费马点与中考试题

1、识别“费马点” 思路快突破解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取例1 （2010湖南永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（a），在已知abc所在平面上存在一点p，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点p为abc的费马点，此时papbpc的值为abc的费马距离. 如图（b），若四边形abcd的四个顶点在同一圆上，则有abcdbcdaacbd.此为托勒密定理.（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问

2、题：如图（c），已知点p为等边abc外接圆的上任意一点.求证：pbpcpa.根据（2）的结论，我们有如下探寻abc（其中a、b、c均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（d），在abc的外部以bc为边长作等边bcd及其外接圆；第二步：在上任取一点p，连结pa、pb、pc、pd.易知papbpcpa（pbpc）pa ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（d）中找出abc的费马点p，并请指出线段 的长度即为abc的费马距离. （3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知

3、三村庄a、b、c构成了如图（e）所示的abc（其中a、b、c均小于120），现选取一点p打水井，使从水井p到三村庄a、b、c所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.思路探求：（2）知识迁移 问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. 问，借用问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（2）中的结论，再计算ad即为最小距离.简解：（2）证明：由托勒密定理可知pbacpcabpabc abc是等边三角形 abacbc pbpcpa pd ad（3）解：如图，以bc为边长在abc的

4、外部作等边bcd，连接ad，则知线段ad的长即为abc的费马距离. bcd为等边三角形，bc4， cbd60，bdbc4. abc30， abd=90. 在rtabd中，ab3，bd4 ad5（km） 从水井p到三村庄a、b、c所铺设的输水管总长度的最小值为5km.点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点

5、，我们补充几点：（1）平面内一点p到abc三顶点的之和为pa+pb+pc，当点p为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120的三角形，分别以 ab，bc，ca，为边，向三角形外侧做正三角形abc1，acb1，bca1，然后连接aa1，bb1，cc1，则三线交于一点p，则点p就是所求的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当abc为等边三角形时，此时外心与费马点重合.可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：例2 （2010福建宁

6、德）如图，四边形abcd是正方形，abe是等边三角形，m为对角线bd（不含b点）上任意一点，将bm绕点b逆时针旋转60得到bn，连接en、am、cm. 求证：ambenb； 当m点在何处时，amcm的值最小；当m点在何处时，ambmcm的值最小，并说明理由； 当ambmcm的最小值为时，求正方形的边长.ea db cnm思路探求：略； 要使amcm的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将amcm转化为一条线段，连接ac即可获取； 要使ambmcm的值最小，由例3积累的知识经验：点m应该是abc的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接ce即可获得ce为ambmcm的值最小.这样获到m点至

7、少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得bm=bn，将三条线段转化到ce上去，问题化为两点之间线段最短.根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过e点作efbc交cb的延长线于f. 设正方形的边长为x，则bfx，ef.在rtefc中，由勾股定理得（）2（xx）2，解得即可.简答：略；当m点落在bd的中点时，amcm的值最小. fea db cnm如图，连接ce，当m点位于bd与ce的交点处时，ambmcm的值最小. 理由如下：连接mn.由知，ambenb，amen.mbn60，mbnb，bmn是等边三角形.bmmn.ambmcmenmncm. 根据“两点之间线段最短”，得enmncmec最短当m点位于bd与ce的交点处时，ambmcm的值最小，即等于ec的长. 过e点作efbc交cb的延长线于f，ebf906030.设正方形的边长为x，则bfx，ef.