通常不区别拉伸、压缩强度性能不同的材料(铸铁元素等脆性材料)的最大压力应用秘密、5.7、强度条件进行强度计算：对于拉伸和压缩强度相等的材料，应用强度条件等式(7- 3.8 )和式(7- 3.9 )对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件等式(7- 3.8 )和式(7- 3.9 )分别为拉伸允许用应力、极限拉伸强度、58、59、和2 .根据危险断面上的正应力分布确定可能的危险点，进行强度检查后改写，上述结果表示南朝梁上所有危险断面的危险点的强度是安全的。 从6.4、6.5、由此得到Fp施加在辅助南朝梁上的作用点的范围是：6.6、2 .确定辅助南朝梁所需的工字

16、钢型号，6.7、6.8、7.6斜弯，外力施加在梁的对称面(或主轴平面)上时梁发生平面弯曲。 所有外力都作用于同一平面内，但该平面不是对称面(或主轴平面)，梁也弯曲，但不是平面弯曲。 这种弯曲称为“skew bending”。 另一种情况可能会倾斜。 这是所有外力作用于对称面(或主轴平面)，但不作用于相同的对称面(南朝梁的截面具有2个以上的对称轴)或主轴平面。 对于、为了决定斜曲时的波束截面上的应力，能够以小的变形条件把斜曲分解为纵对称面内(或者主轴平面)的平面曲，把由2个平面曲引起的同一点的应力的代数值相加。 得到了斜曲在这一点上的应力值。 7.0、上式不仅适用于矩形截面，也适用于槽形截面、锯齿截面。 因为在这些个截面中，由两个主轴平面内的弯曲力矩产生的最大抗拉应力和最大压缩应力在同一点产生。 的双曲馀弦值。 这是因为两个对称面内的