[理科]第7章 气体分子动理论[2011版].ppt

1、第7章 气体分子动理论,玻耳兹曼Ludwig Boltzmann (18441906),奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一 1）提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律； 2）提出玻耳兹曼熵,Sk logW,Sk lnW,著名的玻耳兹曼关系式，把宏观量熵S与微观量热力学概率W 联系起来，并给予熵 S 以统计解释。,7.1 气体分子动理论的基本概念,一、分子动理论的三个基本概念,1.宏观物体是由大量微观粒子分子或原子所组成。,2. 物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度与温度有关。,图7.1 布朗运动,r0,斥力,引力,合力,分子力表现为斥力,分子力表现为引力,( 平衡位置 ),3. 分子间有

2、相互作用力,r0,分子有效直径,势能,二、气体分子热运动服从统计规律,1）每个微小体积元 dV 内气体分子数量巨大；,3）气体分子间的相互碰撞非常频繁；,一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞,2）气体分子间距很大，除碰撞外，分子间相互作用可忽略；,4）气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；,1. 何谓统计规律？,大量偶然事件在整体上表现出来的规律性,单个小球落入位置,偶然事件,少量小球按位置的分布,规律不明显,大量小球按位置的分布,确定的规律,伽尔顿板实验,2. 何谓随机试验？,伽耳顿板实验中粒子落入的位置,气体分子的速率、动量、动能等,掷色子出现的点数,1）在

3、相同条件下可重复进行；,2）每次试验有多种可能结果；,3）试验结果事先不可预测；,4）不同试验之间无关联。,（随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。）,对随即变量 M 进行抽样试验：,M 取 M i 的概率,3. 何谓概率？, , ,( N = N1 + N2 + N3 + ),随机事件的概率举例,掷色子出现的概率,小球出现在第个小槽,4. 概率的归一化条件,( N = N1 + N2 + N3 + ),5. 随机量 M 的统计平均值, , ,统计平均值举例,掷色子出现的点数的平均值,气体分子速率的平均值,建立三维直角坐标系 Oxyz, , ,vx,vx,vx,vx, ,vy,vy,vy,

4、vy, ,vz,vz,vz,vz, ,气体分子速率的平均值,气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等,气体分子速率平方的平均值, , , , , ,x,y,z,O,x,y,z,O,即,气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。,6. 气体分子平动动能的平均值,x,z,O,7. 理想气体的压强,一、理想气体的微观模型,分子的性质相同，质量相等，分子大小忽略不计；,除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；,所有的碰撞为完全弹性碰撞；,二、压强形成的微观解释,1. 单个分子与器壁碰撞,冲击力微乎其微，且大小、位置具有偶然性；,2. 大量分子与器壁

5、碰撞,冲击作用的积累效应，给器壁持续的作用力；各个方向或位置受力均匀,3. 压强为单位面积容器壁上气体分子所受冲力的统计平均量,三、理想气体的压强公式,c,b,a,建立三维直角坐标系 Oxyz,x, y, z 方向规律相同，压强相同,以 x 方向为例,x 方向速度分量为 vix 的分子 i 与气体分子 j 碰撞，,互换,由于气体分子是全同的，而且每次碰撞是弹性碰撞，因此气体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。,可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞,x,y,z,O,c,b,a,A1,x,y,z,O,c,b,a,分子 i 在 x 方向与 A1 碰撞，动量增量：,A1,对 A1 的冲量：,t

6、时间内分子 i 与A1 发生碰撞的次数：,分子 i 连续两次与 A1 发生碰撞的时间间隔为：,2a / vix,x,y,z,O,c,b,a,A1,t 时间内分子 i 对 A1 的冲量：,t 时间内所有分子对A1 的冲量：,理想气体压强公式：,压强的微观本质,分子平均动能,7.3 温度的微观本质,一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系,设m千克气体的分子数为 N ， 为一个分子的质量 ， 1摩尔气体的分子数为NA， 1摩尔气体的质量为M，则有,及,代入理想气体状态方程,可得,理想气体的能量方程,温度的微观本质,温度的微观本质,上式表现了宏观量温度与微观量分子平均动能的关系，揭示了温度的本质。,

7、二、道尔顿分压定律,混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。,证明：,混合气体的分子数密度,混合气体各组分温度相同,混合气体的压强,7.4 能量按自由度均分原理,一、自由度的概念,确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。,火车,下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？,质点,1,刚体,1,轮船,2,?,飞机,3,?,海面,(x, y),O,y,x,轮船（看作刚体）：,确定质心：,(x, y),确定方向：,3个自由度,飞机（看作刚体）：,确定质心：,(x, y, z),确定转轴：,确定方向：,6 个自由度,(x, y, z),细棒：,确定质心：,(x, y, z),确定方位：,

8、个自由度,(x, y, z),气体分子的自由度：,刚性单原子分子,刚性双原子分子,刚性多原子分子,分子模型,自由度 i,二、能量按自由度均分原理,或,其中,沿 x 方向运动的平均平动动能,沿 y 方向运动的平均平动动能,沿 z 方向运动的平均平动动能,处于平衡态的理想气体 （温度为 T ），气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2,原因：,碰撞,不同自由度上的能量相互转化,不同自由度上的能量平均化,玻耳兹曼假设：处于平衡态的理想气体 （温度为 T ），气体分子在任何一个自由度上的平均能量都相等,均为 。这就是能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。,刚性双原子分子的动能,平动动能

9、,转动动能,温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分。,分子动能,刚性单原子分子,刚性双原子分子,刚性多原子分子,分子模型,自由度,总平均能量,kT/2,kT/2,3kT,理想气体分子的平均能量,i 气体分子的自由度,三、理想气体的内能,E,理想气体分子动能之和,1 mol 理想气体的内能：,质量为 m 、摩尔质量为 M 的理想气体的内能：,理想气体的摩尔热容量,7.5 麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦（James Clerk Maxwell）英国物理学，数学家。提出在热平衡态时，气体分子的数目按速率分布的统计规律。后来的物理学发展都证明了这种统计规

10、律的普遍意义。,麦克斯韦的最大贡献是建立了电磁场的基本方程组，得出了电磁振荡以光的速度传播，从而彻底地否定了超距作用的错误概念，并得出了光的本质是电磁波的结论。,一、分布的概念,某小槽宽度为 xi,小球落入该槽的概率：,若小槽宽度为 dx,小球落入该槽的概率：,?,某一时刻理想气体分子的速率 v 的分布：,v,v,v,v, , ,长时间“观测”理想气体分子的速率 v ：,v,0 + 连续分布,速率为 vi 的概率为：,速率为 v v + dv 的概率为：,?,速率分布函数,速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率,速率分布函数的实质是概率密度；,速率分布函数的归一化条件,意义：,

11、二、麦克斯韦速率分布律,分子质量,T,热力学温度,k,玻耳兹曼常数,1859年，英国物理学家麦克斯韦在大量实验的基础上，首先从理论上导出气体在热平衡状态时，其分子速率的分布函数具有的数学形式。,速率在 v v + dv 间的分子数占总分子数的比率：,dv,v1,v2,速率在 v1 v2 间的分子数占总分子数的比率：,归一化条件：,三、气体分子速率的三种统计平均值,平均速率,气体分子的速率 v 离散分布：,v,v,v,v, , ,气体分子的速率 v 连续分布：,对于理想气体:,方均根速率, , , ,气体分子的速率 v 离散分布：,气体分子的速率 v 连续分布：,比较,对于理想气体:,最概然速率

12、,vp,f (v) 的极大值对应的 v 值,vp,T 增大，氢气分子速率分布曲线的峰值向右漂移；曲线变得平坦,273.15 K 时氢气分子,T 相同，vp 氧 vp 氢,三种速率用途各不相同: (1)平均速率用于讨论气体分子的碰撞和自由程问题；,(2)方均根速率用于讨论气体分子的平动动能问题 ； (3)最概然速率用于讨论气体分子在不同平衡态下的分布问题。,例1,有 N 个质量为 m 的同种气体分子，它们的速度分布如图所示。（1）由 N 和 v0 求 a 值；（2）求在速率 v0/2 到 3 v0/2间隔内的分子数；（3）求分子的平均平动动能。,解：,v0,2v0,a,（1）由归一化条件，,O,

13、v,Nf(v),v0,2v0,a,（2）,（3）,O,v,Nf(v),v0,2v0,a,四、气体分子速率的实验验证,我国物理学家葛正权在1934年也从实验中验证了气体在平衡态时，其分子按速率分布的统计定律。,图 葛正权先生,图 测量分子速率分布的装置,O,S1,S2,S3,G,滚筒不转,滚筒转动,Bi 分子沉积的位置,P,P与 v 有关,P,P ,O,S1,S2,S3,G,l,P,P,v,+,v,测定 Bi 膜厚度分布,速率分布,7.6 玻耳兹曼分布律,Ludwig Boltzman (18441906),1868年 麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律,Sk logW,在外力场（重力场、电磁场等）中，

14、各处的气体分子将具有不同的势能，气体分子数密度和压强不再是均匀分布。此时,外力场中气体分子按能量的分布规律,一、重力场中粒子数密度按高度的分布,n0,n,h,h+dh,n+dn,n,h,?,p,p+dp,p,0,n0,等温压强公式,n0,n,h,0,根据气压的大小可确定气体分子所在的高度,拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，试求：,解 （1） 由等温气压公式得,（2）设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次,(1) 拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样

15、的质量的空气。M=2910-3 kg/mol,则有,例2,二、玻耳兹曼分布律,dV 内的分子数,以上两式就是在任意保守力场中粒子数密度按势能的分布规律，称为玻耳兹曼分布律，简称玻耳兹曼分布。,玻耳兹曼分布律的讨论： 分布律表明，在保守场中的分子总是优先占据势能较低的状态。 玻耳兹曼分布律不仅适用于势场中的气体分子，实际上它同样适用于任何势场中的液体和固体内的分子以及其它微观粒子。,三、麦克斯韦玻耳兹曼分布律,将麦克斯韦分布律变换形式， 并与玻耳兹曼分布律比较：,dV 内的分子数,在任意保守场中，,1. 位置位于 x x + dx, y y + dy, z z + dz 的分子数,位矢空间的分布

16、,2. 速度在 vx vx + dvx, vy vy + dvy, vz vz + dvz 之间的分子数,速度空间的分布,3. 位置位于 x x + dx, y y + dy, z z + dz，同时速度在 vx vx + dvx, vy vy + dvy, vz vz + dvz 之间的分子数,麦克斯韦玻耳兹曼分布律,相空间的分布,能量为i 的分子数,( i = 1, 2, 3, ),位置位于 x x + dx, y y + dy, z z + dz，同时速度在 vx vx + dvx, vy vy + dvy, vz vz + dvz 之间的分子数,相空间的分布,四、能量不连续时的玻耳兹曼

17、分布律,这种综合考虑分子动能和势能的相空间分布就是麦克斯韦玻耳兹曼分布律。,式中的 C是与i 无关的常数，i 为正整数，是玻耳兹曼分布律的一种表示形式。,7.7 气体分子的平均自由程,一、分子的平均碰撞频率,一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的平均次数称为分子的平均碰撞频率，常用 来表示。,“管道”半径等于分子直径 d，长度等于分子平均相对速率,d1 d,不碰撞,d d,碰撞,分子中心在 “管道”外,分子中心在 “管道”内,“管道”中的分子总数等于碰撞次数,d1,d2,2d,二、分子的平均自由程,分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子的 平均自由程，常用 表示。,7.8 范德瓦尔斯方程,实际气体,T 较高,p 较小,p 较大,T 较低,?,范德瓦尔斯,有吸引力的刚性小球模型,理想气体,r0,一般物质分子,理想气体分子,刚性小球模型,r0,有吸引力的刚性小球模型,r0,范德瓦尔斯气体分子与理想气体分子比较:,分子的实际活动空间变小,内部