二阶系统的阶跃响应

1、1,第三节 二阶系统的阶跃响应,3.3 二阶系统的阶跃响应,2,一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。,开环传递函数为:,闭环传递函数为:,称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。,典型结构的二阶系统如图所示。,3.3 二阶系统的阶跃响应,3,特征根为：,注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。,特征方程为：, 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(

2、无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。, 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。, 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。, 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,3.3 二阶系统的阶跃响应,4,当输入为单位阶跃函数时， ，有：,当 时，极点为：,此时输出将以频率 做等幅振荡，所以, 称为无阻尼振荡频率。,二、典型二阶系统的阶跃响应,3.3 二阶系统的阶跃响应,5,输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：,误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不

3、能跟踪输入的单位阶跃信号。,3.3 二阶系统的阶跃响应,6,3.3 二阶系统的阶跃响应,7,3.3 二阶系统的阶跃响应,8,3.3 二阶系统的阶跃响应,两阶系统的瞬态响应,系统极点为：,极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。注意： 。,9,输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：,误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 ，有 ，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差。,3.3 二阶系统的阶跃响应,10,3.3 二阶系统的阶跃响应,阶跃响应函数为：,当 时，极点为：,两阶系统的瞬态响应,11,输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：,随着时间的

4、增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。,3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应,3.3 二阶系统的阶跃响应,12,3.3 二阶系统的阶跃响应,两阶系统的瞬态响应,当 时，极点为：,即特征方程为,特征方程还可为,13,3.3 二阶系统的阶跃响应,因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为,式中,两阶系统的瞬态响应,14,3.3 二阶系统的阶跃响应,两阶系统的瞬态响应,15,由于-p1和-p2均为负实数，所以过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个衰减的指数项组成。因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是非

5、振荡的单调上升曲线。,3.3 二阶系统的阶跃响应,16,当阻尼系数 z远大于1，即 p1-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定，或者说主要由极点p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。,3.3 二阶系统的阶跃响应,17,3.3 二阶系统的阶跃响应,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,典型两阶系统的瞬态响应,18,3.3 二阶系统的阶跃响应,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(

6、t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,典型两阶系统的瞬态响应,19,3.3 二阶系统的阶跃响应,三、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系,（一）衰减振荡瞬态过程 ：, 上升时间 ：根据定义，当 时， 。,解得：,衰减振荡瞬态过程的性能指标,20,3.3 二阶系统的阶跃响应,称为阻尼角，这是由于 。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,21,3.3 二阶系统的阶跃响应, 峰值时间 ：当 时，,整理得：,由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：,其中,衰减振荡瞬态过程的性能指标,22,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,23, 最大超调

7、量 ：,故：,将峰值时间 代入,最大超调量仅与阻尼系数有关。,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,24,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,25,3.3 二阶系统的阶跃响应,26,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标, 调节时间 ：,可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为,根据调节时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。,27,3.3 二阶系统的阶跃响应,当t=ts时，有：,由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应

8、曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,当z 较小时，近似取 ，且,所以,衰减振荡瞬态过程的性能指标,28,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,29,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,30,3.3 二阶系统的阶跃响应,衰减振荡瞬态过程的性能指标,31,3.3 二阶系统的阶跃响应, 振荡次数N：,由此可见振荡次数N仅与阻尼系数z 有关。,衰减振荡瞬态过程的性能指标,32,通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。,3.3 二阶系统的阶跃响应,33,工程上常取阻尼

9、系数 作为系统设计的依据，该阻尼系数称为最佳阻尼系数。在这种情况下，典型二阶系统的超调量为：,上升时间tr为：,峰值时间tp为：,调整时间ts为：,3.3 二阶系统的阶跃响应,34,当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。,3.3 二阶系统的阶跃响应,35,阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在z 1的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但ts长。当z 0时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。,

10、3.3 二阶系统的阶跃响应,阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在z 1的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但ts长。当z 0时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,36,这是一个单调上升的过程。用调整时间ts就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式求出ts。,（二）非振荡瞬态过程： 对于 ，极点为：,牛顿迭代公式：对 f (x)=0，其根可迭代求出,3.3 二阶系统的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,37,当 时，极点为：,若令,3.3 二阶系统的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,38,在c(t)中，有两个衰减指数项

11、，所以是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。,当 时,利用牛顿迭代公式可得,式中,此时调节时间由较大的时间常数决定。,3.3 二阶系统的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,39,3.3 二阶系统的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,40,此时，极点s2远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的指数项的系数绝对值大，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快。,这时出现的问题是c(0)0。,当 时，极点为： ，,同时，c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项在解中所占比重小。,因此可以考虑在瞬态过程中忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。,3.3 二阶系统

12、的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,41,需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。,通常，都希望控制系统有较快的时间响应，即希望系统的阻尼系数在0.7左右。而不希望处于过阻尼情况(调节时间过长)。但对于一些特殊的不希望出现超调系统(如液位控制)和大惯性系统(如加热装置，舰船靠岸)，则可采用z 1的过阻尼系统。,这时，闭环传函应写成时间常数形式，通过略去小时间常数来降阶，而不能简单地略去大极点来降阶。,这样才能既保证降阶的系统的初值和终值都与原系统一样。,3.3 二阶系统的瞬态响应,非振荡瞬态过程的性能指标,42,典型二阶系统响应特性的小结,极点位置与阶跃响应形式的关系,

13、3.3 二阶系统的瞬态响应,典型二阶系统响应特性的小结,43,3.3 二阶系统的瞬态响应,典型二阶系统响应特性的小结,极点位置与阶跃响应形式的关系,典型二阶系统响应特性的小结,44, 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系,极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系,3.3 二阶系统的瞬态响应,45, wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。,3.3 二阶系统的瞬态响应,46, 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0z0.8),对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。,ts=4,ts=2,ts=1,式中,3.3 二阶系统的瞬态响应,47,例：求如下随动系统的特征参数 ,分析与性能指标的

14、关系。,电动机传递函数为,电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图,3.3 二阶系统的瞬态响应,瞬态过程的性能指标例子,48,闭环传递函数为：,T不变，K,下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设 ):,K不变，T,3.3 二阶系统的瞬态响应,瞬态过程的性能指标例子,49,磁盘驱动读取系统,例:,1.假定簧片是完全刚性的,则有:,3.3 二阶系统的瞬态响应,50,3.3 二阶系统的瞬态响应,51,四、改善二阶系统响应特性的措施,3.3 二阶系统的瞬态响应,改善二阶系统响应特性的措施,52,3.3 二阶系统的瞬态响应,二阶系统超调产生过程 0,t1误差信号为正，产生正向修正作

15、用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。 t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。 t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。,改善二阶系统响应特性的措施,53,二阶系统超调产生原因 0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。 t1,t2 反向修正作用不足。 减小二阶系统超调的思路 0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。 t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 t2,t3减小反向修正作用。附加与

16、原误差信号相反的信号。 t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。 减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。,3.3 二阶系统的瞬态响应,改善二阶系统响应特性的措施,54,a. 输出量的速度反馈控制,b. 误差的比例+微分控制,将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。,以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PD控制。又称微分顺馈,为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进

17、行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和微分顺馈是较常用的校正方法。,3.3 二阶系统的瞬态响应,改善二阶系统响应特性的措施,55,a. 输出量的速度反馈控制,与典型二阶系统的标准形式 比较, 不改变无阻尼振荡频率, 等效阻尼系数为,由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。,3.3 二阶系统的瞬态响应,改善二阶系统响应特性的措施,56,b. 误差的比例+微分控制,与典型二阶系统的标准形式,比较 不改变无阻尼振荡频率, 等效阻尼系数为,由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。, 闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。,3.3 二阶系统的瞬态响应,改善二

18、阶系统响应特性的措施,57,五、具有零点的二阶系统分析,具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和 不变)。 其闭环传递函数为： ，零点为：,具有零点的二阶系统 的单位 阶跃响应为：,3.3 二阶系统的瞬态响应,具有零点的二阶系统,58,由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。,3.3 二阶系统的瞬态响应,具有零点的二阶系统分析,59,设 为零点和极点实部之比,3.3 二阶系统的瞬态响应,具有零点的二阶系统分析,60,具有零点的二阶系统阶跃响应为：,式中： ，,3.3 二阶系统的瞬态响应,具有零点的二阶系统分析,61,根据上式可以得出主要性能指标如下：,式中： ， ，,3.

19、3 二阶系统的瞬态响应,具有零点的二阶系统分析,62,比例+微分控制的性能,显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为 ，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。这点可从前面所介绍的公式算出，也可由p75图3-21看出。,3.3 二阶系统的瞬态响应,比例+微分控制的性能,63,具有零点的二阶系统分析,3.3 二阶系统的瞬态响应,64,比例微分控制与测速反馈控制的比较,附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼

20、作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。 使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。,3.3 二阶系统的瞬态响应,65,比例微分控制与测速反馈控制的比较,对开环增益和自然频率

21、的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。 对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,3.3 二阶系统的瞬态响应,66,解：,例3-1：如图所示系统， 试求： 和 ; 和 若要求 时，当T不变时K=?,3.3 二阶系统的瞬态响应,瞬态过程的性能指标例3-1,67,解：系统的闭环传递函数为：,例3-2：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使 ，求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。,3.3 二阶系统的瞬态响应,瞬态过程的性能指标例3-2,68,这时的瞬态性能指标为：,显然，加入了速度反馈后， 不变，而 增加了 倍。上例中 ，若要求 ，则：,3.3 二阶系统的瞬态响应,瞬态过程的性能指标例3-2,69,解：