北京大学量子力学课件-第30讲

1、,第 三 十 讲 . 周期性微扰下的跃迁率 设：微扰随时间作周期性变化 与t无关 在一级近似下，跃迁率为,. 辐射场下原子的跃迁率 当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中,在原子区域中，无外电场 因 。于是有（电磁场弱，忽略 项） 由于满足,令,在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则 可以证明 即受激辐射和退激发跃迁几率相等。,同样可以证明在 弱辐射场 长波近似 辐射是非极化的（极化各向同性， 等几率）条件下： 单位时间跃迁几率，即跃迁率,其中 为能量密度分布，即光强度分布。 为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。,. 磁共振 均匀磁场 （在Z 方向 ），将

2、使电子 的简并态（自旋 ）发生分裂，其能量差 其中 当电子吸收一光子 ，则将电子激发到 较高能级，即自旋向上的态。,(1) 跃迁几率和跃迁率 设：有一垂直于静场 的磁场。于是，总 磁场为 若振荡场比静场小,电子的总哈密顿量在 表象，即在 表 象，中,设 时刻，电子自旋态的本征值为 。在一级近似下，从本征值为 的自 旋态跃迁到本征值为 的自旋态的几率,若 为单位频率中的态密度，则总的 跃迁几 率为,( 若 t 足够大或 在共振区变化很缓慢 ),所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为,(2) 两能级间的震荡 电子的总哈密顿量在 表象，即在 表 象中为 设 时刻，电子状态或称自旋态的表示为,若 ，电

3、子处于 本征值为 的本征态，其表示即为 则有解,时刻，处于 本征值为 的本征 态，其表示即为 的几率为 仍处于 本征值为 的本征态，其表示 即为 的几率为,我们直接看到，电子所处的态随时间在这 两个态之间以一定的几率震荡。,(3) 一级近似公式的精确性 我们能直接看到，在 时，精确解 和一级近似解才符合。,8.4 散射 （1） 一般描述： 在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以 期与实验的能量测量值比较。而在散射问题中， 能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有 极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布（即散 射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别 是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关 心远处

4、的波函数。,A散射截面定义： 用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射 作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质， 可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基 本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力 学中的逆问题。 一束不宽的（与散射区域比），具有一定能 量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺 度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射 中心时，可用一平面波描述。,相对通量， ，定义为：单位时间通过与 靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入 射粒子数（对于单粒子，显然即为几率流密度）,这时，单位时间，经散射而到达 方 向 中的粒子数为 即 比例常数一般是 的函数；如入射方向 为轴 （且

5、束和靶都不极化），仅为 的函数， 它的量纲为 ，即面积量纲,散射微分截面定义：在单位时间内，单个散 射中心将入射粒子散射到 方向上的单位立 体角中的粒子数与入射粒子的相对通量 （几 率流密度）之比。,而散射总截面 对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐 标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样 理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单）， 而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要 将这两个坐标系进行换算。,B散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒 子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况 考虑一个质量为 的粒子被一位势 散射（当 ， 趋向0比快）。感 兴趣的是满足这一条件的物理

6、问题。至于库仑散 射这里不讨论。 实验室系：,质心系： 所以，如是两粒子散射，则约化质量为 ，而,薛定谔方程 其定态解为 当粒子以一定动量 入射，经位势散射后， 在 很大处，解的渐近形式（弹性散射）为,这时， 被称为定态散射波函数。 事实上，将其代入 的本征方程，在 很大时，保留 次幂,保留到 所以，当 很大时,我们称 为散射振幅, 为散射波. 当入射粒子沿 方向入射，则散射与 无 关（束、靶都是非极化），即 下面我们给出 的物理意义：对于渐近 解的通量（对单粒子，即为几率流密度）,应注意，我们是在很远地方测量（ ）， 而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小 的立体角中进行。因此，上式的一些

7、项的贡献 可表为,当 很大时， 振荡很快，而 是一光滑函数，这一积分 比 快。 所以包含这一因子的项 比 快。,例：,于是，在远处，对于渐近解的几率流密度矢,而当无位势时， ，无散射仅有沿 方 向的平面波。 大处，在渐近区域 对径向通 量无贡献，所以， 对散射没贡献。 在远处，单位时间散射到 方向上立体 角 中的几率为 （ 为所张立体角对应的面积）,于是 所以，散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。 而散射总截面为,现在问题是要从 出发，求 具有很远处的渐近形式为 的解，从而获得,（2）玻恩近似；Rutherford散射 现在讨论如何近似求 解，以至 . 假设 产生一个散射（对自由粒子）. 根

8、据Fermis Golden Rule，从开始为动量本征态 跃迁到末态动量本征态 跃迁率为 由于平面波是取为 （ ）,因此 , 即密度为 （ 在 空间） 于是,对于跃迁到 中的跃迁率为 而入射粒子通量为 （ 入射波函数为 ）,所以，散射微分截面 称为散射振幅的一级玻恩近似。,当位势为有心势 令 （转移波矢） 则,（计算时，取 方向为 轴） 现为有心势 于是有,或 这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。 为 方向,由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子 哈密顿量的一个微扰，所以要求粒子动能比位 能大，即要求高能。 例：注意到，不能利用上述 Born 近似公式 处理库仑势， 但能用于 Screened Coulomb potential,这近似描述电子入射到多电子的原子中，这 些电子的电荷分布屏蔽了原子核对入射电子的作 用。,所以，散射微分截面 高能时， 则,由 这时意味着 ，即 很大，也就 是相当于大多数的散射是在原子核附近发生。 这时位势最强，几乎无屏蔽。,只要上述公式 z 中改成 ，就是 Rutherfor