章 应力状态与强度理论（xh）

1、应力状态和强度理论,第10章 应力状态与强度理论 10.1 应力状态的概念 10.2 二向应力状态分析 10.3 三向应力状态分析简介 10.4 广义虎克定律 10.5 强度理论简介,应力状态,钢件的扭转,铸铁件的扭转,10.1 应力状态的概念,10.1.1 一点处的应力状态概念,：指通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况总和。,“一点处的应力状态”,10.1.2 一点处应力状态的研究方法,取一个微小的正六面体，当正六面体的三个棱长趋于无穷小时，它便称为称为该点的单元体。,单元体：,总是沿构件的横截面和纵截面截取单元体。,关于单元体：（边长无限趋于0的立方体） 单元体各面上的应力为均匀分

2、布。 单元体两个相互平行面上的应力相等，等于该点对应截面上的应力。,危险截面、危险点、危险点的应力分布,拉伸,危险截面、危险点、危险点的应力分布,扭转,危险截面、危险点、危险点的应力分布,弯曲,应 力,哪一个面上？哪一点？,哪一点？哪个方向面？,指明,所谓一点处的应力状态，就是受力构件内某一点的各个不同截面上的应力情况。,主应力：,单元体中切应力为零的平面,三对主平面上的主应力一般用 表示。并且按代数值大小依次排列，即,10.1.3 应力状态的分类,主平面：,主平面上的正应力,三向应力状态,二向应力状态,单向应力状态,10.2 二向应力状态分析,用平衡的方法，分析过同一点不同方位截面上应力的相

3、互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。,应力状态分析：,已知现有单元体应力状态如图所示，求与z轴平行的任意斜截面ef上的应力,10.2.1 斜截面上的应力,应力和转角的正负规定如下：,正应力以拉应力为正，压应力为负,切应力以绕单元体顺时针转向为正，反之为负,由x轴转到斜截面外法线n为逆时针转向时， a为正；反之为负。,方位角a正负的规定,沿截面ef 将单元体切开，保留左边 aef 部分，按规定的正负规则对保留部分进行平衡计算 。,用截面法：,平面应力状态分析,（解析法）,x,y,平衡原理的应用 单元体局部的平衡方程,dA,剪 中 有 拉,拉 中 有 剪,不仅横截面上存在应力,

4、斜截面上也存在应力,结 论:,(10.1),任意斜面上应力的计算公式,单元体的不同方位的斜截面上的应力值代表着一点的不同方向的应力状态,例题10.1 在图10-3所示的应力状态中，求指定斜截面上的应力。,解 由图可知：,由式（10.1）得：,MPa,MPa,MPa,MPa,斜截面上的正应力 和切应力 方向如图所示,MPa,100MPa,50MPa,10.2.2 主平面和主应力,利用求函数极值的方法，可确定单元体上的正应力和切应力的最大值以及它们所在平面。,由此得出：,(10.2),（10.3）,(10.1),（10.1）,(10.2),在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值。,主应力就

5、是最大或最小的正应力。,(10.1),（10.3）,（10.4）,平面应力状态中，至少有一个主应力为0,若 max0，min0，则该单元体的三个主应力分别为：1=max，2=0，3=min。,在0360的范围内，由式可以解出两个角度 ，它们相差90。,10.2.3 最大切应力,（10.5）,（10.1）,确定最大切应力和最小切应力,求得切应力的最大和最小值是：,（10.6）,（10.5）,（10.3）,最大切应力和最小切应力所在平面与主平面成45夹角。,圆轴扭转时的应力状态分析,圆截面铸铁件扭转时，表面各点smax所在的主平面成倾角为45的螺旋面。,由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉

6、应力达到极限而发生断裂破坏,图10-4 铸铁试件受扭时的破坏分析,a) 铸铁试件 b) 单元体 c) 断口,例题10.2 如图10.4所示，试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。,解 圆轴扭转时，在横截面的边缘处各点切应力最大，其数值为：,（1）,圆轴的最外层取出单元体ABCD,（2）,（a）,（b）,（c）,该单元体侧面上只有切应力，而无正应力。处于纯剪应力状态。,（10.4）,（10.3）,45和 135所确定的斜截面为主平面，其主应力分别为：,属于是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于切应力， 一个为拉应力，一个为压应力。,圆截面铸铁试件扭转时，表面各点的主

7、应力与轴线成45倾角，当该应力达到材料的抗拉强度时，试件将沿主应力方向断裂，从而形成与轴线成45的螺旋断口。,纯剪应力状态,例10.2 讨论图示圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象,解：圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为,在圆轴的表层，取单元体,求极值应力,按主应力排序：,判断主方向,例10.3 从受力构件中截取的单元体，其应力状态如图所示。试其求主应力和主平面方位。,解 (1)由式(10.4)(P140)计算应力,(2) 由式(10-3)计算主平面的位置.,代入：,得：,所确定的平面为主应力 所在的平面,说明：,所确定的平面为主应力 所在的平面,103 三向应力

8、状态的最大应力,只讨论当三个主应力已知时，任一斜截面上的应力计算。,以任意斜截面ABC从单元体中取出四面体,ABC的法线n与x、y、z轴夹角分别：,总应力 分解成与斜截面垂直的正应力 和相切的切应力 。,根据平衡条件和方向余弦关系，可推导出以下关系式（推导过程从略）：,（10.7）,式（10.7）即为三向应力状态单元体任意斜截面上的正应力和切应力计算方程式。,可以证明：三向应力状态单元体上正应力和切应力的极值分别为,（10.7）,联立其中任意两个方程求解2个未知数。,104 广义胡克定律,，,，,在沿三个方向产生的应变分别为：,，,，,，,，,单元体沿 方向所产生的线应变为,，,同样的方法可以

9、求出沿s2和s3方向的线应变,根据叠加原理:,广义胡克定律,（10.7）,三向应力状态下的广义胡克定律,三向应力状态下的广义胡克定律,在复杂应力状态下，沿某主应力方向的线应变不仅与该主应力有关，也与另外两个主应力有关。上述关系称为广义胡克定律，它只适用于线弹性小变形条件下的各向同性材料。,解 由广义胡克定律式(8.7)：,例题10.4 设某二向应力状态单元体，已知主应力 ，主应变 。泊松比 。试求主应变 。, 代入得：,+得：,为负值，表明与 平行的棱边缩短。,105 强度理论,塑性屈服和脆性断裂两种。,静载荷下材料破坏的形式主要有：,脆性断裂：是指不出现显著塑性变形的破坏。,塑性屈服：是指材

10、料由于出现屈服现象或发生显著塑性变形而产生的破坏；,10.5.1强度理论的概念,强度理论：关于材料破坏原因的假说并由此而建立的强度准则，称为强度理论。,复杂应力状态用强度理论来计算构件的强度,1最大拉应力理论（第一强度理论）,认为材料发生脆性断裂的原因是由于单元体内的最大拉应力 达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力即强度极限,强度条件：,10.5.2 常用的4个强度理论,（10.10）,破坏判据:,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁等脆性材料在单向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上；,（没有考虑其它两个主应力的影响）,较好的解释：,脆性材料的扭转破坏，也发生在最大拉应力所在的斜截面上。

11、,无法解释：,单向压缩、三向压缩等破坏现象。,2最大伸长线应变理论（第二强度理论）,认为最大拉应变是引起断裂的主要因素,强度准则：,破坏判据:,（10.11）,最大伸长线应变理论（第二强度理论）,但是：未被金属材料的实验所证实。,石料或混凝土受压时沿纵向断裂的现象。,很好的解释：,3最大切应力理论（第三强度理论）,强度准则：,认为只要最大切应力达到单向拉伸屈服时的极限切应力 ，材料就将发生屈服。,破坏判据:,（10.12）,最大切应力理论（第三强度理论）,塑性材料出现的塑性变形现象。,较满意地解释：,主应力 对材料屈服的影响。,未考虑,4形状改变比能理论（第四强度理论）,认为材料发生屈服,都是

12、由 于单元体的形状改变比能 达到了材料单向拉伸屈服时的形状改变比能,考虑安全系数后，可得强度条件为：,变形能分解为形状改变能和体积改变能，单位体积内的形状改变能称为形状改变比能。,（10.13）,对于塑性材料，第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果。这两个强度理论在工程中都得到广泛的应用。,四种理论的强度条件可以写成如下统一的形式：,（10.14）,相当应力,10.5.3 强度理论应用,强度理论的选择： 基本原则 1） 对于脆性断裂，用第一强度理论；第二强度理论可靠性差，几乎不用。 对于塑性破坏，用第三或第四强度理论。 2）塑性材料及脆性材料，三向拉伸应力状态用第一强度理论。 3）塑性材料及

13、脆性材料，三向压缩应力状态用第三或第四强度理论 对平面应力状态，第三、第四强度理论差别15 ，第三强度理论偏于安全。第四强度理论比较经济。,运用强度理论对复杂应力状态下的构件进行强度计算的步骤：,计算杆件横截面上的应力，判定危险点。,根据材料和单元体的应力状态，选定强度理论，计算出相当应力。,确定材料的许用应力，按公式进行强度计算和校核。,取出危险点单元体，计算出单元体的主 应力,根据第三和第四强度理论建立强度条件,首先求出最大和最小应力,代入第三、第四强度理论公式,例10.5 一铸铁构件的危险点的应力状态， MPa ， MPa， ,材料的许用拉应力 为45MPa ，许用压应力 为160MPa

14、 ，试对该构件进行强度校核。,解 (1)求主应力。将已知应力 代入式8.4得:,MPa,三个主应力分别为:,材料为脆性材料，又处于两向应力状态，在此选定采用第一强度理论进行强度校核。,（2）计算相当应力。,(3) 强度校核：,满足强度准则。,解2：由于材料为脆性材料，又处于两向应力状态，在此选定采用第一强度理论进行强度校核。,=40 MPa,强度满足要求。,为什么不用 来判断?,例10-6 如图10-8a所示，两端简支的工字钢梁受集中力作用。已知F1=F2=200kN，材料为Q235钢，许用应力为 ,截面的几何性质为 。试用弯曲正应力强度、弯曲切应力强度、强度理论全面校核梁的强度。,x,FQ,

15、M,x,84kN.m,200kN,200kN,解 (1) 内力分析求最大剪力和最大弯矩。,作剪力图和弯矩图如图10-8所示。 由图可知：,200kN,200kN,（2）校核正应力强度,（3）校核切应力强度,（4）主应力强度校核,危险截面上翼缘板和腹板交界处，其正应力和切应力分别为：,单元体处于二向应力状态。因Q235钢属于塑性材料，采用第四强度理论进行校核，其相当应力为：,故该工字钢强度不够，应改选较大的截面。,可见：梁的危险点有时并不在梁的上、下边缘点和中性轴上，而是在正应力和切应力都较大的点处。对此必须利用强度理论进行校核。,注意：只有在梁的跨度较小或集中力附近的截面上，其切应力才有较明显

16、的影响，一般情况，不考虑切应力的影响。,作业：,10.6,10.10：求指定斜面上应力。（用10.9图a）,10.11a,10.9（a）(用题10.10图a),10-6 何谓强度理论? 金属材料破坏有几种主要形式?相应有几类强度理论?,答：关于材料破坏原因的假说并由此而建立的强度准则，称为强度理论。强度理论主要解决复杂应力状态下的强度计算问题。材料破坏有两种形式：脆性断裂破坏，塑性屈服破坏。,对应材料两种不同的破坏形式， 强度理论相应地分为两类。一类是解释脆性断裂破坏的强度理论，包括最大拉应力理论（第一）和最大拉应变理论（第二）。另一类是解释塑性屈服破坏的理论,包括最大切应力理论（第三）和最大形状改变比能理论（第四）。,10.9 如图所示单元体(应力单位：MPa)，试求： (1) 主应力的大小和方向；(2) 在单元体上表示出主平面及主应力；(3) 最大切应力。