计量学原理 第3章 计量误差与数据处理

1、第3章 计量误差与数据处理,3.1 计量误差 3.2 数据处理 习 题 ,常用计量术语,1、量：现象、物体或物质的可以定性区别和定量确定的一种属性。 计量学中的“量”，都是指可测量的(measurable)量。量，可以是广义的量，如长度、质量、温度、电阻、时间；也可以是特定的量，如某根杆的长度、某条导线的电阻。 可相互比较的量(可比量)称为同种量；某些同种量可以组合在一起成为同类量，例如功、热、能(皆可用同一单位焦耳表示)，厚度、周长、波长(皆可用同一单位米表示)等。,2被测量(measuredquantity，quantityto be measured) 被测量的量。它可以是待测量的量，也

2、可以是已测量的量。 3影响量(influence quantity) 不是被测量，但却影响被测量的量值或计量器具示值的量。例如环境温度、被测的交流电压的频率。 4计量单位(unit of measurement) 约定选取的特定量(通常其数值为1)，用以定量表示同种量的值。同种量的量纲必然相同，但相同量纲的量未必同种。例如，在国际单位制中，功和力矩的量纲相同，皆为L2MT-2，而量却不同。,5量值(value of a quantity) 由数值与计量单位的乘积所表示的量的大小，如5m、12kg。 6量的数值(numerical value of a quantity) 量值中的数字部分。 7

3、量的真值(true value of a quantity) 某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值。或者，可以理解为没有误差的量值。 一个理想的概念。,8量的约定真值(conventional true value of a quantity) 为给定目的而取的可以代替真值的量值。一般来说，约定真值与真值的差值可以忽略不计。故而在实际应用中，约定真值可以代替真值。 9实际值(actual value) 满足规定精确度的用来代替真值的量值。实际值可理解为由实验获得的，在一定程度上接近真值的量值。在计量检定中，通常将上级计量标准所复现的量值称为下级计量器具的实际值。,10测量(measu

4、rement) 为确定量值而进行的操作。操作可能是相当复杂的，也可能是极其简单的。 11测得值(measured value) 由测量得出的量值。它可能是从计量器具直接得出的量值，也可能是通过必要的换算、查表等(如系数换算、借助于相应的图表或曲线等)所得出的量值。 12测量结果(result of a measurement) 由测量得到的被测量的量值(测得值)及其不确定度(或误差范围)。更严格地说，测量结果还应包括测量条件或主要影响量的值或范围的说明。,13计量器具的基本误差(intrinsic error of a measuring instrument) 计量器具在标准条件下所具有的误

5、差。 14计量器具的附加误差(complementary error of measuring instrument) 计量器具在非标准条件下所增加的误差。 15计量器具的允(容)许误差(permissible errors of a measuring instrument) 技术标准、检定规程等对计量器具所规定的允许的误差极限值。,16测量重复性(repeatability of measurements) 在相同的地点和使用条件下、用相同的测量方法和器具、由相同的观测者在短时间内对同一量进行连续多次重复测量所得结果之间的符合程度(一致性)。它一般可用结果之间的差值(离散)来定量表示。 1

6、7测量复现性(reproducibility of measurements) 在不同的测量条件下，对相同被测量进行测量时，其测量结果之间的符合程度(一致性)。它一般可用结果之间的差值(离散)来定量表示。 这里“不同的测量条件”系指：不同的测量原理、不同的测方法、不同的计量器具、不同的使用条件、不同的观测者、不同的时间、不同的地点等。,18测量正确度(correctness of measurement) 测量结果与真值的接近程度。它反映的是测量结果的系统误差的大小 (参见图3-1(a)。 19测量精密度(precision measurement) 在相同条件下对同一量进行多次重复测量时，所

7、得结果之间符合程度。它反映的是测量结果的随机误差的大小(参见图3-1(b) 。 20测量精确度(准确度，accuracy of measurement) 测量结果之间的符合程度以及与真值的接近程度的综合。它是精密度和正确度的综合反映(参见图3.1.11(c).,(a) 正确度较高，精密度较差； (b)精密度较高，正确度较差； (c)精密度和正确度都较高，即精确度(准确度)较高。,误差理论是计量科学的重要组成部分，在计量误差研究中主要解决（即误差理论研究的意义）： 合理评价计量结果的误差。 正确处理计量数据，以便得到接近于真值的最佳结果。 指导实验设计，合理选择计量器具、计量方法和规定计量条件，

8、以便得到最佳的结果。,3.1 计量误差,3.1.1 计量误差的定义 计量误差是计量结果与被计量的量的真值之间的差异。 量的真值是指某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值。因此量的真值是一个理想的概念,一般是未知的。虽然基本单位量的真值可以按定义给出,但是复现起来还是含有误差。实际上,真值常用实际值用高一等级的计量标准器具所计量的量值或一列计量结果的平均值来代替。当测量结果仅含有随机误差时,测量结果算术平均值（数学期望）是被测量真值的最佳估计值。,3.1.2 计量误差的表示方法 计量误差有四种表示方法。 1. 绝对误差 对某一量进行计量以后,用被计量的量的计量结果x减去其真值x0而得到的

9、差值,称为绝对误差（也简称误差）x，即 x=x-x0 （3.1.1） 【例3.1.1】真值为6.42A的电流,在微安表上的示值为6.34A,则微安表的示值6.34A的绝对误差为 6.34-6.42=-0.08 A,由于真值一般无法求得,因此x=x-x0 这个式子只有理论上的意义,经常用上一级标准仪器的示值作为实际值代替真值,由于上一级标准也存在误差,只是小一些,因此,实际值并不等于真值。但一般来说,实际值总比计量值更接近于真值。 2. 相对误差 相对误差是绝对误差与被计量的量的真值之比。 相对误差通常以百分数表示,因此相对误差可以表示为,【例3.1.2】用一个频率计测量准确值为100kHz的频

10、率源,测得值为101kHz,则其绝对误差为 x=101-100=1kHz 相对误差为 【例3.1.3】用波长表测量准确值为1MHz的标准频率源,测得值为1.001 MHz,则其绝对误差为 x=1.001-1=0.001MHz=1 kHz,相对误差为 从上面两个例子可以看出,两次测量的绝对误差相同,但其相对误差不同,第一个相对误差大,第二个相对误差小。相对误差越小,测量的准确度越高。 注：绝对误差与相对误差的比较。 3. 分贝误差 在日常生活和工作中离不开自然计数法,但是在一些自然科学和工程计算领域,对物理量的描述往往采用对数计数法,比如对声学和电学中的物理量。,从本质上讲,在这些场合用对数形式

11、描述物理量是因为它们符合人的心理感受特征。在一定的刺激范围内,当物理刺激量呈指数变化时,人们的心理感受是呈线性变化的,人的感受器官好像是一个对数转换装置一样,这就是心理学上的韦伯定律和费希纳定律。 分贝误差是相对误差的另一种表现形式,在电学和声学计量中,常用分贝误差表示相对误差。 先看一下分贝的定义： 对于电压、电流类参量 D=20lgx dB 式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2为电压,I1、I2为电流。,对于功率类参量 D=10lgx dB 式中,x=P2/P1，P1，P2为功率。 若x有误差x,则分贝也有一相应误差D,即 D+D=20lg (x+x) dB或 D+D=10lg

12、 (x+x) dB 所以分贝误差为: 对于电压、电流类参量 D=20lg (1+x) dB 对于功率类参量 D=10lg (1+x) dB,由分贝误差计算相对误差的公式为： 或 当误差本身不大时,分贝误差与一般的相对误差之间有简单的计算关系： 对于电压、电流类参量 D8.69x x0.115D 对于功率类参量 D4.34x x0.230D,以上两组式子仅表明分贝误差与相对误差之间数值上的换算关系,使用时还要注意各个量的单位。 【例3.1.4】一电压用某电压表测得为125V,用标准表测得为127V,求分贝误差。 解： 先求出绝对误差为 x=125-127=-2 V 再求出相对误差为,则分贝误差为

13、,在实际工作中,常用dB来表示信号电平,用dBm来表示功率电平。为此,必须确定一个基础电平,也就是所谓的零电平。 在电学领域中,零电平一般定义为：在600的纯电阻上耗散1mW的功率,电阻上的电压和流过的电流分别为,作为基准值的1mW、0.7746V和1.291mA分别称为零电平功率、零电平电压和零电平电流（我国不采用电流电平测量基准）。 于是,用dB来表示信号电平的公式为 用dBm来表示功率电平的公式为 dBm表示以1mW为基准的功率电平的分贝值,在微波和通讯领域广泛应用。,(3.1.2),(3.1.3),我国现在使用的测量仪器,有以1mW为零电平刻度的功率电平表,也有以0.7746V电压为零

14、电平刻度的电压电平表,在使用这些测量仪器时,要注意这一点。 另外,也有取1 为零电平的（例如测量接收机）,在这种情况下,应予以注明。,4. 引用误差 引用误差是一种简化的实用且方便的相对误差,在多挡和连续刻度的仪器仪表中广泛应用,这类仪器仪表可测范围不是一个点而是一个量程,各刻度点的示值和其对应的真值都不一样,因此,计算相对误差时所用的分母也不一样,所以计算很麻烦。 为了计算和划分准确度等级方便,规定一律取该仪器仪表的特定值作分母,由此可以定义引用误差： 引用误差是计量仪器的示值的绝对误差与仪器的特定值之比，通常也用百分数表示。即,(3.1.4),式中, xlim称为特定值,也称为引用值,通常

15、是计量仪器量程中的满刻度值（最大刻度值）或标称范围的上限。 【例3.1.5】检定2.5级、上限为100V的电压表时,发现50V刻度点的最大示值误差为2V,并且比其他各刻度点的误差都大,问该电压表是否合格？ 解：该电压表的最大引用误差为 2.5级的含义是合格仪器仪表最大引用误差的界限为2.5,可见,该电压表合格。,电工仪表的准确度等级分别为： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级,这些等级表明仪表的引用误差不能超过的界限。 一般来说,如果仪表为S级,则仅说明合格仪表的最大引用误差不会超过的S,而不能认为它在各刻度点上的示值误差都具有S的准确度。 设仪表的满刻度值为xn,测量

16、点为x,则该仪表在x点邻近处的示值误差应为： 绝对误差xnS% 相对误差 S%,一般情况下,xxn,因此, x越接近于xn（因为x在分母上）,其测量准确度越高；x越远离xn, 其测量准确度越低；这就是为什么人们利用这类仪表测量时,尽可能在仪表满刻度值2/3以上量程内测量的原因所在。在选择仪表作测量时,要注意到这一情况。在分析此类仪表对测量值的实际影响时,需要按上面两个式子作换算,而不能直接采用对应于仪表的准确度等级的值,也就是说不能把引用误差当作相对误差来使用。 【例3.1.6】某待测的电压约为100V,现有0.5级0300和1.0级0100V两个电压表,问用哪一个电压表测量比较好？ 解：用0

17、.5级0300V测量100V时的最大相对误差为,而用1.0级0100V测量100V时的最大相对误差为 因此,选择1.0级0100V电压表比较好。 这个例子说明,如果量程选择恰当,用1.0级仪表进行测量比用0.5级仪表准确。 因此,在选择仪表时,不能单纯地认为准确度等级越高越好,而应根据被测量的大小,兼顾仪表的级别和测量上限合理地选择仪表。,3.1.3 计量误差的分类 根据误差的性质,计量误差可以分为三类：系统误差,随机误差和粗大误差。下面分别介绍这三类误差。 1系统误差 在分析和研究测量误差时,必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理。实际上,测量过程中往往存在系统误差。在某些情

18、况下,系统误差数值还比较大,因此,测量结果的精度,不仅取决于随机误差,还取决于系统误差的影响。,由于系统误差和随机误差同时存在于测量数据之中,且不易被发现,多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响,这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此,研究系统误差的特征与规律性,用一定的方法减小或消除系统误差,就显得十分重要,否则,对随机误差的严格数学处理将失去意义,或者收效甚微。 1）系统误差的定义 在相同条件下,多次重复计量同一个量时,保持固定不变的误差,或者在条件改变时,按某一确定规律变化的计量误差的分量叫系统误差。系统误差决定计量结果的“正确”程度。 许多系统误差可以通过实验确定（或

19、根据实验方法、手段的特性估计出来）并加以修正。,但有时由于对某些系统误差的认识不足或没有相应的手段予以充分确定,而不能修正,这种系统误差称为未定或剩余系统误差,也称为未消除的系统误差。 前面已经提到,系统误差与计量次数无关,因此,也不能用增加计量次数的方法使其减小或消除。 2）系统误差的分类 系统误差按其呈现的特征可以分为常值系统误差和变值系统误差；而变值系统误差又可分为累积的、周期的和按复杂规律变化的系统误差。 常值系统误差是指在计量过程中绝对值和正负号始终不变的误差。比如：某量块的标称尺寸为10mm,实际尺寸为10.001mm,误差为-0.001mm,若按标称尺寸使用,则始终存在-0.00

20、1mm的系统误差。,累积系统误差是指在计量过程中按一定速率逐渐增大或减小的误差。 例如,由于蓄电池或电池组（在正常工作区间）的电压缓慢而均匀的变化所产生的线性系统误差。再比如刻度值为1mm的标准刻度尺,由于存在刻划误差l,每一刻度间实际距离为 (1+l) mm，用该尺测量一长度为l的物体,读数为n,则l的实际值为 l=n(1+l)=(n+nl) mm (3.1.5) 若认为该物体长度为nmm,就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差-nl mm。,周期性系统误差是指在计量过程中周期性变化的误差。例如,由于刻度盘偏心所引起的误差。指针式仪表中,由于安装问题,使指针动中心偏离仪表刻度盘的中心,就会

21、出现周期性变化的指示误差。如图3.1.1所示,指针的转动中心O沿水平方向偏移刻度盘中心O的距离为l,则指针与水平线的夹角为90,指示超前值为l所表示的刻度值,当为0及180时,指示,误差为0,当为270时,指示滞后值为l所代表的刻度值。对于任意,图上两平行线间的弧线的长度就对应了指针的指示误差。周期因为l很小,可以用两平行线间的直线距离代替弧长,因此可以得到,指针的指示误差l与夹角呈正弦规律变化,即 l=l sin (3.1.6 ) 所以指针的指示值沿刻度标尺产生正弦函数关系的周期性变化系统误差。,按复杂规律变化的系统误差是指在计量过程中按复杂规律变化的误差,一般可用曲线或公式表示。例如,晶体

22、振荡器频率的长期漂移近似服从对数规律,若不考虑这种漂移,就会带来按对数规律变化的系统误差。,3）系统误差的产生 (1)装置误差：计量装置本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化或故障等所引起的误差。 (2)环境误差：由于各种环境因素与要求的标准状态不一致及其在空间上的梯度与随时间的变化引起的测量装置和被测量本身的变化,机构失灵,相互位置改变等引起的误差。这些因素和温度、湿度、气压、电磁屏蔽、震动（大地微震、冲击、碰动等）、照明、加速度、电磁场、野外工作时的风效应、阳光照射、透明度、空气含尘量等都有关。科学实验中,静态分析和动态使用时的差异,是值得特别注意的误差源。,(3)方法或理论误差：计量方法或

23、理论不完善引起的误差。 (4)人员误差：计量人员生理差异和技术不熟练引起的误差。 4）系统误差的消除 根据前面所讲的产生系统误差的种种原因,可以得出一些消除系统误差的基本方法。 (1) 计量前消除可消除的误差源。 这种消除系统误差的方法是最理想的,也就是在目前的技术条件下,找出造成系统误差的原因,并想办法消除造成系统误差的因素对测量的影响,从而使测量不会产生系统误差。,更概括地讲,就是从参与测量的4个环节进行测量的操作人员、所用测量设备、采用的测量方法和进行测量的条件入手,分别对它们进行仔细研究,深入分析,从而找出产生系统误差的原因,并设法消除这些系统误差。 (2)计量过程中采用适当的实验方法

24、,如替代法、反向补偿法、对称法等,将系统误差消除。 替代法：用与被计量对象处于相同条件下的已知量来替代被计量量。这种方法就是用测量仪器对一未知物理量进行测量时,为了消除系统误差,在测量后再用一已知标准量进行同样的测量,并使仪器的指示保持不变,则已知标准量就是待测未知物理量。,具体做法是: 先将被计量量接入测试装置,使系统误差处于某个工作状态,然后用已知量替代被计量量,并使系统的工作状态保持不变。 替代法最直观的例子就是利用精密天平称重。在电子计量中也大量采用替代法,例如，用电桥计量电阻、电感和电容等,以及用直流替代交流的方法高精度地计量高频电压。在替代法的使用中,原有的测量系统在同一工作状态下

25、起到了判断被测量和已知量是否等量值的作用,而被测数据的取得或者来自已知量的自身显示,或者要依靠其他辅助仪表。,替代法的应用之一沃尔德称重法。 设待测重量为x,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q,天平的两臂长度分别为l1和l2。根据力矩平衡原理,当天平达到平衡时有 一般用天平称重时,我们认为l1=l2,所以有 x=Q （3.1.8）,（3.1.7）,对于一般的称重,这样做就可以了。 实际在制造天平时,很难保证天平的两臂长度相等,即l1l2,所以对于精密的称重测量,还像般天平称重那样,认为所加砝码重即为物重,这样就会因天平臂长不等而造成系统误差。 为了消除因天平臂长不等而产生的系统误差,可用已知标准

26、砝码P代替x,若天平仍达到平衡,则,这种消除系统误差的方法,最早就是应用在称重上,故称沃尔德称重法。,替代法的应用之二用电桥测量电阻。 电路如图3.1.2所示。 电桥的两测量端口AB接入被测电阻Rx时,调节可调电阻R1和R2的值,使电桥平衡。电桥平衡时,检流计G指示为零,此时的等效电路如图3.1.3所示。由UB=UC,可得,图 3.1.2 直流电桥法,图3.1.3 等效电路,R1(Rx+R3)=Rx (R1+R2) R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2 R1 R3=RxR2,由式（3.1.11）可以看出,各桥臂电阻的误差R1、R2、R3对测量结果有影响,其误差为,（3.1.11）,（3.1.

27、12）,如果采用替代法,则可以避免这种影响。在接入被测电阻Rx并调节平衡后，保持各可调元件不动,然后换上标准可调电阻Rs,并调节其大小,使电桥又恢复平衡,于是可得到Rx=Rs。此时,测量的精度仅取决于Rs,而与检流计G、R1、R2、R3的误差无关,只要指示器有足够高的灵敏度和各电阻在替代过程中保持稳定不变即可。,反向补偿法：也称为异号法或抵消法。 要求对被测量要进行两次适当的测量,使两次测量结果所产生的系统误差大小相等,方向相反,取两次测量结果的平均值作为最终测量结果,从而达到消除系统误差的目的。 例如,用正反向两次计量来消除热电转换器的直流正反向差。 不少带有惯性（如热惯性）的传感器的定度测

28、量就必须用反向补偿法来处理。,反向补偿法的应用之一消除恒温箱热惯性引入的系统误差。 在对某些控温装置的标定中,为了消除热惯性引入的误差,常常要使标准恒温箱的温度升高或降低,并在两种不同温度变化方向的同一温度下读取温度计的读数,以它们的中间值作为读数刻度的修正,如图3.1.4所示, 以T=(T1+T2)/2作为恒温箱在t1温度下的温度值。 ,图3.1.4 读数刻度修正示意图,反向补偿法的应用之二测电阻时,消除接触电动势带来的系统误差。 在电学测量中,为了测量一未知电阻值,可将待测电阻Rx与一已知阻值的标准电阻R0串联,用电压表测出两电阻上通电后的电压降。根据所得电压比及标准电阻值,由欧姆定律可得

29、待测电阻为 （3.1.13） 在测量回路中,由于导线、接头等材料的差异会产生接触电动势,为了消除它们对测量造成的影响,可以改变电流方向进行两次测量。设第一次正向电流测得的电压降为Ux,1、U0,1,第二次反向电流测得的电压降为Ux,2、U0,2。取两次测量的平均值,两个电阻上的电压降为,则待测电阻为,（3.1.16）,这样就消除了因接触电动势的存在对测量所造成的影响。,对称法：当被计量量的系统误差为某量（如时间）的线性函数时,在距离相等的间隔依次进行数次计量（最少三次）,则其中任何一对对称观测值的累积误差的平均值都等于两次观测的间隔中点相对应的累积误差,利用这一对称性便可将线性累积系统误差消除

30、,如图3.1.5所示,则,（3.1.17）,图3.1.5 对称法,图3.1.6 电位差计,对称法的应用用电位差计测电压。 利用对称法来消除由于电池组的电压下降而在直流电位差计中引起的累积系统误差。实践证明,在一定的时间内,电池组的电压下降所产生的误差是与时间成正比的线性系统误差，因此,可以利用对称法来消除这个误差。原理线路如图3.1.6所示。,首先在Rn上平衡标准电压En。由于电池组的电压下降,使工作电流I减小,因此有 然后在Rx上平衡被计量电压Ex,有,（3.1.18）,（3.1.19）,再次平衡En,有 如果使每次计量的时间间隔相等,则 由式（3.1.19）得,(3.1.20),（3.1.

31、22）,（3.1.21）,将式（3.1.22）分别代入式（3.1.18）和式（3.1.20）,得 式（3.1.23）与式（3.1.24）相加,得 再将式（3.1.21）代入式（3.1.25）,得 由此可得出不含累积系统误差的被测电压Ex的值：,（3.1.25）,（3.1.26）,（3.1.27）, 交换法：也称为对置法, 在待测量与标准量的位置互换前后各进行一次测量,就可以实现消除恒定系统误差的目的。 交换法的应用高斯称量法。 交换法应用最典型的例子是用于消除天平不等臂问题引起的恒定系统误差。 在两臂为l1和l2的天平上称重,先将待测量x放在天平左侧,标准砝码Q放在天平右侧,达到平衡,则有 然

32、后交换x和Q的位置,由于ll2,将Q换为Q后才能与x平衡,这时有,（3.1.28）,（3.1.29）,两式相比得 这样就消除了由于天平不等臂而造成的系统误差。 这种方法最早在天平称重中应用,因此称高斯称量法。根据式（3.1.31）可以得到不带有因天平臂长不等而产生的恒定系统误差的测量结果。 用C表示Q与Q之差,即 Q=Q+C （3.1.32）,代入式（3.1.31）,得 根据近似公式 因C值很小,高次项可忽略,将C/Q看成是a,则,（3.1.33）,（3.1.34）,（3.1.35）,即待测值可近似地用两次测量值的平均值来表示。将式（3.1.28）与式（3.1.29）相乘,得,(3.1.36)

33、,式（3.1.37）就是通过交换法测量,计算天平两臂长度比的计算公式,可作为单次测量对臂长不等进行修正的修正值计算公式。, 抵消法： 也可以将抵消法认为是一种替代法。这种方法是用待测量去抵消一部分已知量,以达到消除系统误差,提高测量精度的目的。 抵消法的应用测量高频小电容。 利用谐振原理,用抵消法测量高频小电容,原理图如图3.1.7所示。 设信号源工作频率为0,若电感与电容构成的振荡器的谐振频率也为0,就会使整个回路产生谐振,电压表的指示为最大。,在具体实现这个测量回路时,因标准可变电感难于制造,因此用标准线圈产生固定电感Lb,用标准可变电容Cb进行调谐。将被测电容与Cb并联,则回路谐振时有

34、由此可得到,（3.1.38）,（3.1.39）,在高频情况下,电感线圈自身会产生分布电容0,相当于和Cb并联的电容。则式 (3.1.39) 应该改写为 即求得的待测电容,实际上是Cx与C0的和。因此若不考虑C0的存在,就会在测量电容Cx时带来系统误差。为了消除C0对测量造成的影响,就可以采用抵消法。在测量之前（先不接Cx）,先用标准可变电容Cb调谐,使回路产生谐振,电压表的指示为最大,这时回路中的谐振电容值为Cb1+C0。然后把待测电容Cx与Cb并联,回路失谐,电压表的指示减小。,（3.1.40）,再用Cb进行调谐,减小Cb值,使回路重新谐振,电压表的指示又达到最大,此时,标准可变电容Cb的读

35、数为Cb2,回路中的谐振电感量为Cb2+C0+Cx。由于两次谐振都是与固定电感Lb耦合产生的,所以回路中的电容量相等,即 Cb1+C0=Cb2+C0+Cx （3.1.41） 从而 Cx=Cb1-Cb2 （3.1.42） 因此,待测电容Cx在频率为0条件下的电容量,可由两次谐振时标准可变电容Cb的读数之差来求得。此时,回路中的寄生电容C0在用抵消法测量时不会产生影响,即消除了因C0存在而产生的系统误差。,半周期法：也称为半周期观察法或半周期偶数观察法,是消除按周期性规律变化的系统误差的方法。具体做法是: 按系统误差变化的半个周期取值,每个周期内能取到两个测得值,取这两个测得值的平均值作为测量结果

36、。对比较规则的周期性变化的系统误差,可以表示为 式中: a为系统误差的幅值,也是系统误差的最大值；T为系统误差的变化周期；t为决定周期性误差的量,比如时间、仪表可动部分的转角等。,（3.1.43）,当t=t0时,系统误差值为 若创造条件经过=T/2,使误差的相位相差半个周期,即t=t0+=t0+T/2时，误差值为,（3.1.44）,（3.1.45）,若取两次测量的平均值作为测量结果,则系统误差也应取平均值,即,（3.1.46）,所以,用平均值作为测量结果,即可消除周期性变化的系统误差对测量结果带来的影响。,半周期法的应用秒表指针偏心问题。 若秒表指针转动中心与度盘刻度中心不重合,如图3.1.8

37、所示,转动中心沿水平方向向右偏移的距离为a,则系统误差 t=asin （3.1.47）,图3.1.8,为了创造误差反号的条件,可把刻度值旋转180标注在原刻度的外测,取指针的实际指示值（如图3.1.8中为0a）,再取反向延长线对旋转刻度（即外测刻度）的指示（如图3.1.8中为0a）。把两个值的算术平均值（0）作为测量结果,则消除了指针旋转中心与刻度中心不重合所造成的周期性系统误差。 (3) 用修正的方法消除系统误差。 通过适当的计算,根据事先针对系统误差产生 根源的实验数据,用计算或软件的方法对计量结果引入可能的修正量,来改善测量精度。在通过实验或其他方法已经知道系统误差的规律特征的情况下,将

38、直接计量结果进行计算或修正处理,从而相对地消除系统误差。,典型的例子是: 当把一个未经温度补偿的晶体振荡器用作频率计的频标时,如果该振荡器的频率随温度变化的误差已知,就可以在测量结果的计算公式中根据温度传感器获得的温度值,对计量结果进行修正来保证测量精度。这个工作过程经软件处理后,在相对简单的硬件结构下能够保证较高的精度。由于计算机技术的发展,这种方法获得了广泛的应用。 这方面的成功例子是：频率计硬件结构的简化和其精度的提高。在通常的多周期同步测量技术设计的频率计中,对被测频率的计算公式是,(3.1.48),其中,f0是所用频标的频率值。在通常的频率计中,用高稳定度晶体振荡器作为频标,它的值是

39、固定的。Nx, N0分别是用计数器在与被测信号同步的闸门时间内测得的对被测信号和标频信号的计数值。 当用普通的晶体振荡器取代高稳定度晶体振荡器作为频率计频标时,会存在明显的系统误差,即频率随温度变化。通过实验获得该振荡器的频率对温度的修正数据后,可以实时地根据温度变化用软件的方法修改公式中f0的数值,来消除这个系统误差,同时保证了高的测量精度。 (4)采用不同人员或其他处理手段重复计量来消除人员误差,或者通过自动测试和智能化处理消除人员误差。,2. 随机误差 随机误差是在测量过程中,因存在许多随机因素对测量结果造成干扰,而使测得值带有大小和方向都难于预测的测量误差,这种随机误差是误差理论研究的

40、主要对象。 对测量数据中的系统误差进行处理后,仍会残留微小的系统误差,这些微小的系统误差已具有随机误差的性质,因而也可把这种残存的系统误差当作随机误差来考虑。,研究随机误差不仅是为了能对测量结果中的随机误差作出科学的评定,而且是为了让它们能够指导我们合理地安排测量方案,设法减小随机误差对测量结果的影响,充分发挥现有仪表的测量精度，从而对测量所得数据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。 1）随机误差的定义 在相同条件下,多次重复计量同一个量时,以不可预定的方式变化的计量误差的分量称为随机误差,也称为偶然误差。随机误差决定了计量结果的“精密”程度。,随机误差是由尚未被认识和控制的规律或因素所

41、导致的。也就是说,随机误差的出现具有随机的性质,因此不能修正,也不能完全消除,只能根据其本身存在的规律,用增加计量次数的方法,加以减小和限制。要想得出正确的评定,必须经过多次重复测量得到测量列,发现它所遵循的统计规律,借助概率论和数理统计学的原理来进行研究。 2）研究随机误差的理论基础 随机误差虽然不具有确定的规律性,但随机误差却遵从统计规律,因此概率论和数理统计学是研究随机误差的理论基础。,3）误差正态分布定律 由于测量结果具有随机性,使得测量误差成为一个随机变量。根据概率论中心极限定理，可以认为大多数随机误差服从正态分布,而且已被大量实践所证明。整个经典误差理论是以正态分布作为基础理论发展

42、起来的。正态分布也是研究其他非正态分布的基础。 数学家高斯于1795年首先提出了误差正态分布定律。正态分布的规律早在1733年已由穆阿夫尔发现,后来拉普拉斯和高斯又进行了详细的研究。高斯又于1809年推导出描述随机误差统计规律的解析方程式,即概率密度函数,也称为高斯分布定律。,设对某量X进行n次等精度独立测量,观测值为xi,i=1，2，n,当n时,测得值将服从正态分布,其概率密度函数为 式中,为测量列的平均值,为标准差。 测量列服从正态分布规律的前提是测量次数n为无穷大,也就是要把随机误差看成是连续型随机变量,而且还要求系统误差已经完全排除,这些条件在实际测量中是不可能实现的,因此,就决定了正

43、态分布规律在应用时有一定的局限性和近似性。,（3.1.49）,对于这种理论和实验难于统一论证的矛盾,著名物理学家李普曼说了这样一句话：“大家都相信误差定律,因为实验家想,这是数学定律；而数学家则认为,这是通过实验确定出来的定律。” 4）随机误差的基本性质 大多数的随机误差的观测结果是服从正态分布的,服从正态分布的随机误差具有下列基本性质: (1)有界性：在一定的条件下,绝对值很大的误差出现的概率为零,随机误差的绝对值不会超过某一界限。 (2)对称性：当计量次数足够多时,绝对值相等的正、负误差出现的概率相同,即 P(+)=P(-) （3.1.50）,(3)抵偿性：当计量次数无限增加时,误差的算术

44、平均值的极限为零,即 （3.1.51） (4)单峰性：在一系列等精度计量中,绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率,也就是说,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。 说明:上述的随机误差的性质是大量实验的统计结果, 其中的单峰性不一定对所有的随机误差都存在。随机误差的主要性质是抵偿性。,5）随机误差的表示方式 随机误差的表示方式有以下几种： (1) 剩余误差（）： 把有限n次测量所得测得值的算术平均值作真值求得的绝对误差,称剩余误差,简称残差。 （3.1.52） 式中：i为第i个测得值的残差；xi为第i次测量得到的测得值,i=1，2，,n； 为n次测得值的算术平均值。因为剩

45、余误差i可以用测得值算出,所以在误差计算中经常使用。,(2) 最大绝对误差（U）： 因为通过测量不能得到真实值,所以严格地讲,也就无法求得绝对误差（真差）。若能找到一个界限值U,并能做出判断： U|x-x0| （3.1.53） 即 U=sup|x| （3.1.54） 则称U为最大绝对误差(其中, sup表示测得值x的绝对误差x的绝对值不超过U)。因为在实用中很少用绝对误差x,所以习惯上都把最大绝对误差U简称为最大误差。,界限值U的确定不能凭空想或任意决定,而要有一定的依据。例如,在用数学常数进行计算时,若取3.14进行计算,则由值引起的绝对误差为 x=3.14-取绝对值后有 |x|=|3.14

46、-|=0.00159 0.0016=U 因此最大绝对误差为U=0.0016。 (3) 标准偏差()：对一固定量进行n次测量,各次测量绝对误差平方的算术平均值,再开方所得的数值,即为标准偏差,也称为标准差。根据其数学运算关系也称均方根差。,标准偏差是每个计量值的函数,对一组计量值中的大、小误差反映都比较灵敏,是表示计量精度的比较好的方式。 标准差所表征的是一个被计量量的n次计量所得结果的分散性,因此称为计量列中单次计量的标准差。其几何意义是正态分布曲线上的拐点的横坐标。通过查正态积分表可知,测得值的误差不超过的概率为68。 式(3.1.55)给出的只是标准偏差的理论计算公式,在实际工作中,如何根

47、据理论上的定义来求得标准偏差,在后面将作较为详细的介绍。,(4) 算术平均误差（）： 也称为平均误差。在对一固定量进行精密测量时,需要经过多次测量才能满足要求,为了表示这种多次测量的测量误差,可以用算术平均误差来表示。 算术平均误差是多次测量全部随机误差绝对值的算术平均值, 可以表示为,（3.1.56）,其中,i=xi-x0。,从理论上可以证明 , 因为n,误差间具有相互抵偿性,所以用误差的绝对值求平均,才能得到表征误差的数值。 标准差与算术平均误差的关系推导如下： 根据概率论的知识,实际上就是|1|, |2|, , |n| 在n时的数学期望。对于连续的随机变量,则有 因为正态分布曲线是左右两

48、边对称的,而且对于右半部分,随机误差的绝对值与随机误差本身的数值相等,即 |= 0 （3.1.58） ,（3.1.57）,因此,上述积分只需对右半部分进行计算,而将结果乘以2,同时以代替|,得,（3.1.59）,所以 =0.7979 （3.1.60） 算术平均误差的几何意义是: 正态分布曲线左半或右半面积重心的横坐标。 通过查正态分布积分表可知,测得值的误差不超出的置信概率为57.62。 算术平均误差这种误差形式的缺点是无法体现各次计量值之间的离散情况。因为不管离散大小,都可能有相同的平均误差。,(5) 或然误差（）： 又称概差,是根据误差出现的概率来定义的。在一组测量中,若不计误差的正负号,

49、则误差大于的测得值与误差小于的测得值将各占一半,便称为或然误差。如果考虑测量误差的正负号,或然误差同样可以把带有正误差的测得值及带有负误差的测得值,按测量误差大小被+和-等分,即,根据定义,可以得出或然误差的求解方法： 将一组n个计量值的残差分别取绝对值按大小依次排列,如果n为奇数,则取中间的计量值,如果n为偶数,则取最靠近中间的两个数的平均值作为或然误差,因此或然误差又称为中值误差。 标准差与或然误差的关系推导如下： 根据或然误差的定义,有,（3.1.63）,由于正态分布具有对称性,因此,（3.1.64）,则,（3.1.65）,查正态分布积分表,可得,（3.1.66）,根据或然误差的定义,或

50、然误差的几何意义是在-+范围内,正态分布曲线与横坐标所组成的面积为总面积的一半。因此,与或然误差相应的置信概率为50。 在自然科学的不少领域的科学研究中,用或然误差来表示随机误差也比较普遍,这主要是因为它的置信概率的数值比较圆整、直观。,（3.1.67）,(6) 极限误差（lim）: 一般在精密测量中,对于服从正态分布的随机误差常用三倍标准误差作为极限误差,记为 lim=3 （3.1.68） 从理论上讲,当测量次数无穷多时,若测得值服从正态分布,则测得值的误差小于极限误差的概率为99.73,即测量误差只有3/1000能超过极限误差。 严格地讲,最大绝对误差U应当与极限误差lim有所区别,因为最

51、大绝对误差的定义符号sup是绝对不会超过的意思,而极限误差lim的3定义说明测量误差还有可能超过lim,只是概率很小。,(7) 极差（R）: 一系列计量所得值中的最大值与最小值之差的绝对值称为极差。记作 R=|xmax-xmin|（3.1.69） 显然,极差只用到了两个数据,大多数的中间信息没有利用,而且没有反映计量次数的影响,体现不了误差的随机性及其概率。 评价一个测量列的精度高低,可以用极限误差lim、标准偏差、算术平均误差和或然误差等参数作为置信限,因此称这些参数为测量列精度参数。对同一测量列若按大小数值（取相同计量单位）进行排列,则有,lim （3.1.70） 相应的置信概率为 99.

52、73%68%57.62%50%（3.1.71） 对于不同测量列,比较其精度时,应取相同置信概率所对应的精度参数（例如取标准偏差）进行比较,数值大的精度低,数值小的精度高。 6） 标准偏差的计算 下面介绍几种根据测量数据计算标准偏差的方法。用用 表示标准偏差的估计值。,(1) 计算 的极差法: （3.1.72） 其中,d为转换因子,它随测量次数不同而异。这种估计方法因为有现成数据表(见表3.1.1) 可查,因此十分简单。,表3.1.1 极差系数表,极差法主要适用于测量次数较少的情况,因为它只利用了一组数据中的两个数据,估计的效率随测量次数的增加而减少。所以,当n10时,为了提高用极差估计标准偏差

53、的精度，应该采用分组处理方法。将观测数据分成几个数据个数相等的组（如将n个数据分成k组,每组有m个数据(n=km)）,求出各组极差Ri,然后用平均极差 来估计标准偏差。 的估计公式为,（3.1.73）,(2) 标准偏差的极大似然估计。 已知的极大似然估计为 根据极大似然法的性质 ,标准偏差的极大似然估计为,（3.1.74）,（3.1.75）,标准偏差的极大似然估计是有偏估计。 (3) 用贝塞尔公式计算。 根据概率论,已知样本方差为 若用样本的标准偏差S作为标准偏差的估计,则有,（3.1.76）,（3.1.77）,这就是著名的且非常具有实用价值的贝塞尔（Bessel）公式,计算标准偏差时常用的公

54、式。 尽管样本方差 是标准偏差平方2的无偏估计,即E( )=2,但是样本的标准偏差S不是标准偏差的无偏估计,因为E(S)。 (4) 标准偏差的无偏估计。 标准偏差的无偏估计是,（3.1.78）,令,则,（3.1.79）,根据贝塞尔公式求得的 ,乘以修正系数k,即可对其有偏性进行修正。 7） 算术平均值的标准差 和标准差的标准差。 (1) 算术平均值的标准差。 在多次测量的测量列中,是以算术平均值作为测量结果的,因此必须进一步研究算术平均值精度的评定标准。,如果在相同条件下对同一量值作多组重复的等精度测量,则每组测量列都有一个算术平均值。由于随机误差的存在,各个测量列的算术平均值也不相同,它们围

55、绕着被测量的真值有一定的分散性。这种分散性说明了算术平均值的不可靠性,而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数,可以作为算术平均值精度的评定标准。 已知算术平均值 为 ,（3.1.80）,测量列的各个测得值是服从相同正态分布的随机变量,因此随机变量 的分布就是n个正态分布的合成。根据概率论原理可知,正态分布和的分布仍为正态分布,且其方差为各正态分布的方差和。 对式（3.1.80）取方差,有 且 D(x1)=D(x2)=D(xn)=2 因此,（3.1.81）,即 根据以上分析,可以得出两点结论： 在n次测量的等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的

56、 倍。测量次数越大,算术平均值越接近被测量的真值,测量精度也越高。 n次重复测量的算术平均值 服从以真值为中心, 以2/n为方差的正态分布,因此算术平均值 的分布范围是单次测量测得值xi的分布范围的 ,即其测量精度提高了 倍（如图3.1.9所示）。,（3.1.83）,计量平均值的标准差 与计量次数n之间的关系曲线如图3.1.10所示。由图可见,平均值标准差。 随计量次数n的增加而减小,并且开始较快,逐渐变慢,当n等于5时,曲线变化已比较缓慢,当n大于10的时候,变化得更慢。所以一般计量中,计量次数n等于10或12就足够了。同时也说明, 要提高测量结果 的精密度,不能单靠无限地增加计量次数,而应

57、在增加计量次数的同时,减小标准偏差,也就是说要改善计量方法,采用精度较高的仪器。,图 3.1.9 和x的分布曲线,图 3.1.10 与n的关系曲线,(2) 标准差的标准差。 当测量次数n有限,并用贝赛尔公式对标准偏差进行估计时,其估计量 本身也是一个随机变量。因此,对于估计量 同样也存在一个估计的精度。我们同样可以用估计量 的标准偏差来表征估计量 的精密度, 即 或者,（3.1.84）,（3.1.85）,当n=8时,当n=100时,由上述计算可以得出两个结论： 当n较大时,所求出的标准差比n较小时求出的更可靠。这是因为n大,小,说明估计值 密集在标准偏差周围的比较多。 总的来说,估计值 并不精

58、密,因此,用贝赛尔公式求出的标准偏差的有效数字最多取两位,如果其首位为8或9,有效数字取1位即可。,3粗大误差 超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。出现这类误差的原因主要是工作人员的失误、计量仪器设备的故障以及影响量超出规定的范围等。对于粗大误差必须随时或在进行数据处理时予以判别并将相应的数据剔除。 粗大误差在3.2节的数据处理部分将作详细的介绍。 3.1.4 间接测量的误差 在很多情况下,由于被测对象的特点,进行直接测量会有困难,或者难以保证被测量的精度,因此需要采用间接测量法。例如在测量导线电阻率时,通常是先测量导线的电阻R、导线的长度l和导线的直径d,然后按电阻率的计算公式,将电阻率

59、计算出来。其中电阻R、导线的长度l和导线的直径d为直接测量量,电阻率为间接测量量。由此可见,间接测量就是根据一些直接测量的结果按一定的关系式去求得被测量的量,因此间接测量量是直接测量量的函数。通常用 来表示间接测量量y与n个直接测量量x1，x2, xn 的关系。,（3.1.86）,（3.1.87）,1间接测量的绝对误差 令xi为xi的误差,y为y的误差,则 y+y=f(x1+x1, x2+x2, , xn+xn) （3.1.88）将上式右侧按泰勒（Taylor）级数展开得,（3.1.89）,略去高次项,就能够得到间接测量的绝对误差: 或者对式（3.1.87）取全微分：,（3.1. 90）,（3.1. 91）,若已知各个