平面向量的基本定理及向量坐标运算

1、第 二 节 平面向量的基本定理及向量坐标运算,【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)基底:平面内_的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所 有向量的一组基底. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数 1,2,使a= _ .,不共线,1e1+2e2,2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向 量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序 数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a= _,其中a在x

2、轴上的坐 标是x,a在y轴上的坐标是y.,(x,y),3.平面向量的坐标运算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),x1y2-x2y1=0,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题:() 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底; 在ABC中,向量 的夹角为ABC; 同一向量在不同基底下的表示是相同的; 设a,b是平面内的一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. 其中正确的是() A. B. C. D.,【解析】选D.平面内不共线的两个向量可以组成一组基底,平 面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,

3、故不正 确;向量是有方向的,故在ABC中, 的夹角应是ABC的 补角,故不正确;根据平面向量基本定理,同一向量在基底a,b 下的表现形式是唯一的,故正确.,2.已知A(x,1),B(2,y), =(3,4),则x+y=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 【解析】选C.由题意,得 所以x+y=4.,3.(2014宜昌模拟)若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c( ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 【解析】选B.设c=xa+yb，则 故c=3a-b.,4.下列各组向量中,能作为基底的是() a=(1,2),b=(2,4); a=(1,1),b=(-

4、1,-1); a=(2,-3),b=(-3,2); a=(5,6),b=(7,8). A. B. C. D.,【解析】选C.对于,显然b=2a,对于,b=-a,故不能作为基底;对于,因为22-(-3)(-3)0,所以a,b不共线,故能作为基底;对于,因为58-670,所以a,b不共线,故能作为基底.综上应选C.,5.(2014张家界模拟)在ABCD中，AC为一条对角线， 则向量 的坐标为_. 【解析】设 所以(1，3)=(2，4)+(x,y)， 所以 所以 (-1，-1)-(2，4)=(-3，-5). 答案：(-3，-5),6.已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则

5、实数m_. 【解析】ab(1，m1)因为(ab)c， 所以2(1)(m1)0，所以m1. 答案：1,考点1 平面向量基本定理及其应用 【典例1】(1)(2014临沂模拟)若a与b不共线，已知下列各组向量 a与-2b; a+b与a-b; a+b与a+2b; 其中可以作为基底的是_(只填序号即可).,(2)(2014郑州模拟)如图，已知OCB中，A是CB的中点，D是 将 分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设 用a和b表示向量 若 求实数的值.,【解题视点】(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断. (2)由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解; 由平面向量基本定理及共线向量定理求解.,

6、【规范解答】(1)因为a与b不共线，所以，对于，显然a与 -2b不共线；对于，假设a+b与a-b共线，则存在实数,使 a+b=(a-b),则=1且-=1,由此得=1且=-1矛盾，故假 设不成立，即a+b与a-b不共线；同理，对于，a+b与a+2b也 不共线；对于， 共线. 由基向量的定义知，都可以作为基底，不可以. 答案：,(2)由题意知,A是BC的中点，且 由平行四边形法 则，得 所以 由题意知， 故设,因为 所以 因为a与b不共线，由平面向量基本定理，,【互动探究】本例(1)中，若将条件a与b不共线省去，则情况如何？ 【解析】若a与b共线，不妨令a0,b=0,则所给4组向量都共线，故4组向

7、量都不能作为基底.,【规律方法】 1.构成平面向量的一组基底的条件 (1)一组基底有两个向量. (2)这两个向量不共线(其中没有零向量).,2.应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. (3)强化共线向量定理的应用 提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.,【变式训练】（2014三明模拟）如图，平面 内有三个向量 其中 与 的夹角 为120， 与 的夹角为30，且 若 (，R)，则( ) A

8、.=4，=2 B.= ，= C.=2，= D.= ，=,【解析】选C.过点C分别作OA，OB的平行线， 分别交OB，OA的延长线于B1，A1，则B1OC =120-30=90，故OB1OC.在RtB1OC中，B1CO=30， 又 故 因此 故 因此=2，= .,【加固训练】1.下列各组向量：e1=(-1,2)，e2=(5,7)； e1=(3,5),e2=(6,10)； e1=(2,-3),e2= 能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A. B. C. D.,2.如图，在ABC中， DEBC交AC于E，BC边上的中 线AM交DE于N设 用a,b表示向量,【解析】1.选A.中的两向

9、量不共线；中e1= e2，故两向 量共线；中e2= e1，故两向量共线.综上，只有中的两 向量可作为平面的一组基底.,2.因为 DEBC， 所以 由ADEABC，得 又AM是ABC的中线，DEBC， 所以 又 因为ADNABM, 所以,考点2 平面向量的坐标运算 【典例2】(1)(2014兰州模拟)已知A(1,1),B(-2,2),O是坐标 原点，则 ( ) A.(2，4) B.(-9，3) C.(-10，4) D.(-8，4) (2)(2013北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所 示，若c=a+b(，R)，则 =_.,【解题视点】(1)利用向量坐标运算法则求解. (2)结合图形

10、建立适当的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.,【规范解答】(1)选D.由题意，得 所以 (2)以向量a,b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向， 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(-1,1), b=(6,2),c=(1,3)，根据c=a+b得(1,3)= (1,1)+(6,2)，即 答案：4,【互动探究】在本例(2)中，试用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系，则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc， 则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3)，,【规律方法】平面向量坐标

11、运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.,【变式训练】已知点A(-1，2)，B(2，8)以及 求点C，D的坐标和 的坐标. 【解析】设点C，D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 得 因为,所以点C，D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而 =(-2，-4).,【加固训练】1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1)，则a-2b=( ) A.(6,3) B.(7,3) C.(2,1) D.(7,2) 【解析】

12、选B.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).,2.已知点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下面的结论： 直线OC与直线BA平行； 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选C.由题意得 又 无公共点，故OCBA，正确； 因为 故错误; 因为 故正确; 因为 故正确所以选C.,3.已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且 则向量 =_. 【解析】因为A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， 所以 所以 所以 答案：(9，-18),考点3 平面向量共线的坐标表示及运算 【考情】平面向量共线的坐标表

13、示以其承前启后的连接形式成为高考命题的亮点.常以选择、填空题的形式出现，作为载体有时也在解答题的某一步中出现，考查解方程、函数式化简等问题.,高频考点通关,【典例3】(1)(2013陕西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于( ) A B. C. D.0 (2)(2014石家庄模拟)已知向量 且 则点P的坐标为( ) A.(2，-4) B. C. D.(-2，4),【解题视点】(1)根据平面向量共线的坐标表示直接列方程 求解. (2)设点P的坐标为(x,y)，由 可得(x-1,y-3)= 2(3-x,-1-y),解出x,y的值，即可得到点P的坐标.,【规范解答】(1

14、)选C.因为a=(1,m),b=(m,2),ab，所以 12-m2=0,即m2=2,故 (2)选C.设点P的坐标为(x,y)， 由 可得(x-1,y-3)=2(3-x,-1-y), 故有x-1=6-2x,且y-3=-2-2y,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2014西宁模拟)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线，则m的值为( ) A. B.2 C. D.-2 【解析】选D.ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),若ma+4b与 a-2b共线，则4(3m+8)-(2m-4)(-1)=0，解得m=-2.,2.（2014咸宁模拟）已知向量a=(-

15、1，1)，b=(3，m)， a(a+b)，则m=( ) A.2 B.-2 C.-3 D.3 【解析】选C.因为a+b=(2，m+1)，又a(a+b)， 所以 得m=-3.,3.（2014邵阳模拟）已知向量a=(1，2)，b=(m-1，m+3)在同 一平面内，若对于这一平面内的任意向量c，都有且只有一对 实数，使c=a+b，则实数m的取值范围是( ) A.m- B.m5 C.m-7 D.m- 【解析】选B.对于平面内的任意向量c，都有且只有一对实数 ，使c=a+b，则a与b不共线，由于a=(1，2)，b=(m- 1，m+3)，所以1(m+3)2(m-1)，解得m5.,【加固训练】 1.(2014

16、郑州模拟)已知向量 且A,B,C三点共线，则k的值是( ) 【解析】选A. 因为A，B，C三点共线，所以 共线， 所以-2(4-k)=-7(-2k)， 解得,2.(2014大庆模拟)已知向量a=(1-sin ，1)，b= 若ab，则锐角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.75 【解析】选B.由ab得，(1-sin )(1+sin )-1 =0， 解得 又为锐角，所以=45.,3.(2011北京高考)已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ). 若a-2b与c共线，则k=_. 【解析】因为a=( ,1),b=(0,-1), 所以a-2b=( ,1)-2(0,-1)=( ,3), 又c=(k, )， 所以 解得k=1. 答案：1,【易错误区12】应用平面向量基本定理中的易错点 【典例】(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命题： 给定向量b，总存在向量c，使a=b+c； 给定向量b和c，总存在实数和，使a=b+c；,给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使a=b+c； 给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使a=b+c； 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4,【解析】,【误区警示】,【规避策略】,【类题试解】(2014