量子力学小结.ppt

1、Summary of Quantum Mechanics,第一章 绪论（小结）,1、经典物理的困难 黑体辐射，光电效应，原子光谱线系,2、旧量子论 普朗克能量子论 爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律；,光子能量动量关系：,玻尔的原子理论 量子化条件 ：,定态的假设、频率条件 ：,3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系,戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。,4、量子力学的建立,物质波薛定谔方程非相对论量子力学 相对论量子力学量子场论,第二章 波函数和薛定谔方程（小结）,1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2波函数统计解释：,若粒子的状态用 描写， 表示在

2、t时刻，空间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。,3态叠加原理： 设 是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加：,也是体系的一个可能状态。,若体系处于 态，我们讲体系部分处于 态。,4波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：,当势场 不显含 时 ，其解是定态解：,满足定态薛定谔方程 ：,其中,定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。,5波函数的归一化条件：,相对几率分布：,波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。,6波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。,7几率流密度,与几率密度,满足连续性方程：,8一维无限深方势阱,本征值,本征函数,若,则本征值,本

3、征函数,9三维无限深方势阱,可以用分离变量法求解得到,本征值,本征函数,10一维谐振子,本征值,本征函数,11、势垒贯穿,隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。,第三章 量子力学中的力学量（小结）,量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。 厄米算符A的定义： 厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。,3力学量的测量值： 在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值； 在非本征态 中测量F，可能值是F的本征值。将 用算符F的正交归一的本征函数

4、展开： 则在 态中测量力学量F得到结果为 的几率为 ，得到结果在 范围内的几率为: 。,力学量的平均值是: 或,4 连续谱的本征函数可以归一化为 函数。 5简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。 简并度： 算符的属于本征值 的线性无关的本征函数有 f 个，我们称 的第n个本征值 是 f 度简并的。 6 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数) 正交归一性,7 角动量 分量 本征函数 的本征值,8 有共同的本征函数球谐函数：,9中心力场中，定态薛定谔方程 选 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为,10氢原子,类氢离子,11 守恒力学量的定义： 若 （即力学

5、量的平均值不随时间变化），则称 为守恒量。 力学量 的平均值随时间的变化满足 因而力学量 为守恒量的条件为： 且,12宇称算符 宇称算符的定义： 13 对易式定义： 14 对易式满足的基本恒等式： （Jacobi恒等式）,15 一些重要的对易关系：,16若算符 对易，即 ，则 和 有共同的本征函数系。在 和 的共同的本征函数表示的态中测量 ，都有确定值。 若算符 不对易，即 ，则必有 简记为 特别地，,第四章 态和力学量的表象（小结）,1 表象是以 的本征函数系 为基底的表象，在这个表象中，有,算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: 选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。 平均值公式是： 归一

6、化条件是： 本征值方程是： 2在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换 满足 ；态的变换是 ； 算符的变换是 。幺正变换不改变算符的本征值。 3量子态可用狄拉克符号右矢或左矢表示 狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。,基矢的封闭性： 坐标表象 狄拉克符号,4粒子占有数表象 以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿的本征态为基矢的表象。,粒子数算符：,湮灭算符：,产生算符：,例.,自由粒子动量算符的本征函数：,求自由粒子动量算符 具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式。,动量算符 具有确定本征值 的本征函数:,可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征

7、函数在动量自身表象中是以动量 为变量的函数。,解：,动量算符的本征方程：,一般结论: 力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一函数。,本征值方程:,例：设一维粒子Hamilton 求x表象中x,p和H的“矩阵元”， 求p表象中x,p和H的“矩阵元”。,解： 在 表象中， 的本征函数:,在 表象中， 算符的本征函数:,第五章 微扰理论（小结）,1定态微扰理论 适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求的 本征值和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求 把H的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰比较小，以保证微扰计算收敛较快，即,（1）非简并情况：,例题1、设

8、在H0表象中， 的矩阵为：,试用微扰论求能量的二级修正。,解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符 ，微扰 和总的（一级近似）哈密顿算符 的形式，也不知道零阶近似波函数 的形式，知道的是在 表象中 的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，按习惯用代表字母的涵义，可以知道几点：,（1）能量本征值是分立的（因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示法），无微扰能量本征值有三个 ，本征函数 。因,（2）微扰算符的的矩阵是,根据无简并微扰论，一级能量修正量是：,从（2）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量：,又二级能量公式是：,所需的矩阵元已经直接由式（2）表示出，毋需再加计算，因而有：

9、,例2、设在H0表象中,用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。,解：直接判断法：题给矩阵进行分解，有,从矩阵（3）知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）,严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。,我们设算符H（1）具有本征矢 ，本征值是 ，列矩阵方程式：,展开后成两式,又假设本征矢是归一化的：,（5）式有 非平凡解的条件是：,（7）,后一式可展开,（8）,（7）是正确本征值解，共有二个，以符号 来区别。,（8）的级数展开

10、式可分写为,中断在第三项的时侯便是二阶近似值，这由对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的。,第七章 自旋与全同粒子（小结）,1电子自旋 电子自旋假设的两个要点： （1） （2）,内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：,斯特恩盖拉赫实验证明了原子具有磁矩和电子自旋。,2.自旋算符和自旋波函数 （1）自旋算符与Pauli矩阵 ：,对易关系：,（单位算符）,（2）自旋波函数 考虑电子的自旋后，电子的波函数是二行一列矩阵：,当电子的自旋与轨道相互作用可以忽略时，电子的波函数可以写为：,的本征函数：,（3）两电子体系的自旋波函数：,算符,3、全同粒子 （1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、

11、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。 （2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。 这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性 或者交换反对称性,玻色子：自旋为整数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如介子（ ），光子（ ）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。,费米子：自旋为 半奇数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵

12、守Fermi 统计，称为Fermi子。,（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。,（4）Pauli不相容原理：不容许有两个或两个以上的全同Fermi 子处于同一个单粒子态。,量子力学基本假设,Fundamental Principles of Quantum Mechanics,Principle I,微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波。,波函数假设,Principle II,若1，2 n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的= c11+c22+cnn也是该体系可能的状态。,态的叠加原理,对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x, y, z, t)表示，*代表粒子出现的几率密度。是体系的状态函数，它包含着体系的所有信息。,Principle III,能量算符的本征方程，是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程。,Schrdinger 方程,Principle IV,量子力学中一个微观体系的每个可观测的力学量，都对应着一个线性厄米算符,力学量和算符,Principle V,在全同粒子作组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换，波函数具有交换对称性：玻色子系