空间中直线与直线之间的位置关系

1、,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,六角螺母,定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,注：概念应理解为:,“经过这两条直线无法作出一个平面” .,或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”,定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线.,注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.,一、异面直线:,异面直线的画法:,A,b,a,b,a,b,a,用平面衬托,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？,答案：,D1C1、C1C、CD、,D1D、AD、B1C1,二、空间两直

2、线的位置关系：,(1)从公共点的数目来看，可分为：,有且只有一个公共点两直线相交,没有公共点,两直线平行,两直线为异面直线,(2)从平面的性质来讲，可分为：,两直线相交,在同一平面内,两直线平行,不在同一平面内两直线为异面直线,问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？,若ab，bc,则ac,公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(空间平行直线的传递性),空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.,A,B,C,D,相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.,例1：已知ABCD是四个顶

3、点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE， 求证：四边形EFGH是平行四边形.,解题思想：,把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题,解立体几何时最主要、最常用的一种方法.,问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？,方向相同或相反，结果如何？,一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？,等角定理:,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.,在平面内,两条直线相交成四个角,

4、其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,三、异面直线所成角：,平移法,O,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点O作直线aa ,b b 则把a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这

5、一角的大小 是否改变?,45o,例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数.,找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.,例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？,如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = , AD = ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角.,一作(找)、二证、三求,(1)通过直线平移，作出异面直线 所成的角，把空间问题转化

6、为 平面问题. (2)利用平面几何知识， 求出异面直线所成角的大小.,异面直线所成角的求法：,在正方体ABCD-ABCD中，棱长为a， E、F分别是棱AB，BC的中点，求：,异面直线 AD与 EF所成角的大小；,异面直线 BC与 EF所成角的大小；,异面直线 BD与 EF 所成角的大小.,平 移 法,O,G,AC AC EF, OG BD,BD 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角,即为AOG或其补角.,AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?,小结,作业：,完成教材相关练习和学海导航,、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与

7、另一条之间的位置关系是（）,、平行、相交 、异面、可能平行、可能相交、可能异面,、两条异面直线指的是（）,、没有公共点的两条直线,、分别位于两个不同平面的两条直线,、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,、不同在任何一个平面内的两条直线,备选练习：,3、下列命题中，其中正确的是（ ）,（）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行,（）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行,4、三个平面两两相交，所得的三条交线（）,、交于一点、互相平行 、有两条平行、或交于一点或互相平行,A,c,B,D,H,E,F,G,3.下图长方体中,平行,相交,异面, BD 和FH是 直线, EC 和BH是 直线,BH 和DC是 直线,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?,(1)说出以下各对线段的位置关系?,4.如图，正方体ABCD-EFGH中,O