高中数学 2.4 等比数列阅读材料2020等比数列素材 新人教版必修5（通用）

1、等比数列百科名片如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0). 注：q=1时，an为常数列.简介与公式如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometric sequence).这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q0). 注：q=1时，an为常数列.（1）等比数列的通项公式是：an=a1qn1等比数列通项公式若通项公式变形为an=qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,a

2、n)是曲线y=qn上的一群孤立的点.（2）求和公式：Sn=na1(q=1).Sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)qn . 任意两项am，an的关系为an=amqn-m；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1. （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,，n.（4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq的等比中项. 记n=a1a2an，则有2n-1=an2n-1，2n+1=.另外，一个各项

3、均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任意一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.等比中项公式：或者an-1an+1=an2.（5）无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和.(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： an是公比为q的等比数列.若A=a1+a2+an，B=an+1+a2n，C=a2n+1+

4、a3n，则A，B，C构成新的等比数列，公比Q=qn.若A=a1+a4+a7+a3n-2，B=a2+a5+a8+a3n-1，C=a3+a6+a9+a3n，则A，B，C构成新的等比数列，公比Q=q.性质（1）若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则aman=apaq.（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.（3）“G是a，b的等比中项”“G2=ab（G0）”. （4）若an是等比数列，公比为q1，bn也是等比数列，公比是q2，则 a2n，a3n是等比数列，公比为q12，q13can，c是常数，anbn，是等比数列，公比分别为q1，q1q2，.（5）等比数列中，连续的、等长的、间隔相等的

5、片段和为等比数列.（6）若an为等比数列且各项为正，公比为q，则log以a为底an的对数成等差数列，公差为以a为底q的对数.（7）等比数列前n项之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)=a1(qn-1)/(q-1)=a1qn/(q-1)-a1/(q-1).注意：上述公式中qn表示q的n次方.（8）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成anq/a1= qn，与它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.求通项公式的方法（1）待定系数法：已知an+1=2an+3，a1=1，求an.构造等比数列an+1+x=2（an+x）.an+1=2an+x，an+1=2an+3，x=3.所以=2.an+3为首项为4，公比为2的等比数列，所以，an+3=（a1+3）qn-1=42n-1,an=2n+1-3.(2) 定义法：已知Sn=a2n+b,求an的通项公式.Sn=a2n+b，Sn-1=a2n-1+b，an=Sn-Sn-1=a2n-1（n2）. 应用等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行