高考数学复习全套课件(理)第八章 第六节 椭圆

1、1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用 2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 (范围、对称性、顶点、离心率) 3了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想,1对椭圆定义的理解,2椭圆的标准方程和几何性质,a,a,b,b,a,a,b,b,x轴、y轴,(0,0),(a,0),(a,0),(0，b),(0，b),(0，a),(0, a),(b,0),(b，0),2b,2 a,2c,(0,1),a2b2,思考探究 椭圆的离心率与椭圆的形状有什么关系？,提示：离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆,1椭圆 1的焦距等于2，则m的值为 () A

2、5或3B8 C5 D16,解析：当m4时，m41，m5； 当m4时，4m1，m3.,答案：A,2设P是椭圆 1上的点若F1、F2是椭圆的两个 焦点，则|PF1|PF2|等于 () A4 B5 C8 D10,解析：由题意知a5，|PF1|PF2|2a10.,答案：D,3已知椭圆C的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆C的焦点 F到长轴的一个端点的距离为 () A9 B1 C1或9 D以上都不对,解析：由题意知b3，又e ， 得a5. c4， 焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.,答案：C,4如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是_,解析：椭圆方程化为 1. 焦点在y轴上

3、，则 2，即k1. 又k0，0k1.,答案：(0,1),5已知P为椭圆 1上一点，M、N分别为圆(x 2)2y21和(x2)2y21上的点，则|PM|PN|的 最大值为_,解析：依题意，两圆圆心分别为椭圆的两焦点F1和F2， 则|PM|PF1|1，|PN|PF2|1， 故|PM|PN|PF1|1|PF2|110212.,答案：12,1.利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进 行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时， 首先应考虑用定义来解题 2求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时 还可根据条件用代入法用待定系数法求椭圆方程的一 般步骤是：,(1)作判断：根据条件判断椭

4、圆的焦点在x轴上，还是在y轴 上，还是两个坐标轴都有可能 (2)设方程：根据上述判断设方程 1(ab0)或 1(ab0) (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组 (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求,特别警示当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为 1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0且AB),(2009上海高考)已知F1、F2是椭圆C： 1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 .若PF1F2的面积为9，则b_.,思路点拨,课堂笔记设|PF1|r1，|PF2|r2，则 2r1r2(r1r2)2( )4a24c24b2， r1r

5、2b29，b3.,答案3,在例1条件下，求使|PF1|PF2|最小时椭圆的方程.,解：由例1知，|PF1|PF2|18. |PF1|PF2|2 6 ，当且仅当|PF1|PF2|时取“”此时a3 .,椭圆方程为 1.,1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆 1， 有axa，byb,0e1等，在求与椭圆有 关的 一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时， 经常用到这些不等关系 2求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析， 即使不画出图形，思考时也要联想到图形当涉及到顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的 关系，挖掘出它们之间的内在联系,3求椭圆离心率问题，

6、应先将e用有关的一些量表示出来， 再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从 而求出e的值或范围离心率e与a、b的关系：e2 1,(2009江苏高考)如图， 在平面直角坐标系xOy中，A1， A2，B1，B2为椭圆 1 (ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_,思路点拨,课堂笔记由题意结合图形得， ： 1， 即bxayab， lB1F： 1，即bxcybc， 由求得：y ，代入得：x ， T( )，则OT中点M( ),又M在椭圆上， 1， 即4c2a22acc24a28ac4c2，c210ac

7、3a20， e210e30. 又0e1，e2 5.,答案2 5,把椭圆方程 1(ab0)与直线方程ykxb 联立消去y，整理成形如Ax2BxC0的形式，对此一元 二次方程有： 10，直线与椭圆有两个公共点P、Q，此时弦长求法： (1)求P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式； (2)由根与系数关系得到弦长公式 |PQ| 20，直线与椭圆有一个公共点 30，直线与椭圆无公共点,特别警示解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决,(2009辽宁高考)已知，椭圆C经过点A(1， )，两个焦点为(1,0)，(1,0) (1)求椭圆C的方程； (2)E，F是

8、椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值,思路点拨,课堂笔记(1)由题意，c1， 可设椭圆方程为 1. 因为A在椭圆上，所以 1， 解得b23，b2 (舍去) 所以椭圆方程为 1.,(2)设直线AE的方程为：yk(x1) ，代入 1，得(34k2)x24k(32k)x4( k)2120. 设E(xE，yE)，F(xF，yF)因为点A(1， )在椭圆上，所以 xE ，yEkxE k. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代替k，可得,xF ，yFkxF k. 所以直线EF的斜率 kEF 即直线EF的斜率为定值，其值为

9、.,椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容，而直线和椭圆的位置关系则是高考考查的热点.09年高考全国卷以椭圆为载体，综合考查椭圆和直线方程的性质，点到直线的距离公式，向量的坐标运算等基础知识，将解析几何与平面向量的问题有机结合起来，进一步考查考生综合解题的能力，是一个新的考查方向,考题印证 (2009全国卷)(12分)已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 . (1)求a，b的值； (2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有

10、的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由,【解】(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时， 其方程为xyc0， O到l的距离为 ， 故 ，c1.(2分) 由e ，得a ，b (4分),(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时， 有 成立(5分) 由(1)知C的方程为2x23y26. 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为yk(x1) C上的点P使 成立的充要条件是P点的坐标为(x1x2，y1y2)，且2(x1x2)23(y1y2)26，,整理得2 3 2 3 4x1x26y1y26. 又A、B在C上，即2 3 6,2 3 6. 故2x1x23y1y230.(

11、8分) 将yk(x1)代入2x23y26，并化简得 (23k2)x26k2x3k260， 于是x1x2 ，x1x2 ， y1y2k2(x11)(x21) . 代入解得，k22.此时x1x2 . 于是y1y2k(x1x22) ，,即P( ) 因此，当k 时，P( )， l的方程为 xy 0； 当k 时，P( )， l的方程为 xy 0.(11分),当l垂直于x轴时，由 (2,0)知，C上不存在点P使 成立 综上，C上存在点P( )使 成立，此时l的方程为 xy 0.(12分),自主体验 已知椭圆C： (m0)，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点

12、，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点,(1)是否存在k，使对任意m0，总有 成立？若存在，求出所有k的值； (2)若 (m34m)，求实数k的取值范围,解：(1)椭圆C： 1，c2 m2，cm， F(m,0)， 直线AB的方程为：yk(xm) 由 消去y，得 (10k26)x220 k2mx10 k2m215 m20. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则,x1x2 ，x1x2 ， 则xM ，yMk(xMm) 若存在k，使 总成立，M为线段AB的中点， M为ON的中点， 2 . (2xM ， 2yM)( )， 即N点的坐标为( ),由N点在椭圆上，则： 即5k42k2

13、30，k21或k2 (舍去) 故存在k1，使对任意m0，总有 成立 (2) x1x2y1y2x1x2k2(x1m)(x2m) (1k2)x1x2k2m(x1x2)k2m2 (1k2) k2m k2m2 .,由 (m34m)， 得 2. 即k21520k212，k2 ， k 且k0.,1已知椭圆 1，长轴在y轴上，若焦距 为4，则m等于 () A4 B5 C7 D8,解析：由题意：焦距为4，则有m2(10m) ， 解得m8.,答案：D,2椭圆 1上一点M到焦点F1的距离为2，N是 MF1的中点，则|ON|等于 () A2 B4 C6 D8,解析：如图，|ON| |MF2| (102)4.,答案：

14、B,3(2010淄博模拟)设椭圆 1(ab0)的离心率为e ，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根 分别为x1和x2，则点P(x1，x2) () A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上 C必在圆x2y22外 D以上三种情形都有可能,解析：由题意知：x1x2 坐标原点到P(x1，x2)的距离为 d2 (x1x2)22x1x2 e ，a2c， d2 1d22，1d ，点P在圆内,答案：A,4已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点 的椭圆的离心率为_,解析：设正方形边长为2，由题意知， c=1，a=,答案：,5过椭圆 1的右焦点作一条斜率为2的直线与 椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 _,解析：设直线方程为y2(x1) 由 得3y22y80. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y2 ，y1y2 ， |y1y2| ， SOAB,答案：,6(2010辽宁师大附中模拟)已知P、Q、M、N四点都在 中心为坐标原点，离心率为 ，左焦点为F(1,0)的 椭圆C上，已知 共线， 共线， (1)求椭圆C的方程； (2)试用直线PQ的斜率k(k0)表示四边形PMQN的