定积分的概念与性质

1、1,第4章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,积分思想先于微分的产生。“无限细分，无限求和”的积分思想，在古代就已经萌牙。最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法。后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运算这是微积分建立的关键所在莱布尼兹创立了积分 这些符号进一步促进了微积分学的发展，并一直沿用至今。,背 景,3,1.曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问

2、题抽象出,求由连续曲线,一、定积分问题举例,来的,现举两例.,想一想：为什么要求曲边梯形的面积？,因为：任意曲线图形的面积往往可化为两个曲边梯形的面积之差。,a) 化整为零,b) 局部近似,c) 求近似和,d) 再取极限,复习：古代如何求圆的面积？,割圆术,问：如何求曲边梯形的面积？,用n-1个分点：,个小区间,其长度,设函数在区间 上连续,如上图，过各分点作 x 轴的垂线，,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形其面积为,把,分成,(1) 分割,在每个小区间上任,取一点,设函数在区间 上连续,以,为高，,以,为底，,作 n 个小矩形，其面积分,别为, 则,(2) 取近似,设函数在区间,上连续,(3

3、) 求和,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,小矩形的划分对曲边梯形的面积有何影响？,分析,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形的面积,由上图观察出：,时,即,于是，,(4) 取极限,12,2.求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,13,(1) 分割,(3) 求和,

4、(4) 取极限,路程的精确值,(2) 取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,14,曲边梯形面积,变速直线运动的路程,两例共同点:,2) 方法一样;,1) 量具有可加性,3) 结果形式一样.,在平时的科学技术和实际生活中，还有许多,问题,问题都可以归结为这种特定和式的极限形式，,那么这和式的极限是什么呢？,定积分。,16,二、定积分的定义,设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),17,被积函数,被积表达式,记为,积分

5、和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,18,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1. 几何意义,三、定积分的几何意义和物理意义,19,几何意义,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条,直线 x =a, x = b之间的,在 x 轴上方的面积取正号;,在 x 轴下方的面积,20,20,例,解,2. 物理意义,t = b所经过的路程 s.,作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻,定积分,表示以变速,21,定理1

6、,定理2,四、关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间断点,可积.,对定积分的补充规定,五、定积分的性质,22,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,性质2,性质3,假设,性质4,性质5,如果在区间,则,23,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,24,解,估计积分,例,25,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,26,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形

7、的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,27,第二节 微积分基本公式,问题的提出,牛顿莱布尼茨公式,28,通过定积分的物理意义,例,变速直线运动的路程为,另一方面这段路程可表示为,(v(t)和s(t)的关系),设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,积分的有效、简便的方法.,找到一个计算定,29,如果能从v(t)求出s(t),这正是第四章已经解决了的微分运算的,？,定积分的计算有捷径可寻,运算.,定积分,运算就可化为减法,启发,不定积分问题.,逆运算 ,30,定理（Newton-Leibniz公式）,如果,是连

8、续函数,的一个原函数,则,二、NewtonLeibniz公式,（证明略）,此公式称为牛顿莱布尼茨公式，,又称为微积分基本公式，即,注,微积分基本公式表明：,（2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题不定积分与定积分两者之间的内在联系,（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.,（4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。,注意,32,例,例,例,原式,解,33,面积,例,解,平面图形的面积.,所围成的,34,公主能嫁出去吗？,很久以前有位国王，住在一座通风良好的城堡里，他有三个既漂亮又聪明的公主。三位公主渐渐长大，到了该结婚的年龄，但是对她们感兴趣的年轻人

9、，没有一个是有出息的，不是飙车族，就是身无一技之长的流浪汉。于是国王设计了一个题目，来考察她们的追求者，主要目的就是要难倒那些飙车族。他向全国臣民宣布：任何人只要能够告诉他全国农民的正确人数，就可以得到1000块金币的奖赏，并得以任娶一位公主为妻；若是答错了，就得砍掉脑袋。（注：按照该国的法律规定，农民的人口密度必须刚好等于每平方英 里 15/8 人） 国王知道他这个问题不简单，因为该国的领土面积很不好计算。怎么说呢？它是一个不规则四边形，其中三边是直线，长度分部是100英里、110英里和10英里，但是第四条边界是沿着一条弯曲的河流，使得面积计算看起来几乎不可能。,数学小故事,35,由于受到高

10、额奖金与公主美色的诱惑，国内许多年轻人都舍命前来一试，不过不幸全都猜错了，当然也都丢掉了脑袋。悬赏不到一年，全国飙车族已经绝迹，国王非常满意，但是公主们却非常失望，他们埋怨道：“老爸！拜托你别再搞这个鬼名堂了吧。这么做实在是无聊透顶！我们的人民连微分都不会，何况积分呢？看样子我们这辈子是永远嫁不出去啦！” 终于有一天，来了一个其貌不扬的外国年轻人，他向国王说：“我特地前来领取奖金，顺便娶走你的一位女儿。”国王听他说得这么有把握，哑然失笑道：“你确定你办得到吗？且先告诉我，在我的王国里一共有多少个农民？” “8125”,年轻人毫不迟疑地答道。顿时国王张口结舌，下巴往下掉了一英尺长。这是哪门子的魔术呀！居然被让猜个正着。国王所不知道的是，这位看似腼腆的青年是周游各地的微积分教授，他骑着自行车来到此王国，路上听说了国王的这些奖赏，即刻知道这是他有生以来能找到对象的最佳机会。,36,他骑着自行车绕了过境一周，在沿着界河前进时，他发现河道正好是 这条曲线，而其他边界界皆为直线并相互 垂直，这个王国的疆域如右图所示：,经过如此这般的仔细分析后，他知道了王国的面积可由下面这个定积分计算出来：,37,由于问题问的是农民问题，所以还得把领土面