反函数的概念

1、4.5 反函数的概念,引 例,甲、乙两地相距30公里，某人以10公里/小时的速度从甲地到乙地，,1、将路程 y（公里）表示成时间 x（小时）的函数；,2、将时间 x（小时）表示成路程 y（公里）的函数。,y=10 x,x=y/10,定 义,反函数的概念：,一般地，对于函数 y=f (x),，设它的定义域为D，值域为A，,在D中总有唯一确定的 x 值和它对应，且满足 y=f (x) ，,如果对A中任意一个值 y ，,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y=f (x) 的反函数，,记作：x = f -1 ( y ),在习惯上，自变量用 x 表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为：,y = f

2、-1 ( x )，（xA）,例 题,例1：求下列函数的反函数：,1）反函数的反函数是什么？,3）任意一个函数都有反函数吗？,反函数存在的条件是什么？,原函数,即原函数与反函数互为反函数,2）反函数的定义域、值域与原函数有什么关 系？,从反函数的定义可知，反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。,探求反函数成立的条件,例1 求下列函数的反函数 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ）,反函数成立条件：,x与y必须一一对应,在定义域上单调的函数是否一定有反函数？ 具有反函数的函数是否一定是单调函数？,已知函数,有反函数，则方程,（A）有且只有一个实根 （B）至多有一个实根

3、 （C）至少有一个实根 （D）不同于以上结论,为常数）（ ）,B,1）一次函数 y=ax+b（a0）是否有反函数？,2）反比例函数 （a0）是否有反函数？,3）二次函数 是否有反函数？,什么情况下具有反函数？,例1.判断下列函数是否存在反函数.,(1),(2),(3),(4),(5),(6),存在,不存在,存在,存在,存在,不存在,求下列函数的反函数.,(1),(2),解: (1),因此反函数为,(2),解得：,解得：,因此反函数为,求反函数的步骤：,1）通过解方程的方法变形，把 x 用 y 表示出来；,2）对字母 x 、 y 进行互换；,3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。,例求下列函数

4、的反函数：,注意: (1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。 (2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接 由反函数解析式求得。,例1、求函数 的反函数，并且在同一坐标内画出原函数和其反函数的图象。,解: 由 得:,与 互换,所求反函数为 。,从函数图像看：,原函数和反函数图像关于y=x对称。,探讨函数及其反函数的关系,从函数角度看：,从函数图像看：,原函数和反函数图像关于y=x对称。,若函数 有反函数 ，则 的反函数是 ，即 和 互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域。,点 在原函数图象上,点 在反函数,图象上.,单调函数的反函数也是单调函数,且两个函

5、数具有相同的单调性.,单调函数的反函数的单调性:,反函数的概念小结,存在反函数的,是一一对应的,与,函数 与函数,互为反函数.,充要条件是：,(1),(2),对应法则互逆，定义域、值域互反.,(3)求反函数的步骤：,1）通过解方程的方法变形，把 x 用 y 表示出来；,2）对字母 x 、 y 进行互换；,3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。,例 .已知 ，求,解：,因此,解法二：设,因此,即点 在 图像上,即点 在 图像上,解得,解毕,例2. 若点（1，2）既在函数 图象上，又在它反函数的图象上，求实数 的值。,例3. 已知 ,求,a=-1,b=5,x=1,4,例4. 若两条直线 和 关于

6、直线 对称, 求 的值.,n=0.5,m=-6, m+n=-5.5,原函数与反函数的交点一定在直线,上吗？,举出一些函数,使它的反函数是其本身,说明他们的图象有什么特征?,函数 的反函数是其本身,函数,图象关于直线 对称 .,例 .求证：函数 的图像关于直线,对称.,分析：由于,存在反函数，且,因此，即证,证：,因此 的图像关于直线 对称.,与 的图像关于 对称，,证毕,例 . 若函数 的图象关于直线 对称, 求实数 的值.,a=1,反函数与原函数的奇偶性是否一致？,答：偶函数没有反函数； 奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。,一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗? 与单调性有关吗? 请同学们研究如下问题:,1、如果一个函