习题课（定积分的应用）

1、,第六部分定积分的应用,习题课,一. 基本要求： 1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。 二. 重点、难点与例子（共11例）. 1. 几何应用方面： (1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面积 2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功 (2) 求压力 3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值 (2) 实际问题 三. 课堂练习(共7题) 四. 综合题(共3题) 综合题解答,第六部分 定积分的应用,一. 基本要求,(1) 因为

2、平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。,1. 定积分的几何

3、应用,2. 元素法,(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？,1o 量 U 与给定区间a, b有关；,2o 量 U 对区间a, b具有可加性.,(2) 计算步骤：,1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a, b ；,2o x a, b,求小区间x, x+dx上的部分量 dU ; 称 dU= f (x)dx为元素 .,(3) 计算中的关键和难点：,找到 f (x) .,f (x)的表示式与选择的坐标系有关。,3o,S,.,.,.,(1) 求面积,S,直角坐标系,极坐标系,边界 函数,图形,面积公式,y=f(x),x = (y), = ( ),S,a,b,x = a, x = b, y

4、 = 0,y = c, y = d, x = 0, = , =,二. 重点、难点与例子. 1. 几何应用方面,例 1.,解：,3,1,3,先画图.,S1,S2,2,.,需分块儿！,1,例 2,2,1,解：,先画图.,用极坐标：,.,r = 4 cos,.,还有别的方法吗？,方法 I.,例,2,1,解：,方法 II.,用初等方法求图示部分：,.,2,例 3,解：,a,a,a,a,.,(2) 求体积,1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积,2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积,x,A(x),x,b,a,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴,f(x),b,x,a,.,.,3o

5、 绕 y 轴旋转的旋转体体积,x=g(y),c,d,.,.,4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积,曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b, y = 0 绕 y 轴.,a,f (x),.,如下例：,b,2a,例4：用柱壳法求旋转体体积.,a,解：,由柱壳法的公式：,.,.,.,分块儿求,怎么分？,S1,S2,1,显然柱壳法简便。,a,b,y = f (x),(),(),.,(3) 求弧长,.,.,(a b ),( ),( ),例 5,解：,先作图 .,图形关于 y 轴对称.,.,1,1,C,B,A,得A(1,1), B(1,1),.,.,例 6,解：,.,曲线 y= f (

6、x) 绕 x 轴旋转,.,(4) 求旋转体侧面积 A .,.,曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。,b,ba,解：,曲线用极坐标：,例 7,由已知公式：,.,平行力：指大小变而方向不变的力。 一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型 曲线积分解决。,2. 物理应用方面,x,F(x),a,b,0,.,一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。,如下例：,解法 I：,选择图示坐标系.,例8.,.,x,y,2米,1,0,x,x+dx,上所消耗的功近似地为：,= 9.8,= 9.8,W = 9.8,.,将这薄层水抽到地面,解法 II：,选择图示坐标系.,例8,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,将这

7、薄层水抽到地面上所消耗的功 近似地为：,= 9.8 ,= 9.8,W = 9.8,解法 III：,选择图示坐标系.,.,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,将这薄层水抽到地面上所消耗的功 近似地为：,显然，选择方法 I和方法 II的坐标系计算功比用方法 III简便一些.,例8,=9.8,=9.8,W = 9.8,(2) 求压力,比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同 的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力 之总和。因此，可以用定积分求压力。 那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？ 由物理学中“帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各 个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一

8、块面积所 受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压 力，即此块水平面积上承受的液体重量。 看下例：,例 9,解：,选择图示坐标系.,x,o,y,a,h,x+dx,x,先求这一薄层的长 b :,这一薄层的面积约为:,所以这一薄层受的水压力约为:,.,a,b,f (x),3. 定积分其他应用：,.,.,解：,.,解：,.,(2) 需要用元素法解决的实际问题,2,r,0,dr,三. 课堂练习,5.,四. 综合练习题,1,1,a,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,三. 课堂练习解答,= 4,解：,2.,.,1,2,2,1,解：,曲线有渐近线： y = 0 .,= 2,3.,解：,由对称性,.,.,4.,解：,这是一条双曲螺线.,由弧长公式.,.,5.,解：,1,2,1,x,把 x 坐标轴平移至 y = 1处.,体积：,