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1、7.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1) 无偏性,(3) 一致性,(2) 有效性,7.2,若,无偏,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的,估计值与真值都相等，但可以要求这些估,计值的期望与真值相等.,是总体X 的样本,证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),证,因而,由于,例1,则,特别地,是总体期望 E( X ) 的,样本均值,无偏估计量,例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的,样本为 (n 1) .,(1) 不是 D( X )的无偏估量;,(2) 是 D( X ) 的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故 证

2、毕.,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量.,解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此, p 2 的无偏估计量为,故,例4 设总体 X 的密度函数为,为常数,为 X 的一个样本,证,故,是 的无偏估计量.,例4,令,即,故 n Z 是 的无偏估计量.,都是总体参数 的无偏估计量, 且,则称 比 更有效.,有效,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例4可知, 与 都,为常数,例5 设总体 X 的密度函数为,解 ，,例5,

3、例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2,为总体 X 的一个样本,证 (1),例6,(1) 设常数,(2),例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.,都是 的无偏估计量,定义 设 是总体参数,的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,依概率收敛于 , 即,一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.,一致,关于一致性的两个常用结论,1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.,是 的一致估计量.,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下, 极大似然估计具有一致性,2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则,实验,例8,为常

4、数,则 是 的无偏、有效、一致估计量.,证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.,所以 是 的一致估计量, 证毕.,例8,极大似然估计方法,1） 写出似然函数 L,可得未知参数的极大似然估计值,然后, 再求得极大似然估计量.,L是 的可微函数,解似然方程组,若,L不是 的可微函数, 需用其它 方法求极大似然估计值.,若,例2 设总体 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn为 总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.,解,例23,例 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X 的样本值, 求 , 2 的极大似然估计.,解,例7, 2 的极大似然估计量分别为,例3 设总体 X P(), X1, X2, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量.,解,令,故,例23,例 设总

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