数学建模暑期培训PPT课件

1、数学模型的概念,数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题。,现实世界中有大量的实际问题，这些问题往往不会直接地以现成的数学形式呈现，这就要求我们把实际问题抽象出来，在可能将其尽量简化，通过假设变量和参数，运用一些数学方法建立和参数的数学关系式或者算法，这样抽象成的数学关系式或算法就是所谓的数学模型。,通过数学方法对模型的分析与求解，最后在解释和验证所得的解，进而指导实际问题。这个过程称为数学建模。这个过程一般不会一次完成的。,数学模型和数学建模没有一个确切定义，若硬要给一个定义，大概定义如下：,对于一个给定的现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，

2、导出的一个数学结构。,数学模型,数学建模,建立数学模型的全过程: （包括表述、求解、解释、检验等）,可用下面的图表直观地表示数学建模过程的各阶段及其联系.,实际问题,抽象,简化,假设,确定变量与参数,建立数学模型并求解,确定参数,交付使用从而产生经济,社会效益,用实际背景或数据等来检验数学模型,若不符合实际,若符合实际,一个简单的问题,他是嫌疑犯吗？,某公寓发生一起谋杀案，死者是下午7:30被发现的，法医8:20赶到现场，经过调查，种种迹象表明，此案最大的嫌疑犯是其单位的张某，但有人证明，张某下午5:00之前张某一直在办公室， 5:00时张某才匆匆离开，从其办公室到公寓步行需要10分钟，此能否

3、证明张某绝对不在现场。,若死者是在5:10之前被谋杀的，就可以排除张某了。,如何测定死者被杀的时间呢？,让死者说话，告诉法医被杀的时间！,试设计一种测试死亡时间的方法：,死者的体温！,问题提出：,他是嫌疑犯吗？,法医在8:20时，测得死者体温为32.6C ，一小时后，死者被移走时，又测量了一下体温为31.4C，当时室内温度为21.1C。能否由此来推算死者死亡时间？,我们建立一个数学模型来解决此问题,模型假设,死者生存时正常体温为37C，无生病发烧现象。,室内温度在几个小时内为恒定的。,由Fourier热传导定律：死者体温下降的速率与尸体温度与外界温差成正比，设比例系数为k。,模型建立,尸体的温

4、度是随时间变化的，设t时刻尸体温度为T(t)，8:20为t=0时刻,则有T(0)= 32.6C，T(60)=31.4C,由假设知：,模型求解,(1)式变形为,由T(0)= 32.6,再由T(60)=31.4,C1=11.5,k=-ln(31.4-21.1)/11.5/60=-0.00183672,尸体的温度变化规律为,模型应用,用T(t)=37代入上模型,t=-176.386-2小时56分,受害者死亡时间约为8时20分-2小时56分5时26分,结论：,不能排除张某为嫌疑犯！,有人提出疑问，在下午5：00到9：00之间室温一般不会是不变的，因而此结论有些武断！,必须弄清室温在这段时间内是如何变化

5、的才能正确地判定死者的死亡时间。,于是人们想到当地气象部门，其对一天室内温度有一个较详细的记录。在向当地气象部门求助，得到以下室内温度在这段时间内的记录：,注：上表是时间段5：009：20每隔十分钟一次的温度记录。,温度变化的散点图,一次拟合曲线与温度变化的散点图比较,一次拟合曲线w(t)=22.5-0.328t,二次拟合曲线与温度变化的散点图比较,二次拟合曲线为：w(t)=0.0106t2-0.3741t+22.533,其是以5：00作为时间起点的拟合方程，将其化为以8：20为时间起点的拟合方程，其为：,二次拟合曲线为：w(t)=0.0106t2-0.3034t+21.404,w(t)= t

6、2+ t +； 其中；=0.0106， =-0.3034，= 21.404。,这样假设2改变为：,则尸体温度变化的方程化为：,室内温度在5：00到9：20时段内变化规律为w(t)。,由c=T(0)= 32.6，再将=0.0106， =-0.3034，=21.404 代入得：,由T(1)=31.4 我们有方程：,解得k=-0.11177代入原方程得：,死亡时间t0应满足T(t0)=37，即下列方程的解,解得t=-3.0754, 这样死者死亡的真正时间为：t=8.3333- 3.0754=5:15,这样疑犯还是脱不了干系。,现在再回头看一下数学模型的定义,对于一个给定的现实对象，为了一个特定目的，

7、根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，导出的一个数学结构或算法。,现实对象谋杀案；,特定目的确定死亡时间；,内在规律Fourier热传导定律；,简化假设室温恒定，正常体温37度等；,数学工具微分的方法；,数学结构一阶常微分方程；,建立谋杀时间问题的数学模型的基本步骤,作出简化假设（室温恒定，正常体温37度等）；,用符号表示有关变量(T, t分别表示温度和时间等)；,用物理定律（Fourier热传导定律）列出数学式子（一阶常微分方程）；,求解得到数学解答；,回答和验证原来的实际问题，若结论不好再回到第一步。,注意：在整个建模过程中，没有数学计算工具，建模过程将无法继续。,数学建

8、模的一般步骤,模型准备,收集有关信息,明确建模目的,了解实际背景,掌握对象特征,形成一个比较清晰的“问题”,数学建模的一般步骤,模型假设,针对问题的特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想象力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、数学软件和计算机技术,模型分析,如结果解误差分析、模型对数据的稳定性分析等,模型检验,与实际对象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。,模型应用,将所得的模型应用到要求的实际问题中，并作尽量的推广,数学建模的全过程,表述,根据建模目的和信息将实际问题“翻译

9、”成数学问题,求解,解释,验证,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用实际对象的信息检验得到的解答,实践,理论,实践,实际问题与其数学模型之间的关系,大家知道原型与模型之间的关系。若把实际问题看作原型的话,则数学模型是将原型经过精致地简化，提炼而构成的替代物。,必须强调几点:,1、一般来说,原型是复杂和困难的,必须把它归结为数学模型才能解决;,2、数学模型不是原型原封不动的复制品,它只是在突出反映原型某些方面性质的近似物.这里难免会存在数学模型与原型的差异甚至矛盾,冲突.但对我们来讲,原型是根本的,当二者出现无法解释的矛盾时,必须修改相关的数学模型以适

10、应原型.,3、数学模型无对错之分,只有好坏之分。大概能真实反映实际问题的70%就是好模型了。,4、由于正是世界是复杂的，对同一个问题，可能考虑角度不同，假设不同，得到的结论可能完全相反，两个模型可能都是优秀的。,住房抵押贷款与养老保险问题,一、实际问题的提出,1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列:,中国人民银行再次调整存、贷款利率,贷款期限半年 1年 3年 5年 5年以上 利率/ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者。,某城市商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公

11、布新的利率表和还款表,某城市个人住房商业性贷款利率表,个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,个人住房商业抵押贷款(万元)还款表 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,问题：,个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？,分析一

12、下年利率和月还款额表：,贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,二、建立模型,则由Ak到Ak+1，应有 Ak+1-AkrAk-m,Ak+1(r1)Ak -m (k=0,1,),其中r为利息，当然应该用月利率 r0.06255/120.0052125,设贷款后第k个月时欠款

13、余数为Ak ,月还款额m元,另外显然有A010000,即得模型,以年为例,三、问题的分析求解,月还款额的确定,令 BkAkAk1 , (k1，2,.),推得 Bk+1(1+ r)Bk (等比) 从而 BkB1(1+ r)k1,AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r,考虑二年期情况：k24，可算出m444.346 (借助数学软件)，与公布数一致,利用以上关系导出,年利率如何得到,比较央行公布贷款利率与某城市住房商业贷款，有数字相同：6.12、6.66，但年限不同,中间年限的利率如何得出 (建议作图，从得到线性插值),任务：制定住房商业性贷款利率表和还款表,还款周期越短越好吗,如果逐年还款，

14、对二年期贷款，用公式 AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r (r应为年利率)算得年还款额为5473.867元,本息总 额10947.63元，比逐年还款本息总额10664.54元多,任务：讨论还款周期问题,任务 一个购房贷款的比较,小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近1万6千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。,试分析情况是否这样？,小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.,房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款

15、时要预付4000元。,四、养老保险问题,养老保险,某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.,问题,交保险费所得利率如何？,(注意：显然结果依赖于投保人寿命),设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额Fk为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程,Fk+1=Fk(1+ r) p, k = 0,1, N Fk+1=Fk(1+ r) q, k =N+1, M,其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险

16、金获得的利率， N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取 M= 75(岁) 统计平均值.,以25岁起投保为例,则有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600,如前可推出差分方程的解,Fk = F0 (1+ r )k (1+ r )k1 p/r, k = 0, 1, N Fk = FN (1+ r )k N (1+ r )k1 q/r, k =N+1, M,在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F0 = FM = 0，消去FN ，,(1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0,记 x 1+ r， 代入数据 x60012.41x18011.410,( Newton法，或借助软件）,x1.00485