偏微分方程的有限差分法

1、.1/7.5，第四章偏微分方程的有限差分法，4.1有限差分法原理4.2热传导方程式的差分解法4.3波动方程的差分解法，1/7.5，4.1有限差分法原理，物理学的许多物理法则用偏微分方程式描述，偏微分方程式主要分为以下3类：上式的a、c， 代替3/75、4.1有限差分法的原理、有限差分解法、差分近似和微分，差分商近似和微分商代替微分商，从而将求解区域内的连续分布函数离散化为网络节点上的离散函数值，将求解的差分方程变更为对应的差分方程式，求出离散节点上的函数、数学基础泰勒(Taylor )展开、4/75、4.1有限差分法原理、差商式结构、泰勒级数展开定义差商、5/75、4.1有限差分法原理、误差为

2、O(h )差商式：一次前差商：一次后差商：6/75、4.1有限差分法原理、二次前差商：式(2)-式(1)X2 差商式： 1.1/7.5，4.1有限差分法原理，二次后方差商：式(2)-式(1)X2， 1.1/7.5，4.1有限差分法原理，一次前方差商： 1.1/7.5，4.1有限差分法原理，一次后方差商： 11/75，4.1有限差分法原理，一次中心差商： 11/754. 当12/75、4.1有限差分原理、差分格式的收敛性和稳定性、收敛性：稳定性：步骤h0时，差分方程的解趋向于差分方程的解。 误差在运算中不会失控，也就是说累积误差不会无限增加。 1.3/7.5，4.1有限差分法的原理是，在数学上没

3、有限制的差分方程有无限解，不能构成一个定解问题。 物理上，描述物理问题的差分方程仅能够应用于描述发生在连续统或物理场景中的物理过程，而不能仅通过这些个的差分方程来确定该物理过程的具体特征。 因此，为了解决实际的物理问题，需要知道连续统或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。 1.4/7.5，4.1有限差分原理，初始条件：与时间有关，边界条件：边界受外界影响，偏微分方程的解条件，常见物理问题可归纳为三种边界条件：1.5/7.5，4.1有限差分法原理，第二种边界条件(诺伊曼Neumann )， 第一类边界条件热传导问题：已知边界上的温度分布，热传导问题：已知边界的每单位面积的热流量，并且上面的已知

4、函数由外法线q0 (用n表示)定义， 1.6/7.5，4.1有限差分法的原理是根据热力学傅里叶定律获得的热流量：每单位面积的热流量：K:导热系数，每单位时间通过规定截面的热量，与其界面垂直方向的温度变化率和截面积成比例，导热方向与温度上升方向相反。17/75、4.1有限差分法原理、第三类边界条件(罗平Robin )、导热问题：边界表面与外界之间的热交换已知，a0，b0.c0定义上的已知函数，外界温度为u0，热交换规律遵循导热实验规律：单位时间内，边界单位面积传到周围的热流量对边界表面与外界的温差有影响、18/75、4.1有限差分的原理对于实际物理问题，边界条件可能复杂，一种或不同边界区域的一些

5、边界条件的组合，且不能在这三种边界条件下描述。热交换系数u :边界温度、每单位面积的热流量： 19/75、4.2热传导方程式的差分解法、物理学中的热传导、热辐射及瓦斯气体扩散现象的描述，通常可以归结为相同类型的抛物线型方程式，通常采用二次偏微分方程进行描述，这些个方程式统称为热传导方程式。为了解决20/75、4.2热传导方程式的差分解法、一维度各向同性、均匀介质、无热源的热传导方程式： u(x，t )，还必须利用边界条件和初始条件。 解条件：边界条件和初始条件。 解决问题：解存在，唯一且连续地依赖于初始条件。对4.2.1一维度热传导方程式的差分解法、 21/75、4.2热传导方程式的差分解法、

6、一维度热传导问题(第一类边界条件)，数值解在求解区域中求在中的一些离散点(xi，ti )上与u(xi，ti )一盏茶近似的解。 在22/75、4.2热传导方程式差分解法、使1求解区域离散化(决定离散点)、23/75、4.2热传导方程式的差分解法、2导出差分递归式、结节点(xi，tk )中，二次前方差分商O(h2 )、24/75、4.2热传导方程式的差分解法，同样在节点(xi，tk )中， 一阶前向差分商O(h ).2.5/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，一维度热传导方程式可以近似，令，o (h )， 2.6/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，初始条件、边界条件， 27/75，4.2热

7、传导方程式的差分解法，一维热传导方程式的差分回归方程式为. 28/75， 4.2热传导方程式的差分解法差分递归式的稳定性：对于一维度热传导方程式，差分形式是稳定的差分形式这一一盏茶条件是. 2.9/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，为了提高数值解的精度，必须变小，与之相应地变小，计算量必然增加。 这是描述差分格式的缺点，但其优点是计算简单。 3.0/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，差分形式计算步骤：给出的计算初始值：计算界限值：用差分形式计算、31/75、4.2热传导方程式的差分解法、 32/75、4.2热传导方程式的差分解法、 33/75、4.2热传导方程式的差分解法、X=diag

8、(v k ) 对于n个元素向量，v表示阶数n abs(k )的方阵x，其中v表示x的第k个对角元素，k=0表示主对角元素，k0表示主对角元素，并且k0表示主对角元素的下方。 v=ones (1，5 ) x1=诊断(v ) x2=诊断(v，1 ) x3=诊断(v，-1)，3.4/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，(1-2* ) *诊断(1，n-1 ) * (诊断(1，N-2 )，1 ) 求35/75 4.2热传导方程式的差分解法，例4.2.1热传导方程式的混合问题， 3.6/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，3.8/75，4.2.1热传导方程式的差分解法，40/75，4.2热传导方程式的

9、差分解法，41/75，4.2热传导方程式的差分解法，二维各向同性，均匀介质，均匀介质、4.2.2二维热传导方程式的差分解法、 4.5/7.5、4.2热传导方程式的差分解法，在同一维上类似，对求解区域进行离散化， 4.5/7.5、4.2热传导方程式的差分解法，在节点(xi，yj，tk )上， 4.5/75，4.2热传导方程式的差分解法，在节点(xi，yj，tk )上， 45 假设75 4.2热传导方程式的差分解法、二次元热传导方程式可以近似，则46/75、4.2热传导方程式的差分解法、差分递归式为，4.7/75，4.2热传导方程式的差分解法、边界条件：一，右图的阴影部分是绝热壁，该绝热壁可以用第

10、二类边界条件记述，即热流量为零。第二类边界条件：以边界表面的每单位面积的热流量已知. 4.8/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，差分近似为. 4.9/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，递归式为： 5.0/75，4.2热传导方程式的差分解法，2，i=0边界，M1jM2区域取与高温恒温热源连接的口，温度取归一化值1 j=0和j=M的边界与低温恒温热源相连，温度始终为0。5.1/7.5，4.2热传导方程式差分解法，二次元热传导方程式，差分递归式是. 5.2/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，稳定差分形式的充分条件是. 53/75，4.2热传导方程式的差分解法， 54/75，4.2热传导方

11、程式的差分解法， 55/75，4.2热传导方程式的差分解法， 5.6/7.5，4.2热传导方程式的差分解法， 5.7/7.5，4.2热传导方程式的差分解法， 5.8/7.5，4.2热传导方程式的差分解法，view(az，el) az:方位角el:仰角view (0，90 ) view (-37.5，30 )， 59/75，4.2热传导6.0/7.5，4.3波动方程的差分解法，一维度均匀弦线的自由振荡方程式：波动方程的差分解法也是利用网格结节点的构成方法，6.1/75，4.3波动方程式的差分解法，通过二次中心差分近似方法得到：62/75， 4.3波动方程的差分解法可以代入波动方程得到：6.3/7

12、.5，4.3波动方程的差分解法，边界条件，初始条件，6.4/7.5，4.3波动方程的差分解法，a初始条件： 65/75，4.3波动方程式的差分解法，a1前方差分： 66/75， 4.3波动方程的差分解法a2中心差分：从，(k=0)、 67/75、4.3波动方程的差分解法，误差：整理： 68/75、4.3波动方程的差分解法，b边界条件：一维波动方程式的差分形式有以下两种。 6.9/7.5，4.3波动方程的差分解法，第一种：误差： 7.0/7.5，4.3波动方程的差分解法第二种：误差： 7.1/7.5，4.3波动方程式的差分解法，第二种差分格式的精度比第一种高，是经常采用的方法。 理论上，两个差分格式的稳定条件是、 72/75、4.3波动方程的差分解法，计算可证明波动方程差分格式的计算步骤如下： 计算。 计算初始值和边缘值，计算出的7.3/7.5，4.3波动方程的差分解法。例如：计算以下一维度波动方程。7.4/7.5，4.3波动方程的差分解法， 75/75，4.3波动