§3高斯定理.ppt

1、电场是物质存在的一种形式，由带电体所激发.电场是矢量场,为了形象描述电场引入电力线.,3 电场线 高斯定理,规定：,一.电力线是在电场中画的曲线,表示电场方向： 曲线上每一点的切向为该点的场强方向.,电力线的性质 1）电力线起于正电荷(或无限远处)，终于负电荷(或无限远处)。 2）两条电力线不会相交. 3）静电场电力线不闭合.,表示场强大小： 电力线的疏密程度表示场强的大小.,说明： 电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化的方法。,矢量场的宏观特征表现为：矢量场“源” 及“旋”，它是矢量固有性质的反映。,（2）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无旋，反之该矢量场有旋。,静电场是矢量场，通

2、过讨论静电场的通量和环流得到静电场的性质.,在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：,（1）若矢量场的通量处处为零, 则称该矢量场无源，反之该矢量场有源。,二 电场强度通量,定义：通过某面积S的电通量等于通过S的电场线的条数。,(1)均匀电场， S是平面，且与电场线垂直,电通量,(2)均匀电场， S是平面，与电场线不垂直,电通量,(3) S是任意曲面，E是非均匀电场把S分成无限多dS,通过dS的通量,通过整个曲面的电通量,对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。,为封闭曲面,电场线穿出处,电场线穿入处,通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根数。,三、高斯定理,高斯定理是静电场的一

3、个重要定理，反映电通量和场源电荷之间的关系.,在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 .,四 高斯定理的证明,高斯,证明方法： 从特殊到一般,1.点电荷q 被任意球面包围,设q 0，场具有球对称性,立体角定义,闭合球面的立体角,任意面元ds,面元 的立体角相同,2.点电荷q被任意曲面包围,对整个闭合面S有,包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于,结果与电力平方反比律分不开,库仑定律中的有理化因子4使高斯定理形式简化。,3.闭合曲面不包围点电荷,闭合曲面不包围点电荷,dS与dS所对的立体角,则电通量也有,对于闭合面的通量为,结论：通过不包围点电荷的闭合曲

4、面的电通量为零,设带电体系由n个点电荷组成,4.多个点电荷被任意闭合曲面包围,其中 k个在闭合面内,n-k个在闭合面外,由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为,高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律,2） q0 ， E0，电力线穿出闭合曲面，正电荷为静电场的源头。,1） q0，E0，电力线进入闭合曲面，负电荷为静电场的尾闾。,结论：静电场为有源场。,库仑定律只适用于静电场，高斯定理适用于静止电荷和静电场，也适用于运动电荷和变化的电磁场。,讨论,3)将 从A移到B，点P电场强度是否变化？,4)穿过高斯面 的 有否变化？,思考,1) 高斯面上的 与那些电荷有关 ？,2) 哪些电荷对闭合曲面 的 有贡

5、献 ？,5) 在点电荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .,例1 均匀带电球面，半径R，所带电荷量为q，求电场的分布。,高斯定理应用举例,在球坐标中，任意点的电场表示为球坐标函数,因为球壳电荷均匀分布，围绕任一直径旋转，电荷分布都不会改变，所以场强分布也不改变。,只有当E0和E0时才能满足以上条件。,电场分布呈球对称性,分析电场分布特点,解：电场分布具有球对称性，则与带电球面距离相同的空间各点的场强大小均相同。,为了利用高斯定理求出空间任一点的场强，过球面外任一点P1，取半径r与带电球面同心的球面作为高斯面.,过球面内一点作一同心球面,通过高斯面的电通量,场强在球面

6、上的值有一个突变,均匀带电球面的场强分布,例2 均匀带电球体，半径为R，总电量为q ,求电场的分布。,解：由于电荷分布具有球对称性，场强分布也具有球对称性。高斯面选择为球面。,要求出球外p点的场强，选取以O为球心，rR为半径的球面S作为高斯面。,通过高斯面的电通量,因p点在球面外,若p 点在球面内时，高斯面包含的电荷量,例3 求无限大均匀带电平面外的电场分布，设电荷面密度为。,分析电场分布特点,在直角坐标中，任意点的电场表示为,因为带电平面绕z轴旋转，电荷分布都不会改变，所以场强分布也不改变。,所以Ex=0，Ey0,解：由对称性，任意场点p的场强 的方向垂直于带电平面。,平面两侧距平面等远点处

7、的场强大小一样。 作一个圆柱形闭合面。,无限大均匀带正电平面的场强,无限大均匀带负电平面的场强,两个无限大均匀带电平板，带电量为等量异号，其场强的分布情况,例4 一厚度为d的无限大均匀带电平板，电荷体密度为。试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标的变化曲线。,解：电荷分布有面对称性，平板两侧到中心面距离相同的各点，场强大小相等。方向与平板垂直。,高斯面取作圆柱面，其轴与平板垂直。,设圆柱底面面积s，到中心平面的距离均为,通过高斯面的电通量,当 时,当 时,例5 无限长均匀带电直线的电场强度,选取闭合的柱形高斯面,无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.

8、,在柱坐标中，任意点的电场表示为,分析电场分布的特点,因为圆柱体电荷均匀分布，围绕其中心轴旋转，电荷分布都不会改变，所以场强分布也不改变。,只有当Ez0和E0时才能满足以上条件。,例6 求均匀带电长直圆柱面电场的空间分布。,过p点做的柱形闭合面,设沿轴线方向，单位长度上的电荷为e,解:对称性分析,电场分布具有柱轴对称性,p点在圆柱体外（rR）,上下两个底面的通量为零,侧面上各点场强的大小相等,p点在圆柱体内（rR）,解：电荷分布是轴对称的，电场分布亦是轴线对称的。,过p点作同轴闭合圆柱面S，其高为h。,例7 求均匀带电长直圆柱体电场的空间分布。,p点在圆柱体外（rR）,p点在圆柱体内（rR）,只有当电荷所激发的电场具有球对称、均匀面对称、均匀轴对称时，才能过该点作出适当的高斯，并按高斯定理求出场强。,高斯面的选取：当电场具有高度的对称性时，根据具体的对称性特点，找出合适的闭合面. （1） 使电场强度都垂直于这个闭合曲面，而且大小处处相等； （2） 使闭合曲面上一部分场强处处与该面平行,因而通过该面的E通量为零