空间几何体的表面积与体积

1、1.3 空间几何体的表面积与体积,(1)矩形面积公式： _。 (2)三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：_。 (3)圆面积公式：_。 (4)圆周长公式： _。 (5)扇形面积公式：_。 (6)梯形面积公式： _。,知识回顾,面积:_。,平面图形所占平面的大小。,注：扇形面积公式可以类比到三角形面积公式：_。,所谓表面积，是指几何体表面的面积，也即是立体图形的所能触摸到的面积之和。怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？,各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.,表面积=侧面积+底面积,如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？,侧面展开图的构成,几何体的侧面展开图,一组平行四边形,一组梯形,一组三

2、角形,探究：,2底面积+侧面积,几何体表面积,底面积+侧面积,上底面积+下底面积+侧面积,注意：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积。,例1、（课本P24 ）已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,分析：四面体有四个面，由四个全等的正三角形组成。,因为SB=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积 ,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作,例2、下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积。,解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形,正视图,侧视图,俯视图,直观图,

3、旋转体的表面积,1、圆柱,一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积.,圆柱的侧面展开图是一个矩形,底面是圆形,2、圆锥,侧面展开图是一个扇形：,底面是圆形：,3、圆台,底面是圆形：,侧面展开图是一个扇状环形：,扇环面积公式可以类比到梯形 面积公式：,代入，得,圆台侧面积公式的推导,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,圆台：,圆柱：,圆锥：,思考,1、一个圆柱形锅炉的底面半径为1米,侧面展开图为正方形，则它的表面积为多少？,2、以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋

4、转，所得旋转体的表面积为多少？,课堂作业,3、圆台的上、下底面半径分别是5cm和10cm，母线长为10cm，则侧面展开图扇环的圆心角为多少？,4、课本P27 练习2,空间几何体的体积,体积:几何体所占空间的大小。,1、棱柱和圆柱的体积,柱体的体积公式： V=Sh,底面积S,2、棱锥和圆锥的体积,A,B,C,D,E,O,S,底面积S,3、棱台和圆台的体积,柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S、S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,探究,课本P26,课本P29 习题1.3 第4题,解关于表面积、体积问题常用方法： （1）分割法：一个几何

5、体的体积等于它的各部分体积之和。 （2）补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, （3）等积变换法： 相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变）. 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。,（4）计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋

6、转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式：,R,球的体积和表面积,4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,课堂练习,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是_.,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为_.,6.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球的直径之差为_.,课堂练习,解:设球的半径为R，则圆柱的底

7、面半径为R，高为2R.,例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.,1)因为,2)因为,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体,侧棱长为5cm,例题讲解,例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积和体积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,例题讲解,例4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶

8、点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,作轴截面,球面距离,球面距离 即球面上两点间的最短距离，是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度.,球心O,A,B,大圆圆弧,大圆劣弧的圆心角为弧度，半径为R，则弧长为 L=R,球面距离

9、,例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离.,答案：,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算.,失误与防范 1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出