数学建模论文—电梯运行的最优策略

1、2013南昌大学第十届数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b中选择一项填写）： .报名序号是(没有或不清楚可不填):_.参赛队员(

2、打印并签名) ： 所属院系（请填写完整的全名）： 1._签名:_院系: _2._签名:_院系: _3._签名:_院系: _ 日期： 年 月 日2013南昌大学第十届数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人备注电梯运行的最优策略摘要 本文针对现代高层住宅楼电梯运行效率低下的问题进行了优化策略的探讨。首先，我们对三种常见的电梯运行模式，即：随机运行模式、奇偶层运行模式、分段运行模式的运行周期进行了比较，并参考相关文献资料后发现分段运行模式的运行效率相对最高。然后，我们针对住宅楼一天中电梯的使用规律，将一天中电梯的使用分为五个时间段：早上空闲时段、上班高峰期、中间时段（上下楼概率相等

3、）、下班高峰期、晚上空闲时段。并针对五个时段电梯的使用特点，在分段运行模式的基础上，分别建立了相应的模型，以各层住户乘坐电梯到达目标层的最短平均时间为目标，提出了最优运行策略。三种常见的运行模式的运行机制为： 运行模式 操作机制随机运行模式允许电梯可以在任意层停靠奇偶层运行模式一台停靠奇数层，另一台停靠偶数层(及第一层)分段运行模式将住宅楼分为两段,一台电梯负责上段层居民的运送，另一台电梯负责下段层居民的运送 我们为题目中这栋25层、有两部电梯的住宅楼所设计的运行策略为： 时间段 操作机制 第一台电梯 第二台电梯早上空闲时段负责运送213层的住户，不工作时停靠在7层负责运送1425层的住户，不

4、工作时停靠在20层上班高峰期负责运送213层的住户，不工作时停靠在13层负责运送1425层的住户，不工作时停靠在25层中间时段负责运送各层住户上楼及29层的住户下楼，不工作时停靠在1层负责运送1025层的住户下楼，不工作时停靠在18层下班高峰期负责运送213层住户，不工作时停靠在1层负责运送1425层的住户，不工作时也停靠在1层晚上空闲时段负责运送住户，不工作时停靠在一层始终停靠在1层不工作 我们采用计算机模拟的方法来模拟电梯运行的实际情况，分析各层住户上楼、下楼的平均时间。结果表明我们的模型结果稳定，精度较高。最后，我们将模型在不同楼层数，不同电梯部数的高层建筑中进行了推广，并将其应用于南昌

5、大学前湖校区北院图书馆的电梯最佳运行策略的探求。关键词：分段运行模式 五个时间段 到达目标楼层的最短平均时间1、 问题的提出 某高层住宅楼共25层，其中奇数层每层住有4户，偶数层每层住有2户，楼中安有两台电梯供住户上下楼。由于楼层高，电梯数较少，且上下班高峰期时人流密度大，这就使得两部电梯的运行效率低下，给居民乘坐电梯带来了很多烦恼。请你在分析该电梯现有的运行策略的运行效率和优缺点后，设计一种新的电梯运行策略帮助这些住户消除他们乘坐电梯的烦恼，并用数学手段进行验证。最后出于商业目的的需要，分析说明你设计的电梯运行策略是否可以广泛用于高层居民住宅楼（目前国内设计楼层为8层及以上的住宅楼都安装了一

6、部或多部电梯）。二、问题的分析 不难看出，该住宅楼居民对电梯使用的抱怨主要集中在其运行“慢”，服务效率低下的问题上。那么我们所要讨论的最佳运行策略即是要最大程度地减少居民使用电梯到达目标楼层所需的时间。因此，我们把各层居民们乘坐电梯到达目标楼层所需的平均时间作为衡量策略优劣的标准。 我们了解到，在现代高层住宅楼中，常见的电梯运行模式有：随机运行模式，奇偶分层运行模式以及分段运行模式。首先需要解决的问题便是为该住宅楼选择一种效率最理想的运行模式。此外，考虑到住宅楼中电梯的使用规律，我们把一天中电梯的使用分为五个时间段：早上空闲时段，上班高峰期，中间时段（上下楼概率相等），晚上空闲时段。为了最大程

7、度地提高电梯的服务效率，还需在已经确定的运行模式的基础上，针对五个不同的时间段的人流特点分别设计不同的运行策略。 至此，此次的建模还没有完成，接下来还应分析讨论我们的模型能不能在现代的高层住宅楼中推广，能不能为不同电梯数，不同楼层数的住宅楼的最优电梯运行策略的探求给出合理的决策。3、 模型的假设1. 早上空闲时段某时刻只有某一层的住户呼叫电梯下行；2. 上班高峰期每层都有住户呼叫电梯下行，且不考虑个别住户要上楼的情况；3. 中间时段只有某层住户呼叫电梯下行或从第一层呼叫电梯上行；4. 下班高峰期每层住户都有在一楼呼叫电梯上行的，且不考虑个别乘客要下楼的情况；5. 晚上空闲时段某时刻只有某一层的

8、住户在一楼呼叫电梯上行；6. 不考虑超载的情况；7. 不考虑不同楼层住户间的往来；8. 不考虑节假日，突发事件及其它因素导致的人流规律的变化；9. 电梯的启动和制动在瞬间完成，即电梯一启动就瞬间达到正常运行速度，一制动就马上停止；10. 电梯经过某一层及在某层停靠的时间均为常数；11. 采用住户乘坐电梯到达目标楼层所需的平均时间作为衡量电梯运行效率的标准，不考虑住户在电梯外的等待时间的影响；4、 符号说明z住宅楼的总层数i居民所住楼层的层号k第一部和第二部电梯工作楼层的分界m第一部电梯不工作时所停楼层n第二部电梯不工作时所停楼层pi第i层居民呼叫电梯的概率或居民要上i层概率电梯把居民从第i层送

9、到第一层的时间电梯把居民从第一层送到第i层的时间电梯运行时经过每一层的时间，=3电梯在每一层的停靠时间，=5t把居民送下楼或送上楼的平均时间pd中间时间段，住在第层居民呼叫电梯是下楼的概率pu中间时间段，住在第层居民呼叫电梯是上楼的概率a=tmin k m n为方便数据输出，特定义数组a，a中tmin 、k 、m、 n分别代表最短时间、第一二部电梯工作楼层的分界、第一部电梯不工作时所停楼层、第二部电梯不工作时所停楼层x模拟中间时期电梯运行的次数第i种运行模式的运行周期第一部电梯的工作层数第二部电梯的工作层数 五、模型的建立与求解运行模式的选择 考虑到在相同的时间内，电梯的运行周期越短，其运行的

10、次数就越多，能够搭载的住户就越多。所以我们衡量三种运行模式效率高低的标准是其运行一个周期所需的时间s。以下班高峰期为例，电梯的一个运行周期即是从一楼出发，到送完每层的住户回家然后空载返回第一层的过程。特别地，对于奇偶分层运行模式和分段运行模式，由于两部电梯分别承担不同的运行任务，我们采用了对两部电梯的运行周期加权后的平均周期。通过比较在这种情况下三种运行模式的运行周期的长短，我们可以较好地预测其运行效率的高低。1. 随机运行模式该模式允许电梯可以在任意层停靠，两台电梯的平均运行周期为：2.奇偶运行模式 该方案要求两台电梯中一台停靠奇数层，另一台停靠偶数层(及第一层)，已知z=25为奇数，则停靠

11、奇数层的电梯的运行周期为：。停靠偶数层的电梯的运行周期为: 。加权后的平均周期为： 3.分段运行模式 该模式将住宅楼分为两段,一台电梯负责上段层居民的运送，另一台电梯负责下段层居民的运送。经过分析，我们发现为使电梯的运行效率最高，须满足，使得除第一层外其它楼层均只有一部电梯停靠。那么第一台电梯就应工作于1，层（共层），第二台电梯应工作于1,2层（共层）。第一台电梯的运行周期为:，第二台电梯的运行周期为：。加权后的平均运行周期为： 将代入，根据一元二次方程y=x+bx+c在x=b/2处取得最小值的性质可知取(z+2)/2或(z+1)/2时可使最小。又z=25为奇数，故，即第一台电梯工作于1，（z

12、+1）/2+1z层,第二台电梯工作于1,2(z+1)/2层,可使最小，运行效率最高。此时结论：根据实际经验，我们合理假设=3 s，=5 s，代入数据得 =269 s，=206.12 s，=179.92s ， 即分段运行的周期最短，在相同的时间内，运行效率最高。我们进一步地查阅了有关电梯运行模式与效率的文献资料，北京大学的张海龙、高东红在其发表的论文几种电梯运行模式的应用和比较中，对上述三种运行模式的运行效率进行了比较，得出了结论：运行效率：分段运行奇偶分层运行随机运行，并将分段运行模式应用于北京大学第三医院外科楼的电梯运行策略中，通过实行分段运行提高运行效率。因此我们为该住宅楼的居民选择了分段

13、运行模式。五个时间段的电梯运行策略 在分段运行模式的基础上，我们依据住宅楼电梯的使用规律将一天中电梯的使用分成五个时间段：早上空闲时段，上班高峰期，中间时段，下班高峰期，晚上空闲时段。基于五个不同时段的人流特点，分别建立相应的模型。以平均每层住户使用电梯到达目标楼层的最短时间为目标，探求电梯的最佳运行策略。模型一 早上空闲时段的电梯运行策略 早上空闲时间段，多数住户刚从睡梦中醒来，活动范围有限，因此我们合理假设只会出现某层楼的人下楼的情况（同时不考虑个别人上楼的情况），由题目条件给出的每层楼所居住的人的户数，可以计算出是第i层楼的人需要下楼的概率pi。由分段运送的策略，假设第一部电梯负责1-k

14、1层住户的运送，不工作时停靠于m层；第二部电梯负责k25层住户的运送，不工作时停靠于n层，通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户的平均下楼时间t最小，从而确定在早上空闲时段的电梯运行策略。第i层居民呼叫电梯的频率：各层住户下楼的时间为：2k-1层住户下楼的时间为：k25层住户下楼的时间为：各层住户下楼的平均时间：用matlab编程如下： 由上图可知：当t取最小值57时k=14，m=7，n=20。所以，早上空闲时段的运行策略为：第一部电梯负责运送第14层以下的居民下楼，不工作时停在第7层；第二部电梯负责运送1425层的住户下楼，不工作时停靠在20层。模型二 上班高峰期电梯的运行策略 多数住户

15、要在此时段上班，因此我们假设在此时段每层都有住户呼叫电梯下楼，第一部电梯负责1k1层住户的运送，不工作时停靠于m层，第二部电梯负责k25层住户的运送，不工作时停靠于n层，通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户的平均下楼时间t最小，从而确定在上班高峰期的电梯运行策略。(由于每层均有住户呼叫电梯下楼，因此两部电梯分别从起始的m层、n层上行到达k-1层、z层后再下行接送住户。）第i层居民呼叫电梯的频率： （2=i=z）2k-1楼层居民下楼的时间为：k25楼层居民下楼的时间为：各层住户下楼的平均时间： 用matlab编程如下： 由上图可知：当t取最小值119时，k=14，m=13，n=25。所以，

16、上班高峰期的运行策略为：第一部电梯负责运送第213层的住户，不工作时停靠在13层；第二部电梯负责运送1425层的住户，不工作时停靠在25层。模型三 中间时段电梯的运行策略 中间时段居民可能上楼或下楼，且使用电梯的人数较少，因此我们合理假设某一时刻，只有住在i层的住户在1楼呼叫电梯上行或在i楼呼叫电梯下行。 上楼时：停在第m层的第一部电梯将居民从1层送到i层（2=i=z)。下楼时：第一部电梯负责将k层以下的居民送到楼下；第二部电梯停在第n层专门负责将第k层以上（含第k层）居民送到楼下。设居民下楼的概率为pd，上楼的概率为pu，pd=pu=0.5。 通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户到达目

17、标楼层的平均时间t最小，从而确定在中间时段的电梯运行策略。第i层住户呼叫电梯下行或在1楼呼叫电梯上i层的概率：只考虑下楼时：2k-1楼层居民下楼的时间为：k25楼层居民下楼的时间为：只考虑上楼时：将居民送达i层的时间为：居民到达目标层的平均时间为：用matlab编程如下：由图可知：当t取最小，t=54.3333时，k=10，m=1，n=18。所以中间时段的运行策略为：上楼时：一部电梯负责运送各层住户上楼及29层的住户下楼，不工作时停靠在1层；另一部电梯负责运送1025层的住户下楼，不工作时停靠在18层。模型四 下班高峰期的电梯运行策略 多数住户在此时段下班回家，因此我们合理假设电梯运送住户上楼

18、时每层都有人下，即电梯在上行过程中每层都需要停靠。假设第一部电梯不工作时停靠在m层，负责2k1层住户的运送，工作时先从停靠层m层到达第1层后再上行；第二部电梯不工作时停靠在n层，负责k25层住户的运送，工作时先从停靠层n层到达第1层后再上行。第i层住户上楼的频率：（2=i=z）住在2k-1楼层住户上楼的时间为： 住在k25楼层住户上楼的时间为： 各层居民上楼的平均时间为：用matlab编程如下：由图可知：当t取最小，t=75时，k=14，m=1，n=1。所以下班高峰期的运行策略为：一部电梯负责运送213层住户，不工作时停靠在1层，；另一部电梯负责运送1425层的住户，不工作时也停靠在1层。模型

19、五 晚上空闲时段电梯的运行策略 晚上空闲时段多数住户在家中休息，因此我们合理假设某时刻只有某层的住户需要上楼回家，假设第一部电梯不工作时停靠在m层，负责2k1层住户的运送；第二部电梯不工作时停靠在n层，负责k25层住户的运送。通过探求合适的n，m，和k的值使得各层住户的平均上楼时间t最小，从而确定在晚上空闲时段的电梯运行策略。住i层居民上楼的概率pi：住在2k-1层居民上楼的时间为：住在k25层居民上楼的时间为：各层居民上楼的平均时间为：用matlab编程如下：由图可知：当t取最小，t=48时，k=2，m=1，n=1。即晚上空闲时段电梯的运行策略为：一部电梯负责运送住户，不工作时停靠在一层；另

20、一部电梯始终停靠在1层不工作。五、模型检验与分析 对于上面所建立的模型，我们经过了理论的验证并得到了最后的结果，但是还要根据实际情况来做进一步检验。在此采用计算机模拟的方法来模拟电梯运行的实际情况，并由大量的模拟次数来分析平均上楼、下楼时间。考虑到中间时段电梯的运行情况有上有下，更接近真实情况，因此选择仿真这段时间电梯的运行来进行分析： 我们用matlab编程产生2-25之间的随机数，来模拟2-25层民上楼或下楼的情况，求2-25层任意层居民不同n次上楼或下楼的平均时间，根据不同n条件下平均值的波动情况，分析模型的稳定性。模拟结果如下： 通过计算机模拟，我们发现：在中间时段,住户们上楼或下楼的

21、平均时间稳定在53.78左右,与理论计算得的54.33差别较小。 由图可知波动范围在允许范围内，模型稳定且精度较高。六、模型的评价、改进及推广模型的优点 通过比较三种运行模式的运行效率及查阅相关文献资料，我们为该住宅楼选择了运行效率相对最高的分段运行模式。考虑到住宅楼的人流规律，为了最大程度地提高运行效率，我们将一天中电梯的使用分为了五个时间段，建立了相应的运行模型。特别地，我们充分考虑到了每个时间段的人流特点，比如对于上下楼概率相等且电梯使用得少的中间时段，我们创造性地提出了一台电梯负责运送乘客上行及下段住户下行，另一台电梯负责上段住户下行的策略。 考虑到用户们的抱怨主要集中在等待电梯到达目

22、标楼层的时间过长的问题上，我们以探求各层住户到达目标楼层所需的最小平均时间为目标来建立模型，这能很好地为住宅楼的住户解决他们的“烦恼”。模型的缺点为了简化模型，我们抓住了问题主要矛盾，做出了一系列合理地假设（比如：不考虑超载的情况；上班高峰期每层都有住户呼叫电梯下行；下班高峰期电梯上行过程中每层都有住户出电梯；空闲时段只有一层被呼叫等），这减少了我们的工作量，也遵循了数学建模的原则，但同时也使得我们的策略与实际情况有出入，无法探求出实际执行的最佳策略。缺少实地调研和数据调查，我们所建立的模型是根据理论推导而来，而不是基于大量数据所提炼出的规律。比如：上班高峰期假设每层都有住户呼叫电梯下行与实际

23、不符，而如果通过实地走访不同的高层住宅楼，总结出高峰期电梯的呼叫规律并将之运用到我们的模型中去，将使得我们的模型更具实际意义。五个时间段的划分较笼统，不明确何时采取何种策略。模型的改进 经过分析，我们发现：我们的模型的最大的缺点在于由于缺少实际调研和搜集、分析大量住宅楼电梯运行的相关数据，使得我们的运行策略缺少针对性和较高的实际意义，但在题目所给出的仅有的条件下，已经是最优策略了。所以，为了使我们的模型在高层住宅楼中得到推广，需进行如下改进：实地走访需提供电梯运行优化方案的住宅楼，记录并统计10天以上的各个时间段的人流密度，电梯呼叫规律，从而在各个时间段提出实际意义更高的运行策略。模型的推广

24、我们所建立的模型为题目中的这栋共25层，有两部电梯运送住户的住宅楼给出了最佳电梯运行策略。但是我们的电梯运行模型同样也能在不同层数，不同电梯部数，不同人流规律的现代高层建筑中得到推广。首先，本文以及大量的文献资料已经证实分段运行模式的运行效率最高。其次，通过实际调研和数据搜集，总结人流规律，并考虑住宅楼内住户们的职业性质、年龄分布对电梯使用的影响，将一天中电梯的使用分成几个不同的时间段，根据统计学原理总结各个时段的人流特点。最后，针对不同时间段的人流特点建立模型，提出相应的运行策略。 以南昌大学前湖校区北院图书馆为例，通过实地考察，我们发现，图书馆一天中电梯的使用有四个高峰期8:009:00入

25、馆自习高峰期；11:3012:30离馆就餐高峰期；17:0018:00离馆就餐高峰期；21:0021:30离馆回寝高峰期，其余时段电梯上行下行的概率基本相等。图书馆内有三部电梯运送师生。那么我们可以通过调研统计每个时间段的人流密度，进而建立相应的三段式分段运送模型。由于时间有限，我们无法为图书馆深入探求最佳电梯运行策略以服务前湖校区的师生。七、参考文献1党孙立，孙晓群数学建模简明教程m西安：西安电子科技大学出版社，20092王兵团数学建模基础m北京：清华大学出版社，20043齐行行，米琦，叶颖梁高层写字楼电梯运行安排模型2013年5月24日4张海龙，高东红几种电梯运行模式的比较及应用2013年5月24日八、附录程序一：早上空闲时段的运行策略z=25; pi=0;t0=3;t1=5;tmin=100;for k=2:25 for m=1:k-1 for n=k:z t=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i t tmin=t; k= k;m=m;n=n; a=tmin k m n; end end endenda程序二：上班高峰期的运行策略z=25;t0=3;t1=5;tmin=1000;for k=2:25 for m=1:k-1 for n