无穷小与无穷大

1、练习题,一、无穷小,二、无穷大,1.5 无穷小与无穷大,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、无穷小,如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小,无穷小的定义,下页,讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？,提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身,一、无穷小,例1,下页,如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小,无穷小的定义,在自变量的同一变化过程xx0(或x)中 函数f(x)具有极限A的

2、充分必要条件是f(x)Aa 其中是无穷小,定理1(无穷小与函数极限的关系),证明：,说明:,二、 无穷大,如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为,当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x) 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大”.,无穷大的定义,下页,讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?,提示,M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M,下页,二、 无穷大,如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数

3、f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为,无穷大的定义,正无穷大与负无穷大,下页,二、 无穷大,如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为,无穷大的定义,铅直渐近线,1,的铅直渐近线,下页,例2,证,当0|x1| 时 有,铅直渐近线,定理2(无穷大与无穷小之间的关系),结束,在自变量的同一变化过程中 如果f(x)为无穷大,证明,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,举例:,当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小,下页,用极限运算法则,例、求,解,又,因为,由夹逼定理得,与教材

4、P55页是非T4比较，可得什么结论？,定理2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,无穷小的性质,用极限运算法则,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,用夹逼性定理证明,观察与比较,两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿,上页,下页,铃,结束,返回,首页,无穷小的比较,无穷小的阶,设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小,下页,阶是比较两个无穷小趋于零速度快慢的一个概念,阶的比较举例,所以当x0时 3x2是比x高

5、阶的无穷小 即3x2=o(x)(x0),所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小,例2,例3,例1,下页,所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小,所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0),例4,例5,下页,阶的比较举例,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),下页,关于等价无穷小的定理,必要性:,证明,所以b a=o(a),因为,设ab,只需证b a=o(a),充分性:,设b=a+o(a) 则,因此ab,所以当x0时 有,sin x=x+o(x),tan x=xo(x),例6,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,证明,求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化,定理2的意义:,下页,定理1,b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a),关于等价无穷小的定理,定理2,解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以