第7章 图像重建的应用.ppt

1、数字图像处理学 第7章 图像重建 （第三讲）,在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介绍些基本的重建方法。,774 图像重建的应用,在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。因此，本章主要介绍些基本的重建方法。,在三维重建中的数据形式有三种 （1）透射模型 （光，x射线） （2）发射模型 （核磁共振等） （3）反射模型 （光电子，雷达，超声波）,图 61 图像重建的透射、

2、反射、发射三种模式示意图,假设，两个嵌在内部的物体只能从外边观察，那么，采用什么检测手段才能达到这样的目的呢。当然，将物体切开是一种显而易见的解决方法。然而,在许多情况下这样做是不实际的，比如说，医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性方法。,透射模型： 建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上， 透射模型经常用在射线、电子射线及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定的吸收法则。,发射模型： 发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方向分解散射的两束伽码射线来实现的。这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位

3、置。,反射模型 能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如，光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等都可以用来进行这种测定。,6.1 经典断层成像,断层成像一种将物体的每一片层完全隔离出来进行观察的无损检测技术。这是一种透射检测得到数据，透射路径被限制在所关心的平面内。对于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减系数。,对于人体来说，大部分软组织是水，但仍有足够的差异，不同的组织以产生不同的衰减系数，这样就可以给出一幅解剖的横截面图像，该图像包括一些定量信息。 衰减系数的单位 H（豪斯费尔德） (Hounsfield),一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的0.1%，标度上选择 H（水）=0 对于空气

4、 H=-1000 骨骼 H=+1000 早期的断层成像是用机械方法得到，如下图所示：,图 62 常规断层摄影的原理示意图,这是一种将物体的每一片层完全隔离出来进行观察的无损检测技术。这是一种投射测量检测得到数据，投射路径被限制在所关心的平面内。,对于医学上的应用来说被计算的特性是组织的衰减系数，对于人体来说，大部分软组织是水，但仍有足够的差异，以产生不同的衰减系数，这样就可以给出一幅解剖横截面图像，也包括一些定量信息。计算机成像示意图如下：,6.2 关于计算机断层成像,图 62 计算机断层成像示意图,X射线经过物体时会发生衰减，不同的物质衰减是不一样的。得到物体的图像最直接的方法是沿Y轴经衰减

5、直接在胶片上成像。这与X光透视是一样的，这样会造成图像的混叠。,CT是把物体在Y轴方向划分成小的薄片，薄片的厚度是一个重要的参数，一般为1、2、3、4、5、8、10mm。每个薄片再划分为小的单元，即体素。,在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样，就产生了断层图像。,计算机断层成像原理如下：,设某一物体体素对X射线的衰减系数为，体素厚度为d ， 和 为穿透物体前后的X射线的辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：,假如一条直线上有n个体素， 第一个体素的衰减为:,第二个体素衰减为：,对于第n个体素有： 显然：,即： 一般

6、情况探测器只能测到 ，而不能测到 ，因此，不能直接记录各个体素的衰减系数。但是，我们可以用数学方法求解衰减系数。,假如某断层有2X2个体素，相应的衰减系数为 ，,分别从X和Z方向投影，测得的衰减系数为A，B，C，D，即：,从而，可以解出 的值来。我们用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得到相应的断层图像。 如果图像的分辨率为512X512，则图像有262144个独立阵元，需要解262144元的方程组，计算出值，重建出图像。,6.3 断层图像重建算法：,扫描系统由x射线源和检测器组成，x射线穿过物体，由检测器检测，x射线源和检测器组合横向扫描，可产生一个投影，在旋转角度变更的条件下，就可以产生

7、一个投影数据组。 为了从理论上分析重建算法，我们先定义几个坐标系,1) x-y 坐标系 2) xr-yr坐标系，它相对于x-y坐标系逆时针旋转了一个角度,其中：,3) 极坐标,令f(x,y)是介质的衰减系数，如果衰减系数在介质中为恒定的，即 f(x,y)=。 如果x射线行进距离为x，则射线衰减规律将遵循比尔定律（Beers law)，即： 式中 ： 为入射光子积分通量 为透射的光子积分通量。,如果衰减系数不是恒定值则要沿吸收路径作积分,L为x射线源到检测器的直线路径。,为得到一个透射量的数组，可作如下处理：,即： 作线性化处理：,这里 就叫雷登变换（Radon Transformation）

8、或称为f(x,y)的投影,这里物体断层重建的任务就是求 的逆。 这里，我们可把 看成是在给定的投影角 之下，关于 的一维连续函数。,为了清楚起见，我们先来看一下物体从x-y空间到投影数据空间 空间的关系。也就是物体空间与 Radon 空间的关系。,图中(a)是线积分路径L变换为Radon空间中的点 。 (b)是通过 的所有投影的轨迹是圆心在 直径为 r 的圆。,1) 、在Radon空间中，每一点代表通过物体的一个线积分。 2) 、物体空间与Radon空间的等效关系可以由两个空间点的映射关系阐述。,3) 、物体空间中的一点M（或（r，）其 由下式给出： 这在Radon空间是一个圆方程，该方程由原

9、点及 为端点作为直径的圆唯一的确定。,所以，如果以 和 作为笛卡尔坐标，对投影数据进行映射，同样可以得到投影空间中各点与物体空间中线积分路径之间的一一对应关系， 这里只考虑 内的 值 ，因为所有的投影数据都包含在这一范围内。通过物体的给定点的所有投影的轨迹由 给出。,这是一条余弦曲线，这样物体点的矢径 r 与方位角可以被直接编码。 这一投影数据的特殊形式称为正弦图（sinogram）格式。,（a)由线 l 确定的一个投影数据点映射到正弦图空间中的 点，这里 代表物空间中 l 的垂足矢量。 （b）通过点 的所有线积分的轨迹是一幅值为 r 相角为 的余弦波。,数据组 有如下一些性质： 1)、它是有

10、界的，f(x,y)与 同属于一个最小的支集圆。 2) 、存在对称性，实际上，x 射线源与检测器互换不影响检测器的透射检测值。即：,3) 、投影数据有一个附加约束。 实际上，由定义可以看出： 此式右边是物体对整个空间的二维积分，其值显然与坐标取向无关。,4) 、物体构造的复杂性和所需的投影数目之间存在一定关系。,如果只有水平和垂直投影，显然有不确定性，加上第三个投影就可以消除这种不确定性了。 物体和投影的关系有三条特点: 1) 、任何物体可完全由其连续的投影组来描述，也就是说,最复杂的物体也可以由其投影来重建；,2) 、蕴含在每一个投影中的信息都有一明确的解释； 3) 、由2) 提供的解释导出了

11、求解 的各种等价的解析方法。,6.4 投影定理(中心切片定理),考虑通过角度 穿过物体的投影表达式为： 的一维傅立哀变换由下式给出：,如果用 表示与 相对应的二维傅立哀空间域变量，则有 该式的右边是物体的二维付里哀变换沿 等于零所取的值。,因此，投影的一维付里哀变换等于物体二维付里哀变换的一个特定截面。 这个特定截面就是 轴。这就是中心切片定理。 为了进一步说明上述定理，考虑一个有界物体，通过对它的所有二维空间频率分量的线性叠加，总能合成这一物体。,现在，考虑一个余弦分量（见下图） 仅当投影方向平行于波脊时，投影才不等零。在这个特定方向下，整个余弦分量被投影到 轴上，分量的傅立哀变换示于图(b

12、)。,(a)一般物体的分布（x,y) 可以分解为正弦分量和余弦分量，图中画出了余弦分量的一个。该分量的投影仅在一个方向下不等于零，在这一特定的角度下，这一分量全部映射在投影上。 （b）这一分量的付里哀变换是位于 轴上的一对 函数。,原物体是由许多具有不同相位、不同频率和不同方向的波分量叠加而成的，由此可以得出：只有那些平行于第一个波的分量，其变换才位于 轴上，同时，只有这些波才会改变 的形式。因此，该投影的变换就与整个二维变换的相应截面（或片层）完全相同。,从中心切片定理，我们可以得到两个重要结论： 1)、 在这些投影中的确包含了足够的信息来重建一般物体；,2) 、为了重建这一物体，需要无穷多

13、个或连续的投影数据；因为只有这样才能完全确定傅立哀空间的物体分布，从而通过反变换确定实际物体。实际上用有限个投影角，每个投影以有限个样本就可以得到满意的重建。,6.5 反投影与累加图像,反投影是指投影之逆，形象的解释是取 的一维函数(投影数据)，把它沿 方向向整个空间均匀地抹一次，由此产生一个二维分布 。 用数学表示，一维投影 的反投影由下式给出：,极坐标下： 把许多反投影加以组合就会产生一个新的二维图像，称为累加图像。如果我们取相应于不同角度 的一组物体投影的一系列离散的反投影，则累加图像就是各个反投影的算数和。 离散情况下：,在连续情况下：,对的积分区间在0之间就可获得全部信息。b（r，）

14、就是反投影图像，也有称其为“层图” （Layergram）。 反投影的运算概念可由下图说明：,把一个一维的投影数据均匀地回抹到二维空间。该图表示的是四个投影 及其累加图，后者是四个相应的反投影相加形成的，原物体是具有不同尺寸的两个圆盘。,傅立哀变换重建 傅立哀变换重建是较简单的重建方法，它是1974年由shepp和logan开发的算法。 其基本原理如下： 令f（x，y）是一幅图像，其二维傅立哀变换如下式所示，,而f(x,y)在x轴上的投影可表示为下式： 这一投影的一维傅立哀变换为： 这一表达式恰好与f(x,y)的二维傅立哀变换,的表达式一致，即： 现在假设将函数投影到一条经过旋转了 角的直线上

15、。 如果投影选作 轴，投影点通过距 轴距离为 处的平行线对函数积分有：,它的一维傅立哀变换为： 也可写成下式： 作一个代换：(为使展开式与2D傅立哀变换一致）,如果（u，v）点处在 角一定，而距原点的距离r可变的这样一条直线上，则 如果投影变换对所有的 都是已知的，图像的二维变换也是可以确定的，为了得到原图像，只需作一个反傅立哀变换就可以了 这就是用傅立哀变换的基本重建技术。,Radon反变换 由中心切片定理,写成极坐标形式：,这里写成两部分是必要的，因为傅立叶空间的极坐标定义区间为：,而数据采集坐标和 的定义在：,用极坐标表示傅立叶反变换为：,为了把物体函数用它的投影 清楚的表示出来，我们把上式分成两部分：,利用投影定理,此式利用了,则：,合并二式：,这一式子可理解为 的一维付里哀反变换。该式也可以写成下列形式：,式中： 应用卷积定理： 式中