定态薛定谔方程 一维无限深势阱

1、（五）粒子流密度和粒子数守恒定律,（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质,（一） 定域几率守恒,考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即,在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：,证：,考虑 Schrodinger 方程及其共轭式：,取共轭,在空间闭区域v中将上式积分，则有：,闭区域上找到粒子的总几率在单位时间内的增量,J是几率流密度，是一矢量。,所以(7)式是几率（粒子数

2、）守恒的积分表示式。,令 Eq.（7）趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.（7）变为：,其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,单位时间内通过的封闭表面 S 流入（面积分前面的负号）内的几率,讨论：,表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。,（1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。,同理可得量子力学的电荷守恒定律：,表明电荷总量不随时间改变,（二）再论波函数的性质,1

3、. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d 2. 已知 (r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。,（1）波函数完全描述粒子的状态,（2）波函数标准条件,单值、有限、连续,（2）量子力学基本假定 I、 II,量子力学基本假定 I 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的

4、几率成比例，由波函数还可以得到体系的各种性质, 波函数完全描述粒子的状态.,量子力学基本假定 II 波函数随时间的演化遵从 Schrodinger 方程,2.4 定态Schrodinger方程,（一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质,（一）定态Schrodinger方程,现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程：,令：,于是：,V(r)与t无关时，可以分离变量,等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数,该方程称为定态 Schrodinger 方程，(r)也可称为定态

5、波函数，或可看作是t=0时刻(r,0)的定态波函数。,此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率=E/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（1）Hamilton 算符,二方程的特点：都是以一个算符作用于(r, t)等于E(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。,再由 Schrodinger 方程：,（2）能量本征值方程,（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与

6、数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；,（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。 因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态 （简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。,（三）求解定态问题的步骤,讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：,（1）列

7、出定态 Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数,（4）通过归一化确定归一化系数 Cn,（四）定态的性质,（2）几率密度流与时间无关,（1）粒子在空间几率密度与时间无关,综上所述，当满足下列三个等价条件中的任何一个时，就是定态波函数： 1. 描述的状态其能量有确定的值； 2. 满足定态Schrodinger方程； 3. |2 与 t无关。,一维定态问题,在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrdinger 方程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体

8、理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。,问题的提出:,金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 称为束缚态。,作为粗略的近似，我们认为这些电子 在一维无限深势阱中运动， 即它的势能函数为, 区 区 区,2.5 一维无限深势阱,求解定态薛定谔方程 分四步： （1）列出各势域的一维薛定谔方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数,2.5 一维无限深势阱, 区 区 区,一.求解过程,1.势函数,，

9、,2.哈密顿量,3.定态薛定谔方程,令,得,阱内：, 区 区 区,阱外：,4.分区求通解,A和B是待定常数,阱外：,阱内：,3.定态薛定谔方程,令,得,阱内：,5.由波函数自然条件和边界条件定特解,，（B 0）,A和B是待定常数,阱外：,阱内：,6.能量本征值,得,7.本征函数,8.归一化,7.本征函数,能量量子化,二: 一维无限深势阱中粒子的运动特征,2.粒子有不为零的最小能量：,微观粒子波动性的表现,3. 相邻两能级的能量差：,(2) 当势阱的宽度 a 小到原子的尺度， E 很大，,当势阱的宽度 a 大到宏观的尺度， E 很小，,能量的量子化显著。,能量量子化不显著 。,4.粒子在阱中不同

10、位置出现的概率不同：,说明： 1)束缚态:无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态.,2) 第 n 个能级, n-1个节点 ( 0 、a 除外). 节点处出现粒子 几率为零.,时，,量子经典,o,a,n很大,虚线是经典结果,例:在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子,（4）n=1 及 n=2时，几率密度最大的位置（5）处在基态的粒子 在 a/4 3a/4 范围内的几率,解（1）,（2）,（4）几率密度：,求（1）系数A（2）基态能量（3）基态德布罗意波长,已知：,（3）,电子的质量,几率密度最大的位置：,由倍角公式，上式为：,若 n=2 可求得,（5）处在基态的粒子在 a/4 到 3a

11、/4 范围内的几率,将 n=1 代入此式：,设势能,求波函数及能量本征值,由于势能U(x)不显含时间t，于是可得系统的定态薛定 谔方程：,(1),对本问题有：,(2),(3),根据波函数应满足连续性和有限性的条件,(4),(6),(7),(5),(8),(9),(10),由上两式得,注意：A，B不能同时为零,(11),量子化的能量公式,(a)解,(12),(b)解,(13),(14),(15),二、束缚态,三、一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。,经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。,随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。,四、讨论：,三维情况下的薛定谔