高三数学 数列常用解法和习题（通用）

1、数列知识点和常用的解题方法归纳数列知识点和常用的解题方法归纳 一、一、 等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质 0 的二次函数） 项，即： 二、等比数列的定义与性质二、等比数列的定义与性质 三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 1、公式法公式法 2、 3 3、求差（商）法、求差（商）法 解：解： 练习 4 4、叠乘法、叠乘法 解：解： 5 5、等差型递推公式、等差型递推公式 练习 6 6、等比型递推公式、等比型递推公式 练习 7 7、倒数法、倒数法 三、三、 你熟悉求数列前你熟悉求数列前 n n 项和的常用方法吗？项和的常用方法吗？ 1 1、公式法：等

2、差、等比前、公式法：等差、等比前 n n 项和公式项和公式 2 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解：解： 练习 3 3、错位相减法：、错位相减法： 4 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 练习 20202020 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 1 1、设为等比数列的前项和， ，则 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求

3、式可知答案选 D，本题 主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，属中档题 2 2、如果等差数列中， ，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 3 3、设为等比数列的前项和，已知， ，则公比 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 解析：选 B. 两式相减得， ，. 4 4、设an是有正数组成的等比数列，为其前 n 项和。已知 a2a4=1, ,则 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决 问题的能力。 【

4、解析】由 a2a4=1 可得，因此，又因为，联力两式有，所以 q=,所以，故选 B。 5 5、如果等差数列中， +=12，那么+= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析解析】C】C：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。 ， 6 6、.等比数列中， ， =4，函数，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的 数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则只与函数的一次项有关；得： 。 7 7、 （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查

5、等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 8 8、(5)设数列的前 n 项和，则的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 5.A 【解析】. 【方法技巧】直接根据即可得出结论. 9、在等差数列中， ，则的值为 （A）5 （B）6来源:高（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得， 解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. ()由（）知=2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n=2n+1-2. 5 5、 （本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等比数列，

6、且 ， （）求的通项公式； （）设，求数列的前项和。 【解析解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。 （1 1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。 （2 2）由（）由（1 1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BNBN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分的通项公式，由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。 6 6、 （本小题满分 14 分） 证明以下命题：

7、（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得成等差数列。 （2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证， ；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能 成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，则， 分解得： 选取关于 n 的一个多项式，做两种途径的分解 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长

8、关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若m，相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 7 7、 （本小题满分 13 分) 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正 整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列. ()证明：为等比数列； （）设，求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概 括能力以及推理论证能力. 【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心 距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，

9、即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用 （1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和. 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出 关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公 式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时，通常是利用前 n 项和乘以公比，然后错位相减解决. 8、 （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. （）求通项及； （）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数

10、列的通项公式及其前项和. 9 9、 （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足+15=0。 （）若=5，求及 a1； （）求 d 的取值范围。 1010、 （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 在数列中， =1， ，其中实数。 （I）求的通项公式； （II）若对一切有，求 c 的取值范围。 1111、 （本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，.的前 n 项和为. （）求及； （）令（）,求数列的前 n 项和. 1212、 （本小题共 13 分） 已知为等差数列，且， 。 （）求的通项公

11、式； （）若等差数列满足， ，求的前 n 项和公式 解：（）设等差数列的公差。 因为 所以 解得 所以 （）设等比数列的公比为 因为 所以 即=3 所以的前项和公式为 1313、 （本小题共 13 分） 已知集合对于， ，定义 A 与 B 的差为 A 与 B 之间的距离为 （）证明：，且; （）证明：三个数中至少有一个是偶数 () 设 P，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 (P). 证明：（P）. （考生务必将答案答在答题卡上，在上作答无效） 证明：（I）设， ， 因为， ，所以, 从而 又 由题意知， ，. 当时，; 当时， 所以 (II)设， ， ， ，.

12、记，由（I）可知 所以中 1 的个数为，的 1 的 个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即, ,三个数中至少有一个是偶数。 （III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 设种所有元素的第个位置的数字中共有个 1，个 0 则= 由于 所以 从而 1414（本小题满分 12 分） 已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有 a2m1a2n12amn12(mn)2 （）求a3，a5； （）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列； （）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和

13、化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解 决问题的能力. 解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202 分 (2)当nN *时，由已知(以n2 代替m)可得 a2n3a2n12a2n18 于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m 即 bn1bn8 所以bn是公差为 8 的等差数列5 分 (3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为 8 的等差数列 则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2 另由已知(令m1)可得 an-(n1)2. 那么an1an2n1w_w w

14、. k#s5_u.c o*m 2n1 2n 于是cn2nqn1. 当q1 时，Sn2462nn(n1) 当q1 时，Sn2q04q16q22nqn1. 两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn. 上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 22nqn 2 所以Sn2 综上所述，Sn12 分 1515、 （本小题满分 14 分） 在数列中， =0，且对任意 k，成等其公差为 2k. （）证明成等比数列； （）求数列的通项公式； （）记，证明. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等 基础知

15、识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法，满分 14 分。 （I）证明：由题设可知， ， ， ， ， 。 从而，所以， ，成等比数列。 （II）解：由题设可得 所以 . 由，得，从而. 所以数列的通项公式为或写为， 。 （III）证明：由（II）可知， ， 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m 若，则， 若，则 . 所以，从而 （2）当 n 为奇数时，设。 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 1616、 （本小题满分 14 分） 在数列中， ，且对任意.， ，成等差数列，其公差为。 （）若=，证明， ，成等比数列（） （

16、）若对任意， ， ，成等比数列，其公比为。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、 数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类 讨论的思想方法。满分 14 分。 （）证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 （）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当1 时，可知1，k 从而 所以是等差数列，公差为 1。 （）证明：， ，可得，从而=1.由（）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m() 若 m=1,则. 若 m2，

17、则 + 所以 (2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（） 所以从而 综合（1） （2）可知，对任意, ,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为 1。 （ii）证明：因为所以。 所以，从而， 。于是，由（i）可知所以是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可 得=，故。 从而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。 1717、(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列中， . （）设，求数列的通项公式； （）求使不等式成立的的取值范围 . 1818、 （本小题满分 12 分）w_

18、w w. k#s5_u.c o*m 已知等差数列的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。 （）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m （）设，求数列的前 n 项和 1919、本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：， ，的前n项和为 （）求及； （）令bn= (nN*)，求数列的前n项和 【解析】 （）设等差数列的公差为 d，因为， ，所以有 ，解得， 所以； =。 （）由（）知，所以bn=， 所以=， 即数列的前n项和=。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和， 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2020、 （本小题满分

19、 13 分） 数列中，是函数的极小值点 （）当 a=0 时，求通项； （）是否存在 a，使数列是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说 明理由。 21、 （） 22、 （本小题满分 12 分） 设数列中的每一项都不为 0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 。 2323、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列的前 n 项和为，已知，数列是公差为的等差数列。 （1）求数列的通项公式（用表示） ； （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。 解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分 析及论证的能力

20、。满分 16 分。 （1）由题意知：， ， 化简，得： ， 当时， ，适合情形。 故所求 （2） （方法一） ，恒成立。 又， ， 故，即的最大值为。 （方法二）由及，得， 。 于是，对满足题设的， ，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。 于是，只要，即当时， 。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。 高考文科数学试卷中的数列题浅析 例 1 设an是等差数列，若a2=3，a=13，则数列an前 8 项的和为（ ） A128 B80 C64 D56 略解： a2 +a= a+a=16，an前 8 项的和为 64，故应选 C 例 2 已知等比数列满足，则（

21、 ） A64B81C128D243 答案：A 例 3 已知等差数列中， ， ，若，则数列的前 5 项和等于（ ） A30B45C90D186 略解：a-a=3d=9， d=3，b=，b=a=30，的前 5 项和等于 90，故答案是 C 例 4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ） A2 B3 C6 D7 略解：,故选 B. 例 5 在数列中， ， ，,其中为常数，则 答案：1 例 6 在数列中， ， ，则（ ） A B C D （江西卷第 5 题） 答案：A 例 7 设数列中， ，则通项_此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项 公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口 略解： ， ，

22、 ， ， ， ， 将以上各式相加，得，故应填+ +1 例 8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( ) A6B7C8 D9 答案：B 使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的 差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数 列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变 化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项 公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题， 浙江卷第 4 题

23、，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都 是关于数列的客观题，可供大家作为练习 例 9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（） （nN*）在函数y=x2+1 的图象上. ()求数列an的通项公式； ()若数列bn满足b1=1，bn+1=bn+，求证： bnbn+2b2n+1. 略解：（）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列故an=1+(n-1)1=n. ()由（）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1） +b1=2n-1+2n

24、-2+2+1=2n-1. bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, bnbn+2b 对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12n（bn+1- 2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0， bn-bn+2b2n+1. 例 10 在数列中， ， （）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和 （全 国卷第 19 题） 略解：（） =1，则为等差数列， ， ， （） ， 两式相减，得= 对于

25、例 10 第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常 数可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1 等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论， 犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列” ，在高考数列考题中出现的频率很 高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比 差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身， 而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示 例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江 卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列