空间直线的方程

1、复习,2 平面与点的相关位置 1.平面与点的相关位置 2. 点到平面的距离 3 两平面的相关位置 1.两平面的相关位置 2. 两平面的交角(垂直) 3.两平行平面的距离,4 空间直线的方程,4.1直线方程的各种形式 1.直线的参数方程,下面我们来推导直线方程：,已知直线 l 通过点P0 (x0, y0, z0 ) ，方向向量为,称为直线l的向量式参数方程，其中t为参数。,称为直线l的坐标式参数方程.,说明： (1)方向数,常用X:Y:Z来表示直线的方向数； (2)方向角与方向余弦,(3)|t|的几何意义,例1,已知平面的法向量就是直线 l 的一个方向向量，它的单位向量的坐标就是直线 l 的方向

2、余弦。,2.直线的标准方程,必须注意:当方向向量的某个坐标为零时，应该理解为它对应的分子也等于零。比如,此时应理解为 两特殊平面的交线！,此时应理解为,点向式方程,以上的直线方程都由直线上一点与方向向量所确定，都称为点向式方程。,例2. 求通过两点P1 (x1, y1, z1 )和P2 (x2, y2, z2 )的直线 l 的方程。,称为直线的两点式方程. 由取P1P2 为直线的方向向量得到。,例3. 已知直线l通过点P0 (2, -1, 0 )， l的方向数为1:0:1，求直线l的标准方程.,空间直线可以看作两平面的交线，因此空 间直线的方程可以由通过它的两个平面的方程 所组成的方程组来表示

3、。,3.直线的一般式方程,设通过直线 l 的两个相异平面为,此方程称为空间直线 l 的一般式方程.,两个相异平面的交线的方向向量,即上述直线方程所表示的直线l的一个方向向量为,例4 已知直线l0 ，求通过原点且与直线平行的直线 的标准方程.,设平面方程为Ax+By+D=0,代入两点解得系数,4. 直线的射影式方程 直线l对坐标面的射影平面,则上述平面分别称为直线l对坐标面xOy, yOz, zOx的射影平面.,l,这里土红色的平面平行y轴，紫色的平面同时平行x轴,z轴,因为直线l 的一般式方程可由通过 l 的任意两个平面的方程联立组成，因此直线l 的方程也可由它的三个射影平面的方程中任取两个不

4、同的方程联立组成，例如,这种由直线的两射影平面的方程联立组成的直线方程称为直线的射影式方程. 右图中l就是两个射影平面的交线。,直线的射影式方程是一般式方程的特殊形式，射影式方程的特点是方程中关于变数x , y , z缺少其中一个或两个变数.,例6 求标准方程如下的直线l对三个坐标面的射影平面的方程.,y2=0,2x z 3 = 0,直线l对两个坐标面xOy, yOz的射影平面都是y2=0.,小结,点向式,1直线的方程 1.直线的参数方程(向量式、坐标式) 2.直线的标准方程(对称式)(两点式) 3.直线的一般式方程 4.直线的射影式方程(特殊的一般式),练习,P88 1（1）（2），5（2）,作业,P88 1（3）（4）,复习1直线的方程,1.参数式 2.标准式 3.一般式 4.射影式,点向式,中任意两个组成的方程组.,4.2 各式直线方程的互化,1. 参数式 标准式,例7 化下述直线的标准方程为参数方程：,2. 标准式化一般式：,例7 化下述直线的一般式方程为标准方程：,2. 一般式化射影式：,例9 下面是直线l的一般式方程，将其化为射影式：,可以过渡转化，或酌情灵活直接互化。,其它三对形式的之间的转化：,(1),(2),例10 将下述直线的射影式方程化为标准方程与参数方程.,例11 将下述直