高中数学 1.1.1 集合的概念教案一 新人教B版必修1（通用）

1、1.1.1集合的概念教学目标：(1)使学生理解集合的概念，了解常用数集的概念和符号(2)让学生理解“归属”关系的含义(3)让学生理解有限集、无限集和空集的含义教学重点：收藏的基本概念教学过程：1.介绍(1)本章开头的介绍(2)集合论和集合论的创始人康托(介绍请参考附录中的内容)2.教授新的课程阅读课本，思考以下问题：(1)什么是概念？(2)有哪些符号？(3)集合中元素的特征是什么？(4)如何对集合进行分类？(a)相关概念：1、集合的概念(1)对象：我们可以感觉到的客观存在，我们思想中的事物或抽象符号可以称为对象。(2)集合：把不同的可以确定的对象作为一个整体，也就是说，整体是由所有这些对象组成

2、的集合。(3)元素：集合中的每个对象都被称为这个集合的一个元素。集合通常用大写的拉丁字母表示，如a，b，c，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a，b，c，2.元素和集合之间的关系(1)属于：如果a是集合a的一个元素，则称a属于a，记录为a a。(2)不属于：如果A不是集合A的一个元素，就说A不属于A，它被记录为注意“”的方向，不要把A写颠倒了。3.集合中元素的特征(1)确定性：给定一个集合，任何对象是否是该集合的一个元素是确定的。(2)异质性：集合中的元素必须不同。(3)无序：集合中的元素没有固定的顺序。4.设置分类根据藏品中所含元素的不同属，藏品可分为以下几类：(1)没有任何元素的集合称为空集

3、合(2)具有有限元素的集合称为有限集合(3)包含无限元素的集合称为无限集合注意：应该区分符号的含义，如、和05.常用的数字集合及其表示(1)非负整数集(自然数集):所有非负整数的集合，表示为n。(2)正整数集：非负整数集中除0以外的集。请记为N*或N(3)整数集：所有整数的集合，表示为z(4)有理数集：所有有理数的集合，表示为q(5)实数集：所有实数的集合，记录为r注：(1)自然数集包括数字0。(2)在非负整数集合中不包括0的集合被表示为在诸如N*或N，Q，Z，R等其他数字集合中不包括0的集合。也是这样表达的。例如，整数集中不包括0的集合表示为Z*课堂练习：课本第5页的练习a和练习b在这堂课上

4、，我们了解集合论的发展，学习集合的概念和相关性质课后作业：练习1-1B，第10页，问题3附录：集合论的诞生韩学涛集合论是由德国著名数学家康托在19世纪末创立的。17世纪，一个新的数学分支出现了：微积分。在接下来的一两百年里，这门崭新的学科发展迅速，并产生了丰硕的成果。它的迅速发展使它来不及检查和巩固其理论基础。19世纪初，在许多迫切的问题得到解决后，一场重建数学基础的运动出现了。正是在这场运动中，康托开始探索前人从未涉及过的实数集合，这是集合论研究的开端。到1874年，康托开始普遍提出“集合”的概念。他对集合的定义是：将某些不同的事物(无论是具体的还是抽象的)组合成一个整体，这叫做集合，其中所

5、有的事物都被称为集合的元素。人们在1873年12月7日给了康托。康托不朽的成就前苏联数学家科尔莫戈洛夫(Colmo Golov)对康托尔的工作发表了评论，他说：“康托尔不朽的成就在于他走向无限的冒险。”因此，只有当我们知道康托在他对无限的研究中得出什么结论时，我们才能真正理解他的工作的价值和许多反对声音的来源。数学与无限有着不解之缘，但在研究无限的道路上却充满了陷阱。出于这个原因，数学家们总是带着怀疑的眼光看待无限，并在数学发展的过程中尽可能地回避这个概念。然而，试图把握无限的康托，勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无限集合这个词引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟了一个奇妙的新世

6、界。“我们把所有自然数的集合简称为自然数集，并用字母N来表示它。”学完集子一章后，学生不应该对这句话不熟悉。然而，当学生接受这句话时，他们不能认为康托是在更新无限的概念。在此之前，数学家们只把无限看作是一个不断扩展、不断变化和增长的事物来解释它。无限总是在结构中。永远无法完成的是潜力，而不是现实。这种无限的概念在数学中被称为潜在无限。18世纪的数学王子高斯持有这种观点。用他的话说，就是”.我反对把无限当作一个实体，这在数学中是永远不允许的。无限只是一种说话的方式”当康托把所有自然数看作一个集合时，他把无限的整体看作一个完整的东西，所以他肯定了无限是一个完整的整体，这就是数学中真正的无限思想。由

7、于潜在的无限思想在微积分基础重建中取得了全面的胜利，康托的真正的无限思想受到当时一些数学家的批评和攻击也就不足为奇了。然而，康托并没有就此止步。他以前所未有的方式继续积极探索无限。在真实无限的基础上，他得出了一系列结论，创造了一个激动人心的、影响深远的理论。这一理论确实使人们进入了一个难以捉摸而又奇特的无限世界。最能显示他独创性的是他对无限集合中元素数目的研究。他提出用一对一对应准则来比较无限集合中的元素数。他把能在元素之间建立一一对应关系的集合称为同一个数。他自己的概念是等电位。因为无限集合可以和它的适当子集建立一一对应关系例如，学生可以很容易地发现自然数集合和正偶集合之间存在一一对应关系也

8、就是说，无限集合可以有与其适当子集相等的数，这与“全体大于部分”的传统观点相矛盾。康托认为这正是无限集合的特征。从这个意义上说，自然数集和正偶数集有相同的数，他称之为可数集。证明有理数集与自然数集具有相等的势是容易的，所以有理数集也是可数集。后来，当他证明代数数集也是可数集时，一个自然的想法是无限集是一致的，所有的可数集都是一致的。然而，出乎意料的是，在1873年，他证明了实数集比自然数集有更大的潜力。这不仅意味着有更多的无理数。而且，很明显，与超越数相比，庞大的代数数只是沧海一粟，正如有人所描述的那样：“点缀在平面上的代数数就像夜空中的星星；而沉重的夜空是由超越数组成的。”当他得出这个结论时

9、，人们只能找到一两个超越数。多么令人震惊的结果！然而，事情还没有结束。一旦魔法盒子被打开，它就不能再被关闭，盒子里释放的不再是可数的集合，一个无限的怪物。从上述结论中，康托认识到无限集合之间是有区别的，无限集合具有不同的数量级，可以分为不同的层次。他的下一步是证明在所有无限集合中有无限的层次。他成功了，根据无穷理论，他为各种无穷建立了一个完整的序列，他称之为“超标量”。他用希伯来字母表中的第一个字母“阿勒夫”来代表超标量的精神，最后他建立了所谓的关于无限的阿勒夫谱系它可以无限期延长。这样，他创造了一个新的无限数理论，描绘了一幅无限王国的完整画面。可以想象，这个仍然让我们感到有些异想天开的结论，

10、会震撼当时数学家的心。毫不夸张地说，康托关于无限的理论引起了反对者无休止的噪音。他们大声反对他的理论。有些人嘲笑集合论是一种“疾病”。有人讥笑超限是“雾中之雾”，说“康托走进了超限的地狱”。作为对传统观念的重大创新，他的理论受到强烈批评是正常的，因为他开创了一个全新的领域，提出并回答了前人未曾想到的问题。回顾这段历史，也许我们可以把对他的反对视为对他真正原创性成就的一种称赞。公理集合论的建立集合论被提出时，遭到许多数学家的强烈反对，而康托本人也曾成为这场激烈辩论的受害者。在大脑的猛烈攻击和过度思考下，他患上了精神分裂症，并多次精神崩溃。然而，他在集合论前后经历了20多年。最后，它被世界所认可。

11、到20世纪初，集合论已经被数学家们所认可。数学家们陶醉于所有数学成就都可以建立在集合论基础上的前景。他们乐观地认为，整个数学体系可以借助集合理论的概念从算术公理体系中建立起来。在1900年的第二届国际数学大会上，著名数学家庞加莱高兴地宣布：“数学已经算术化了。”今天，我们可以说，绝对严格已经实现。”然而，这种自满情绪并没有持续多久。很快，集合论有缺陷的消息迅速传遍了数学界。这是罗素在1902年的悖论。罗素构造了一个不属于它自己的集合R(也就是说，不包括它自己作为一个元素)。现在我问R是否属于R？如果r属于r，r满足r的定义，那么r不应该属于它自己，也就是说，r不属于r；另一方面，如果r不属于r

12、，那么r不符合r的定义，所以r应该属于它自己，也就是说，r属于r。这样，在任何情况下都有矛盾。这种只涉及集合并属于两个基本概念的悖论是如此简单明了，以至于根本没有为集合理论中的漏洞辩护的余地。绝对严格的数学陷入了矛盾。这是数学史上的第三次数学危机。危机之后，许多数学家致力于解决危机。1908年，齐默罗提出了公理集合论，并对其进行了改进，形成了一个没有矛盾的集合论公理系统，称为ZF公理系统。集合最初的直观概念是基于严格的公理，从而避免了悖论的出现。这是集合论发展的第二个阶段：公理集合论。相应地，康托在1908年前创立的集合论被称为朴素集合论。公理集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的宝贵成果，消除了其可能的悖论，从而成功地解决了第三次数学危机。公理集合论的建立标志着著名数学家希尔伯特所表达的激情的胜利。他大声喊道：没有人能把我们赶出康托尔创造的天堂。自康托提出集合论以来，已经有100多年了。在这段时间里，数学发生了巨大的变化，包括模糊集合论的出现，它进一步发展了上述经典集合论。所有这些都与康托的开创性工作密不可分。因此，当我们回顾康托的贡献时，我们仍然可以引用当时著名的数学家的话。它是对无限最深刻的洞察，是数学天才的最佳作品，也是人类纯智力活动的最高成就之一。超极限算术是数学思想最惊人的产物，也是纯理性范畴内人类活