静定梁的内力方程及内力图

1、,4.4.3 梁的内力方程及内力图,剪力图和弯矩图,若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数，即 Q=Q(x) M=M(x) 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。,剪力方程和弯矩方程,为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。 在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x

2、轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。,剪力图和弯矩图,(1) 求支座反力 以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。 (2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。 (3) 列出各段的剪力方程和弯矩方程 各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。,绘制剪力图和弯矩图的步骤,(4) 画剪力图和弯矩图 先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个全梁的

3、剪力图(或弯矩图)。 剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。,【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为 Q(x)=P(0xl) M(x)=-Px(0 xl) (2) 画剪力图和弯矩图 剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。,从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只需确定始末两个控制

4、截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b) x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示。 从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力，其值为Qmax=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为Mmax=Pl。最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。,【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1) 求支座反力 由于载荷对称，支座反力也对称，有 RA=RB=ql/2 (2) 列剪力方程和弯矩方程 坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为 Q(x)=RA-qx=ql

5、/2-qx(0 xl) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0 xl),(3) 画剪力图和弯矩图 由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a) x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b)所示。 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b),x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为Qmax=ql/2，最大弯矩发生在剪力为

6、零的跨截面，其值为Mmax=ql2/8。,【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点,(4) 画弯矩图 从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)

7、 x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由式(d) x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0,从所作的内力图知，若ab，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比AC段的要大，其值Qmax=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值Mmax=Pab/l。 如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则 Qmax=P/2 Mmax=Pl/4,【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得 mB(F)= 0，RAl-m=0

8、 RA=m/l mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐标原点,AC段： Q(x)=RA=m/l (0xa) M(x)=RAx=m/lx(0 xa) CB段： Q(x)=RA=m/l (axl) M(x)=RAx-m=m/lx-m(axl) (3) 画剪力图 从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示。,【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。 【解】(1) 求

9、支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得 mB(F)= 0，q6aa-RA4a=0 RA=1.5qa mA(F)= 0，RB4a-q6a3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC段。,AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为 Q(x1)=RAqx1=1.5qa-qx1(0x14a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0 x14a) BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为 Q(x2)=qx2(0 x22a) M(

10、x2)=-qx22/2 (0 x22a) (3) 画剪力图 从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线，由式(a),x1=4a，QB左=-2.5qa 从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线，由式(c) x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa 画出剪力图如图9.18(b)所示。 (4) 画弯矩图 从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二次函数，弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值，才能画出弯矩图。由式(b),x1=0，MA=0 x1=4a，MB=-2qa2 为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=0，有 1.5qa-qx1=0 得x1=1.5a 即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将x1=1.5a代入式(b) Mx1=1.5a=1.5qa1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125