2013届高考文科数学一轮复习考案11.1 合情推理与演绎推理

1、11.1合情推理与演绎推理,真题探究,考纲解读,知识盘点,典例精析,例题备选,命题预测,基础拾遗,技巧归纳,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,归纳推理与类比推理是近年高考命题的热点.近年的试题,由特殊结论产生一般性命题再加以证明或是类比某些熟悉的概念,产生的类比推理型试题;从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,产生类比性质问题;类比方法,有一些处理问题的方法,具有类比性,结合这些方法产生类比型试题等,这些都是归纳推理与类比推理的常规命题方式.,演绎推理是由一般到特殊的推理,在各类试题的解答过程中都涉及,任何一个解题过程的正确书写都是建立在三

2、段论的基础上的.,结合考纲预测2013年试题在合情推理与演绎推理的命题上,试题主要以填空题与解答题的形式考查,内容以常规题型为主,试题难度不大.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,一、合情推理,1.推理的概念:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,叫做推理.推理一般由两个部分组成,前提和结论.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.,2.合情推理:所谓的合情推理,就是合乎情理的推理,数学中常见的合情推理是归纳推理与类比推理.,3.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某种特征,推出该事物的全,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳

3、,真题探究,基础拾遗,例题备选,部对象都具有这种特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简而言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的一般步骤是:,(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;,(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).,4.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这种特征的推理称为类比推理(简称类比).简而言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤是:,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)找出两类事物之间的

4、相似性或一致性;,(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).,二、演绎推理,1.演绎推理:从一般性的结论出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,也就是从一般到特殊的推理.,2.三段论:“三段论”是演绎推理的一般形式,包括:,(1)大前提已知的一般性原理;,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)小前提所研究的特殊情况;,(3)结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.,三、合情推理与演绎推理的区别,归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的

5、推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定是正确的.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于(),(A).(B).,(C). (D).,【解析】S2=22a2,1+a2=4a2,a2=.,S3=32a3,1+a3=9a3,a3=.,S4=42a4,1+a4=16a4,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基

6、础拾遗,例题备选,a4=.,可见a1=,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=.,实际上,此题用a1=1代入选项验证最简单.,【答案】B,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.(2011年广东珠海质量检测)平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆把平面分成的部分数为(),(A)n2-n+2. (B)n2-2n+3.,(C)2n2-n+1.(D)n2+n.,【解析】先看一个圆,将平面分成两个部分;两个圆,将前面的两部分分成了四部分设前一个圆把平面分成an个部分,后一个圆把平面分成an+1个部分,则an+1=an

7、+2n,于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=2+2+4+2(n-1)=n2-n+2.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,3.(2011年广东中山第二次诊断性试题)把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为(),【解析】由所给图示,得到箭头方向按14,58,912,进行循环的规律.,由20044=501,所以选B.,【答案】B,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,4.(2011年广东中山一中月考题)下列是用类比法进行猜测的几个结论:,由“

8、a=bac=bc”类比得到“abacbc”;,由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;,由“=(a0,b0,c0)”类比得到“=(a0,b0,c0)”;,由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.,其中,正确结论的个数为( ),(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【解析】当c0时,类比的结论不正确;的类比结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,这些是类比给我们

9、带来的负作用;类比的结论是正确的.故答案为B.,【答案】B,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型1归纳推理型问题,例1德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同 样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4堆分别按如图所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)=,f(n)=(答案用n表示).,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【分析】由题意首先可以看出,

10、第一堆有一层,第二堆有两层,第三堆,有三层第n堆有n层;再看每一层的球数,在看球数时,可以发现一个规律:第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等,第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等,第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等.,【解析】结合分析,可得f(3)=1+(1+2)+(1+2+3)=10,f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+n)=.,【答案】10,【点评】要找规律, 一步一步地进行分析.本题中首先看层数与堆数的关系,再看前一堆与后一堆的关系,结论就产生了.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾

11、遗,例题备选,变式训练1一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆,表 示实心圆),若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2006个圆中实心圆的个数为.,【解析】将这些圆分段处理,第一段两个圆,第二段三个圆,第三段四个圆可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆.由2+3+62=61=19522006,因此,共有 61个实心圆.,【答案】61,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型2类比推理型问题,例2已知两个圆:x2+y2=1 与x2+(y-3)2=1 ,则由式减去 式可得两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到

12、一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例.试写出推广的命题.,【分析】本题是由圆(特殊的)到圆(一般的)之间的类比,是数学研究中的一般化方法,即从特例中抽象出共同的特性.本题的关键之处是两圆半径必须相等.,【解析】由圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2与(x-c)2+(y-d)2=r2(ac或bd)相减,可得两圆的对称轴方程为2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【点评】本题是类比的数学方法,其实,一个好的数学方法绝不是解一个题,而是解一类题.由于这些题可能会分布在不同的章节

13、之中,因此,就要求我们善于知识迁移,善于将这一好的方法类比到不同内容的问题之中.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练2在平面几何里有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两垂直,则.”,【解析】,如图,作AECD于点E,连结BE,则BECD.=CD2BE2=CD2(AB 2+AE2)=(AC2+AD2)AB2+CD2AE2=+.,【答案】=+,考纲解读,

14、命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型3演绎推理中的三段论问题,例3在ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c, 且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:ABC是正三角形.,【分析】本题的难度不大,抓住条件、紧盯结论就容易完成.,【解析】由A、B、C成等差数列,得2B=A+C,又A+B+C=,所以B=.,由a、b、c成等比数列,得b2=ac,又b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,即(a-c)2=0,得a=c.,由于有一个角是的等腰三角形是

15、等边三角形,故ABC是正三角形.,【点评】一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推的过程中有时要多次使用三段论,由多个三段论的结论构成了所要证明的结果,有时从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论,而这个结论又是下一步的小前提,依次递推下去,最终产生结果.本题中共四次使用了三段论:,第一次,大前提“若x、y、z成等差数列,则2y=x+z”;小前提“三角,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,形三内角A、B、C成等差数列,A+B+C=”;结论“2B=A+C,所以B=”.,第二次,大前提“若x、y、z成等比数列,则y2=xz”;小前提

16、“三角形的三边a、b、c成等比数列”;结论“b2=ac”.,第三次,大前提“ABC中,b2=a2+c2-2accos B”;小前提“ABC中,B=”;结论“b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c”.,第四次,大前提“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”;小前 提“ABC中,B=,a=c”;结论“ABC是一个等边三角形”.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练3空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和CB的中点,G、H分别是CD和AD上的点,且=,求证:EH、FG、BD三条直线 相交于一点.,【解析

17、】连结EF,HG,EF为ABC的中位线,EFAC,又由=得,HGAC,EFHG,即E,F,G,H四点共面,又EFHG,EH,FG必相交,设交点为K,KFG,而FG面BCD,K面BCD,同理K面ABD,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,于是,K在面BCD与面ABD的交线BD上,故EH,FG,BD三条直线相交于一点.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型4推理的综合应用问题,例4我们知道:圆的任意一条弦(非直径)的中点和圆心的连线 与该弦垂直,那么若椭圆b2x2+a2y2=a2b2的一弦中点与原点连线及弦

18、所在直线的斜率均存在,你能得到什么结论?请予以证明.,【分析】从圆的情况入手,分析由圆可以产生什么结论,再据此进行大胆猜测.,【解析】假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在,由于两线垂直,我们知道斜率之积为-1.,对于方程b2x2+a2y2=a2b2,若a=b,则方程即为圆的方程,由此可以猜测两斜率之积为-或-.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,设椭圆的弦AB的两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为P,则,b2(-)+a2(-)=0=-kOPkAB=- ,即两斜率之积为-.,【点评】本题建立在类比推理的基础上由圆的性质

19、产生椭圆的性质,并加以证明.此类题有一定的难度,若是猜测出现错误,则此题就全错,准确猜测的重要性在此题中显现出来.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练4已知椭圆+=1具有性质:若M、N是椭圆C上关于原 点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPMkPN=-.试对双曲线-=1,写出类似 的性质,并加以证明.,【解析】类似的性质:若M、N是双曲线-=1上关于原点对称的 两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPMkPN=.,下面给出证明

20、:,设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中-=1.,又设点P的坐标为(x,y),由kPM=,kPN=,得kPMkPN=,将y2=x2-b2,n2=m2-b2代入,得kPMkPN=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.求解归纳推理问题时,一定要认真分析基础问题的构成,比如:第一个、第二个、第三个等.对这些构成可以提出多个猜想,结合题设条件进行逐个验证,一一排除,最终产生答案.,2.求解类比推理问题时,一定要认真分析两类问题的联系.在寻找联系的过程中,要多角度、全方位,既要看到表面,更要熟悉实质.在类比方法时,要注意方法的可行

21、性、方法的使用条件有没有发生变化;在类比结论时,一定要注意到一个结论正确并不表示类比产生的结论一定正确.,3.演绎推理的关键是“三段论”,因此我们要注意两点:(1)它要求我们每得出一个结论,必须有其依据.(2)它要求我们正确使用“”与,“”,这里实际上是列举小前提与结论,大前提往往要做到我们心中有数,并非随心所欲.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.(2011年陕西卷)观察下列等式:,1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此规律,第n个等式为.,【解析】我们注意两点:(1)第n个等式的第一个数为

22、n;(2)第n个等式,中左边共有2n-1个数.,于是,第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.,【答案】n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.(2011年山东卷)设函数f(x)=(x0),观察:,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:,当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.,【解析】这是一个分式,其分子为x,分母为一次函数,一次项的系数为1,3,7,15,2n-1,常数项为2,4,8,16,2n.,于是,fn(x)=.,【答案】,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选