2018高等数学(下)复习题(2)答案

1、1 2018复习题(二)答案 一、选择题 1. 判断极限 22 2 )0, 0(),( lim yx yx yx （A） A.0B1C.不存在D.无法确定 2.设 | xxf 0 cos n n xa，,-x，则 0 a（B）. A.2B. 2 C.D.0 3.若 xf是周期为2的奇函数， nxbnxa a xf n nn sincos 2 1 0 ，则 n b（ B） A.0B. 0 sin 2 nxdxxfC. nxdxxfsin 2 D. 0 cos 2 nxdxxf 4.设 0 9 222 zyx zyx ：，则 dszyx 222 (C) A.108B.216C.54D.36 5.二

2、次积分 cos 0 2 0 sin,cosdrdrrrf可化为（D） A. 2 - 0 1 0 ,d yy dxyxfyB. 2 - 1 0 1 0 ,d y dxyxfyC. 1 0 1 0 ,ddxyxfy D. 2 - 0 1 0 ,d xx dyyxfx 6.若yxf，在点 00, y x处的偏导数存在，则yxf,在此点处（D） A.有极限B.连续C.可微D.以上都不对 7.曲面xyz 2 在点2 , 4 , 1处的切平面方程是(B) A.04 yxB.044zyxC.04zyxD.04zyx 8函数yxf,在点 00, y x连续是yxf,在点 00, y x偏导数存在的（D）条件。

3、 A充分必要B充分不必要C必要不充分D无关 9.设 22 ,yxyxyxf，则 y f x f （ D） Ayx 2Byx 2Cyx Dyx 10.设区域0, 1: 22 xyxDyxf,在D上连续,则 D dxdyyxf 22 =(D) A. 1 0 2drrrfB. 1 0 drrfC. 1 0 2drrfD. 1 0 drrrf 11.设有界闭区域 1 D与 2 D关于y轴对称，vuf,在区域 21 DDD上连续，则 D dxdyyxf, 2 (A) 2 A 1 ,2 2 D dxdyyxfB0C 1 ,4 2 D dxdyyxfD 1 , 2 1 2 D dxdyyxf 12.设2:

4、),( 22 yxyxD，则 D dxdyyx 22 （B） A 2 0 2 0 3dr rdB 2 0 2 0 3dr rdC 2 0 2 0 2dr rdD 2 0 2 0 2dr rd 13.设12: 2 2 yxL,取正方向,则 L yx ydxxdy 22 (C) A.B.2C.0D.1 14设L为连接点0 , 1和1 , 0的直线段，则 L dsyx（C） A1B2C2D3 15设L为曲线xy 2 上从点1, 1A到点 1 , 1B的一段弧，则 Lxydx （D） A1B0C4 . 0D8 . 0 16.级数 1n n u收敛的充分条件是（D） A.1lim 1 n n n u u

5、 B.前n项和 n S有界C.0lim n n uD. n n uuu .lim 21 存在 17下列级数中条件收敛是（D） A 1 2 sin n n B 1 2 cos n n C 1 3 1 1 n n n D 11 1 1 n n nn 18下列级数中收敛的是（C） A 2 ln 1 n nn B 1 2 1 n n n C 1 5 1nn n D 1 cos n n 19.设k为正数，则 1 2 3 ) 1( n n n nk （ C ） A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 敛散性与k有关 20设 n n nx a 0 在2x处为条件收敛，则级数 1 1 n n nnx a在

6、1x处（ C） A. 必发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 敛散性无法确定 二、填空题 21. 过原点且垂直于平面022 zy的直线为 120 zyx 22. 设2, 0 , 1a，1 , 1 , 3b，则ba=1, 5 ,2 3 23. x xy yx 9-3 lim ,10, 6 1 24设), 2 ln(),( x y xyxf则)0 , 1 ( y f x 1 25.设 xfy 是由1 22 yx所确定的函数，则 dx dy y x -； 26.曲线 32, ,tztytx在点1 , 1 , 1处的法平面方程是06-32zyx； 27曲线 22 yxz在点)2 , 1 , 1 (处的

7、切平面方程是22 -20 xy z。 28yxf,=14242 22 yxyxyx的极小值点为1,-2-。 29.交换二重积分积分次序, 11 0 , x dyyxfdx 2 1 00 dy, y f x y dx ; 30.设0,: 222 xayxD，则 D dxdyyxa 222 - 3 3 1 a 31设C是以原点为圆心半径为a的圆，则 C dsyx 223 2 a 32设L是椭圆1 169 22 yx ，逆时针方向，则 L dxyxdyyx12313248。 33. 设ydyxdxxydu k 2 ,则yxu,Cyx 22 2 1 ; 34. 设幂级数 0 n n n a x 的收敛

8、半径为 3，则幂级数 1 1 (1)n n n nax 的收敛区间为4 , 2 35.设级数 1 1 1 ) 1( n a n n 为条件收敛，则a的取值范围为2 , 1 (. 36设级数 1 3 n n u 收敛，则 n n ulim0。 37幂级数 1 2 1 n n n x 的收敛区间是_（-1,1）_。 38.已知 1 )( n n n ax 在2x收敛，则a的取值范围是3, 1（. 39.设 1 2 cos 2 n n o nxa a x，,-x，则 1 1- n n n a= 3 2 2 .（先计算 0 a 3 2 2 ，再取x） 4 40. 函数 22 ,yxyxf在点0 , 1

9、处沿 1 , 1l 的方向导数=2 三、计算题 41设xyyxfzsin, 22 可微，求dz 解：设xyvxusin, 22 ，则 xyyfxf x v v z x u u z x z cos2 / 2 / 1 xyxfyf y v v z y u u z y z cos2 / 2 / 1 dy y z dx x z dz yxyfxyfxxyfyxfdcos2dcos2 / 2 / 1 / 2 / 1 42设xyyxz 22 ，其中 t eytx,sin，求 0t dt dz 解： t exytyx dt dy y z dt dx x z dt dz 2cos2 0t时，1, 0yx。21

10、2cos2 0 0 t t t exytyx dt dz 3 43.求二重积分 D xdxdy，其中D是由曲线xy 与xy 2 所围城的区域。 解：xyxxD, 10: D xdxdy 15 1 3 1 5 2 1 0 2 1 0 dxxxxxdydx x x 44.计算积分 D dxdyyx 2 32，其中4: 22 yxD。 解：2r,020:D 由对称性 DDD dxdyydxdyxxydxdy 22 , 0 D dxdyyx 2 32 D dxdyxyyx1294 22 D dxdyyx 22 94 D rdrrddxdyyx 2 0 2 2 0 22 2 13 2 13 =52。 4

11、5.计算三重积分 dVyx 22 ，其中是由曲面zyx2 22 以及平面2z所围城的闭区域。 5 解：由zyx2 22 与2z消去z得到4 22 yx，所以 ,20:2 2 , 20 2 z r r dVyx 22 2 2 2 2 0 2 0 2 r dzrrdrd 2 0 2 3 2 0 2 2dr r rd 3 16 122 2 2 0 64 rr 46计算dVz ，其中由曲面zyx2 22 及平面2z围成. 解：:zyxDyxz z 2:, 20 22 ， z D是半径为z2的圆，其面积为z2 dVz 3 16 3 4 4 2 0 3 2 0 z zdzz 47.求球面25 222 zy

12、x被平面4z截得的上半部分曲面的面积. 解： 22222 3:,25:yxyxDyxyxz xy dxdy yx dxdy x z x z S 22 22 25 5 1d 所求曲面面积 xy D dxdy yx 22 25 5 4 02 2 0 25 5 rdr r d 202510 4 0 2 r 48设L为),sin(costttax)cos(sintttay20 , t，求dsyx L )( 22 . 解：atdtdttattatdt dt dx dt dx ds 22 22 sincos dsyx L )( 22 2 0 22 )cos(sin)sin(cosatdttttattta

13、423 2 0 42 3 2 0 23 42 42 1 a tt atdtta. 6 49.设L圆周 2 2xxy上从点0 , 0到 1 , 1一段弧，求 L dyyxdxyxcos 3 . 解：记yxyxP 3 ,，yxyxQcos,，1 x Q y P 所以积分 L dyyxdxyxcos 3 与路径无关。 QdyPdxyxyx sin 4 1 d 4 L dyyxdxyxcos 3 1 , 1 0, 0 4 sin 4 1 yxyx=1sin 4 3 50 计算 zdxdyx2，其中是上半球面 2222 Rzyx0z的上侧. 解： 222222 :),( ,:RyxDyxyxRz xy

14、，上侧 xy D dxdyyxRxzdxdyx 22222 R rdrrRrd 0 2222 2 0 cos R drrRr 0 223 tRdtRRtRsinsinsin 222 2 0 33 dtttRdtttR 2 0 535 2 0 235 sinsincossin 55 15 4 3 2 5 4 3 2 RR 51.计算 zdxdyydxdzxdydz，其中是圆锥面azzyx0, 222 的下侧. 解： 设az : 1 ， 222 :,ayxDyx xy 上侧， 则由 1 ,组成了一个封闭曲面， 其所围区域为， 由高斯公式 1 zdxdyydxdzxdydz 3 111adV xy

15、D aadxdyzdxdyydxdzxdydz 3 1 所以 zdxdyydxdzxdydz0 52将函数 23 1 2 xx xf在3x处展开成幂级数。 7 解： 23 1 2 xx xf 1 1 2 1 xx 00 ) 1313 31 1 13 1 2 1 n nn n n xx xxx 2|3|, 2 31 2 3 2 1 2 3 1 2 1 23 1 1 1 0 1 0 x xx xxx n n nn n n xf 1 1 2 1 xx n n n n n x3 2 12 1 0 1 1 1|3-|x。 53.将函数 x xf3展开成x的幂级数，并求 0 ! 3ln n n n . 解

16、： 00 3ln3 ! 3ln ! 3ln 3 n n n n n xx n x n x ee x 上式中，令1n，得到 0 ! 3ln 3 n n n 54级数 1 2 1 sin n n n 的收敛性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 解： n n1 sin 2 = nn n n n n sin) 1(sincoscossin 1 2 1 sin n n n 1 sin) 1( n n n 由于 1 sinsin nn ，0sinlim n n ，所以 1 sin) 1( n n n 收敛。 又 n n n1 sin lim，而 1 1 n n 发散，所以 1 sin n n 发散 所

17、以 1 2 1 sin n n n 条件收敛。 55 求幂级数 1 3 n n n n x 的和函数与收敛区间. 8 解： xx n n n x n n n n n xxdx x dxxdxx n x n x 00 00 0 0 1 1 1|(|,1ln 1 1 1 ） )3|(|, 3 1ln 3 3 11 x x n x n x n n n n n 四、证明题 56.设 x z z y f,=0 确定z是yx,的函数，f具有连续的偏导数且0, / vufv，证明：z y z y x z x . 证明：令 x z z y fyxF,， / 2 / 1 2 / 1 2 / / 1 f x f

18、z y f x z F F x z z x ， / 2 / 1 2 / 1 / / 1 1 f x f z y f z F F y z z y 左边= y z y x z x = / 2 / 1 2 / 1 1 f x f z y f x z / 2 / 1 2 / 1 1 f x f z y f z y z=右边， 所以等式成立。 57设 x dx x x xf sin ，证明： 2 0 dxxf . 证明： xx dy y y dx x x xf sinsin x dy y ysin 0 dxxf 0 sin x dy y y dx 交换积分次序，得到 0 sin x dy y y dx 2cossin sin 0 000 yydydx y y dy y 58.已知)0( 0 n n n aa收敛,试证明: 1n n n a 也收敛. 证明： 2 1 2 1 n a n a n n 1n n a与 1 2 1 n n 都收敛，所以 1 2 1 n n n a收敛。由比较判别法 1n n n a 收敛。 59.证明积分 l xx dyyexdxxyyecos-2sin 2 与路径无关。 9 证明：xyexyye y xx 2cos2sin =yexyex x xx sin2cos- 2 所以 l xx dyyexdxxyyecos-2sin 2 与路径无关。 60.