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第四节 克莱坶定理,定理4.1克莱姆(carmer)定理 若线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有唯一的解，且解 可以用行列式表示为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,证毕,推论1,若齐次方程组,（i=1,2,n),的系数行列式D不等于0，则它(当且仅当)只有唯一的零解。,证明,因为D不等于0，所以方程组有唯一解。又因为常数项均为0，那么Dj=0,(j=1,2,n)。于是,（j=1,2,n),推论2,若齐次方程组,（i=1,2,n),有非零解，则它的(当且仅当)系数行列式必为零。,推论2为推论1的逆否命题，故显然成立。,例1 用克拉默则解方程组,解,例1 用克拉默则解方程组,解,例2 k为何值时，方程组,只有零解？,解：由推论1，方程组只有零解时，系数行列式D不为零. 因为,要使D0，即k 1, k4.,所以， k 1, k4时，方程组只有零解.,解,齐次方程

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