第二章 逻辑函数及其简化

1、第二章 逻辑函数及其简化,2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的简化,1849年，英国数学家乔治-布尔，布尔代数 描述客观事物逻辑关系的数学方法 1938年，克劳德-香农，开关代数 将布尔代数应用到继电器开关电路的设计，又称为。 布尔代数成为数字逻辑电路分析和设计的基础，又称为 逻辑代数 本章重点：逻辑函数化简,2.1 逻辑代数 2.1.1 基本逻辑 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其“真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大写字母A，B， C， 表示。例如，“开关A闭合着”，“电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可分别将其记

2、作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯L价格很贵”等均不是逻辑变量。,逻辑变量只有“真”、 “假”两种可能，在逻辑数学中，把“真”、 “假”称为逻辑变量的取值，简称逻辑值，也叫逻辑常量。通常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，或者相反。本教材中，若不作特别说明，“1”就代表“真”，“0”就代表“假”。虽然“1”和“0”叫逻辑值或逻辑常量，但是它们没有“大小”的含义，也无数量的概念。它们只是代表逻辑“真”、“假”的两个形式符号。 ,一个结论成立与否，取决于与其相关的前提条件是否成立。结论与前提条件之间的因果关系叫逻辑函数。通常记作： F=f(A, B, C, ) 逻辑函数F也是一个逻辑

3、变量，叫做因变量或输出变量。 因此它们也只有“1”和“0”两种取值，相对地把A， B， C， 叫做自变量或输入变量。,1. 与逻辑(与运算、 逻辑乘) 决定某一结论的所有条件同时成立，结论才成立，这种因果关系叫与逻辑，也叫与运算或叫逻辑乘。 例如，对图2 - 1所示电路的功能作如下描述：“开关A闭合，并且开关B闭合，则电灯F亮”。这三个陈述语句均具有“真”、 “假”两种可能， 其对应关系如表2 - 1(a)所示。 用“1”代表逻辑“真”，用“0” 代表逻辑“假”，则表2- 1(a)可改为表2 -1(b)的形式。这种表格叫真值表。所谓真值表，就是将输入变量的所有可能的取值组合对应的输出变量的值一

4、一列出来的表格。它是描述逻辑功能的一种重要形式,表 2 1 与逻辑的真值表,图 2 1 与门逻辑电路实例图,由表2 - 1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为： F=AB 读作“F等于A乘B”。在不致于混淆的情况下，可以把符号“”省掉。在有些文献中，也采用、 控制信号R=1 红灯亮; 则 GR可以为GR=00、01、10，但GR 11。,例2 :电动机正反转控制,设控制信号F=1 正转; 控制信号R=1 反转; 则 FR可以为FR=00、01、10，但FR 11。,例3 :8421BCD码中，从1010 1111的六种编码不允 许出现，可视为无关最小项

5、。,1,00 01 11 10,0001 11 10,AB,CD,1,1,1,1,1,解：,1)不考虑无关最小项：,例1：给定某电路的逻辑函数真值表如下，求F的最简与或式。,2)考虑无关最小项：,例2：已知真值表如图，用卡诺图化简。,0,0,1,1,0,0,1,化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。,F=A,对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最简，因为各个输出函数之间往往存在可供共享的部分。,多输出逻辑函数化简的标准：,2） 在满足上述条件的前提下，各不同与项中所含的变量总数最少。,1） 所有逻辑表达式包含的不同与项总数最

6、小；,多输出逻辑函数的化简,例：多输出函数.,对应的卡诺图为,F1,F2共含4个不同的与项。,从多输出函数化简的观点来看，它们不是最佳的，应该是：,多输出逻辑函数的化简考试不要求,对于含有无关项逻辑函数可表示为,也可表示为,即不允许AB或AC或BC为1。,图 2 23 不考虑无关项的化简,图 2 24 考虑无关项函数化简,例29 化简,解 化简过程如图2 - 25所示，化简函数为,图 2 25 例29化简及逻辑图,例 30 化简,解 化简过程如图2 - 26所示，由于m11和m15对化简不利， 因此就没圈进。,图 2 26 例30化简及逻辑图,例 31 化简,解 AB=0即表示A与B不能同时为

7、1，则AB=11所对应的最小项，应视为无关项。其卡诺图及化简过程如图2 - 27所示。 化简函数为,图 2 27 例31化简过程,当逻辑变量数目太多，人工化简的难度会大幅度上升，不便采用卡诺图（K图）； 人们探求在逻辑化简中更适合于计算机求解的布尔代数算法，以适应大规模集成电路的自动化设计与应用的过程。,主要步骤是： 1）列最小项表； 2）搜索、合并相邻项； 3）列质蕴涵表； 4）选取最小覆盖。,2.5.3 列表化简法（Quine-McClusky法，奎因法）,二变量合并项,四变量最小项,三变量合并项,例1：用Q-M法化简逻辑函数,质蕴涵项表,P3对应的最小项已被其它蕴涵项覆盖，可以不选P3。

8、,P1,P2,P4和P5都含有一个独立的最小项，因此它们是必要质蕴涵项。,一次质蕴涵表的必要质蕴涵项有P1和P3,再加上二次质蕴涵表的基本质蕴涵项P2，得到函数的化简式：,例2：已知函数 F 的质蕴涵表如下，求最小覆盖。,四变量最小项,例3：用奎因法求 的最简表达式,质蕴涵表：,第二章 逻辑函数及其简化复习,2.1逻辑代数 2.1.1 基本逻辑：与、或、非，电路，真值表，逻辑符号 2.1.2 基本逻辑运算：逻辑加、逻辑乘、逻辑非、复合逻辑运算 2.1.3 真值表和逻辑函数 2.1.4 逻辑相等：基本公式、交换律、结合律、分配律、重复律、反演律 2.1.5三个规则：代入规则、反演规则、对偶规则 2.1.6常用公式 2.1.7 逻辑函数的标准形式：最大项表达式、最小项表达式 2.2逻辑代数化简 2.2.1公式法化简：合并项法、消去法、吸收法、配项法 2.2.2卡诺图化简 2.2.3系统化简法,重点： 逻辑函数的基本公式、基本定理和基本定律 常用公式 逻辑函数的真值表、表达式