2.1.1椭圆的定义与标准方程

1、2.2.1椭圆及其标准方程,英山县长冲高级中学 余赏,2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。标志着我国航天事业又上了一个新台阶。,生活中的椭圆,通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？,合作探究，形成概念：,1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖

2、，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？,2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？,请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题。,探究点1 椭圆的定义,根据刚才的实验请同学们回答 下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？,3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？,思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？请

3、同学们根据作图过程，总结椭圆的定义。 几何画板演示,椭圆的定义:,（大于|F1F2|）,结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（ ） 若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ ） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ ）,思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？,椭圆,线段F1F2,不存在,探究点2 椭圆的方程的推导,独立思考轨迹方程的一般步骤，并按其方法及提示独立逐步求椭圆的一般方程。,建,设,现（限）,以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。,设 M（x，y）是椭圆上任一点，,设椭圆的焦距为

4、2c，点M与两焦点的距离之和为常数 2a。,故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0),由椭圆的定义得,代,化,则方程可化为,观察左图， 和同桌讨论你们能从中找出表示c 、 a 的线段吗？,a2-c2 有什么几何意义？,由两点间的距离公式，可知：,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，,又由椭圆 的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a,（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）,焦点在x轴上的标准方程：,焦点在y轴上的标准方程：,（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大. （2）焦点在y轴

5、的椭圆，y2 项分母较大.,练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？,例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设 它的标准方程为,由椭圆的定义知,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,所以,能用其他方法求它的方程吗？,另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它 的标准方程为:,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,课堂小结：,1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离之和等于常数,的点的轨迹叫做椭圆。,（大于 ）,2、椭圆的图形与标准方程,这两个定点F1,F2叫做椭圆的

6、焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。,标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!,标 准 方 程,相 同 点,焦点位置的判断,不 同 点,图 形,焦 点 坐 标,a、b、c 的关系,焦点在x轴上,焦点在y轴上,填空： (1)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为： ，焦距 等于_; 若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,|PF1|+|PF2|=2a,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,F1,F2,动手试试,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=