第三讲 向量与矩阵的运算.ppt

1、向量与矩阵运算,数学实验,向量,向量是行数或列数为1的特殊矩阵，其一般显示为1n或n1的数列。用户在构造新矩阵，以及对矩阵进行访问、修改等操作时，常用到向量数列。 MATLAB提供了生成等差向量数列的符号-冒号，例如:(p:q)生成从p到q，差为1的递增向量数列。例如:创建101的等差递减数列，在命令窗口输入代码及执行结果如下。 v=(10:-1:1) v = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1,向量,数列中的元素不但可以是整数，也可以取负数和小数，在命令窗口输入代码，观察结果： b=(-4.4:4.4) Matlab默认数列差值为整数1，在默认差值情况下，数列为递增数列；大家可以自行设

2、置p q的情况，但此时需要将差值设置为负数，否则系统会显示：生成的是空矩阵。 如果p和q的距离是非整数，Matlab仍然默认差为1，直到递增量加1超过数列尾数时停止。但是大家设置差值时，递增量可以任意取值。,标量是行列数都是1的特殊矩阵，任意以矩阵形式表示的单个实数或复数，称之为标量。如下实数x就是一个标量。实数5的维数为2，即行和列；且各维数值都为1。,标量, x=5 x = 5 ndims(x) % 查看x的维数 ans = 2 size(x) %查看行、列维的数值 ans = 1 1,MATLAB中为了表示和操作的方便，引入了“空矩阵”的概念，其含义是至少一维的数值为0的矩阵。空矩阵可以

3、是、和（n为正整数）。空矩阵不是全0矩阵，大家可以通过如下指令建立一个空矩阵a，再利用whos指令查看其名称、大小和数据类型。 a a = whos Name Size Bytes Class a 0 x0 0 double array,空矩阵,MATLAB的基本数据结构为矩阵，其所有运算都是基于矩阵进行的。从形式上看，矩阵可以理解成二维的数组，矩阵可以方便地存储和访问MATLAB中众多数据类型，构成矩阵的元素可以是MATLAB中的任何数据类型。接下来主要讲解矩阵和数组的基本结构，即操作内容，包括矩阵的生成、矩阵的拼接、矩阵变形、矩阵元素的寻访、获取矩阵的信息，各种特殊矩阵类型的知识.,向量与

4、矩阵运算,矩阵是所有MATLAB运算的基础，大家如果要实现科学运算、程序设计、特性绘制等目标，必须要确定矩阵的类型，并建立矩阵。MATLAB中创建一个矩阵可以有两种常用的方法： 一、直接输入矩阵元素。 二、调用矩阵创建函数。,向量与矩阵运算,对于简单的矩阵，特别是元素数目不多的矩阵，逐个输入矩阵元素是最常用、最便捷的矩阵创建方法，其遵循以下3条原则： 运用矩阵构造符 包含所创建矩阵的所有元素； 使用逗号“ ，”或者空格“ ”分隔矩阵的列； 使用分号“ ；”或者回车键分隔矩阵的行。,输入元素创建简单矩阵,向量与矩阵的生成,向量与矩阵运算,向量的生成,直接输入: a=1,2,3,4,冒号运算符,例

5、：,向量与矩阵的生成（续）,向量与矩阵运算,矩阵的生成,直接输入: A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9,由向量生成,由函数生成,通过编写m文件生成,例： x=1,2,3;y=2,3,4;, A=x,y, B=x;y,例： C=magic(3),常见矩阵生成函数,【练习1】分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。 (1) 建立一个33零矩阵。 (2) 建立一个32零矩阵。 (3) 设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零

6、矩阵,【练习2】 试建立以下随机矩阵： (1) 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。,命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5),矩阵操作,提取矩阵的部分元素： 冒号运算符,A(:) A的所有元素,A(:,:) 二维矩阵A的所有元素,A(:,k) A的第 k 列， A(k,:) A的第 k 行,A(k:m) A的第 k 到第 m 个元素,A(:,k:m) A的第 k 到第 m 列组成的子矩阵,A(:) 与 A(:,:) 的区别 ?,如何获得由 A 的第一、三行和第一、二

7、列组成的子矩阵？,A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素； A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。 此外，还可利用一般向量和end运算符等来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。,【练习】提取矩阵 A 的1,3,5列。 A=1,2,3,4,5,6;7,8,9,10,11,12; 13,14,15,16,17,18; A1=A

8、(:,1,3,5) % 方法一 A(:,2,4)= % 方法二：利用空阵 A = 1 3 5 7 9 11 13 15 17,矩阵操作,矩阵的旋转,fliplr(A) 垂直方向为轴翻转矩阵,flipud(A) 水平方向为轴翻转矩阵,rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k90 度,例： A=1 2 3;4 5 6, B=fliplr(A), C=flipud(A), D=rot90(A), E=rot90(A,-1),试以阶为3的魔术矩阵熟悉上述操作,矩阵操作,矩阵的转置与共轭转置,例： A=1 2;2i 3i, B=A, C=A.,点与单引号之间不能有空

9、格！,矩阵操作,改变矩阵的形状：reshape,reshape(A,m,n): 将矩阵元素按 列方向 进行重组,重组后得到的新矩阵的元素个数 必须与原矩阵元素个数相等！,矩阵操作,查看矩阵的大小：size,size(A) 列出矩阵 A 的行数和列数,size(A,1) 返回矩阵 A 的行数,size(A,2) 返回矩阵 A 的列数,例： A=1 2 3; 4 5 6, size(A), size(A,1), size(A,2),length(x) 返回向量 X 的长度,length(A) 等价于 max(size(A),矩阵基本运算,矩阵的加减：对应分量进行运算,要求参与加减运算的矩阵具有 相

10、同的维数,例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4, C=A+B; D=A-B;,矩阵的普通乘法,要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则,矩阵基本运算,矩阵的除法：/、 右除和左除,若 A 可逆方阵，则,AB A 的逆左乘 B inv(A)*B,B/A A 的逆右乘 B B*inv(A),X=AB A*X=B X=B/A X*A=B,通常，矩阵除法可以理解为,当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除,矩阵的数组运算,数组运算：对应元素进行运算,点与算术运算符之间不能有空格！,数组运算包括：点乘、点除、点幂,相应的数组运算符

11、为：“.* ” ，“./ ”， “. ”和“ . ”,参与运算的对象必须具有相同的形状！,数与数组的点幂,x.y =14,25,36=1,32,729,x.2 =12,22,32=1,4,9,2 .x = ?,. 前面留个空格,例：x=1 2 3; y=4 5 6;,2 .x;y= ?,Matlab中的所有 标点符号必须在 英文状态下输入,Matlab中常见数学函数,log 是自然对数，即以 e 为底数 mod(x,y) 结果与 y 同号，rem(x,y) 则与 x 同号 max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上,拼接矩阵,矩阵的拼接是指两个或者两个以上的单个矩阵，按一定的方向进行连接

12、，生成新的矩阵。从本质上说，矩阵的拼接就是一种创建矩阵的特殊方法，区别在于基础元素是原始矩阵，目标是新的合并矩阵。本节主要介绍矩阵拼接的两种方法，一是利用矩阵生成符 ，另一种是调用矩阵拼接函数。,拼接矩阵,通常，矩阵的拼接有按照水平方向拼接和按照垂直方向拼接两种。例如，对矩阵A和B进行拼接，拼接表达式分别如下所示。 水平方向拼接：C=A B或C=A,B。 垂直方向拼接：C=A;B。 【例】 把3阶的魔术矩阵和3阶的单位矩阵在水平方向上拼接成为一个的新矩阵，垂直方向上拼接成为一个的新矩阵。 本例目的：熟悉矩阵的拼接方法和不同方向上拼接的区别。,改变矩阵尺寸,矩阵的尺寸又称矩阵的大小。在MATLAB中，用户可以方便地对矩阵的尺寸进行扩大和缩小，扩大矩阵的主要方式是拼接和添加元素，缩小矩阵的方式是删除