中职数学基础知识汇总

1、中职数学基础知识汇总中职数学基础知识汇总 预备知识：预备知识： 1.完全平方和（差）公式：() +2() -2 2.平方差公式：a =()() 3.立方和（差）公式：a =()(a )a =()(a ) 33223322 22 222222 第一章第一章集合集合 1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、描述法、图像法（文氏图） 。 3.常用数集：N（自然数集） 、Z（整数集） 、Q（有理数集） 、R（实数集） 、 （正整数集） 4.元素与集合、集合与集合之间的关系： （1）元素与集合是“”与“” 的关系。 （2）集合与集合是“” “”

2、 “=” “/”的关系。 注：注： （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 （做题时多考虑是否满足题意） （2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n个，真子集有 21 个，非空真子集有 22 个。 5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）A （2）A B=x|x挝A且x B=x|x挝A或x B：A与B的公共元素组成的集合 B：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次） 。 （3）CUA：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。 注：注：C U (AB)C U AC U BC U (AB)=C U AC U B 6.会用文氏图表示相应的集

3、合，会将相应的集合画在文氏图上。 7.充分必要条件:p是q的条件 p是条件，q是结论 如果，那么 p 是 q 的充分条件是 p 的必要条件. 如果，那么 p 是 q 的充要条件 第二章第二章不等式不等式 1.不等式的基本性质： （略） 注：注： （1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！ （3）同向同向的不等式可以相加加（不能相减） ，同正的同向同正的同向不等式可以相乘。 2.重要重要的不等式： （1）a b 2ab，当且仅当a 22 b 时，等号成立。 （3） b时，等号成立。 （2）a b 2 ab(a,b R )，当

4、且仅当a 注： a b （算术平均数） ab （几何平均数） 2 3.一元一次不等式的解法（略） 4.一元二次不等式的解法 （1）保证二次项系数为正 （2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法） ，目的是求根： 1 / 17 （3）定解： （口诀）大于取两边，小于取中间。 5.绝对值不等式的解法 若a 0，则 | x | a a x a | x | a x a或x a 第三章第三章函数函数 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0. 1.函数 （1）定义：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只 有一个值

5、y 与它对应,则称f是集合 A 到 B 的函数函数, ,可记为fB,或fy.其中 A 叫做函数f的定义域.函数f在 x a的函数值,记作f (a),函数值的全体构成的集合C(C B),叫做函数的值域. （2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法图像法、解析法。 注：注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则三要素：定义域、值域、对应法则 （1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围 主要依据：分母不能为 0，偶次根式的被开方式0， 特殊函数定义域：y x ,x 0 y a ,(a 0且a 1),x R

6、y log a x,(a 0且a 1),x 0 （2）值域的求法： 0 x y 的取值范围 正比例函数：y kx和 一次函数：y kx b的值域为R 二次函数：y ax bx c的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像 反比例函数：y 2 1 的值域为y | y 0 x 另求值域的方法：换元法换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法换元法、构造法、待定系数法等。 3.函数图像的变换 （1）平移 y f (x) 向右平移向左平移 y f (x a) y f (x a)y f (x) a个单位a个单位 y f (x) （2）翻折

7、向上平移向下平移 y f (x) ay f (x) y f (x) a a个单位a个单位 y f (x) 沿x轴保留x轴上方图像 y f (x)y f (x) y | f (x) | 上、下对折下方翻折到上方 2 / 17 4.函数的奇偶性 （1）定义域关于原点对称 （2）若f (x) f (x) 注：若奇函数在x 奇 若f (x) f (x) 偶 0处有意义，则f (0) 0 常值函数f (x) a（a 0）为偶函数 f (x) 0既是奇函数又是偶函数 5.函数的单调性 对于x1、x2a,b且x1 x2，若 f (x 1 ) f (x 2 ),称f (x)在a,b上为增函数 f (x1) f

8、 (x2),称f (x)在a,b上为减函数 增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。 减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。 6.二次函数 （1）二次函数的三种解析式 一般式： f (x) ax bx c（a 2 2 0） ，其中(k,h)为顶点 0） ，其中x1、x2是f (x) 0的两根 0） 顶点式： f (x) a(x k) h （a 两根式： f (x) a(x x 1 )(x x 2 ) （a （2）图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口 a 0 开口向上a 0 开口向下 b4ac b2b ,) 对称轴：x 顶点坐标：(

9、2a4a2a b 0 有两交点 x x 2 1 a 与x轴的交点： 0 有1交点 根与系数的关系： （韦达定理） c 0 无交点 x 1 x 2 a f (x) ax bx c为偶函数的充要条件为b 0 二次函数（二次函数恒大（小）于 0） 2 a 0 a 0f (x) 0 图像位于x轴上方f (x) 0 图像位于x轴下方 0 0 若二次函数对任意x都有f (t x) f (t x)，则其对称轴是x t。 第四章第四章指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.指数幂的性质与运算 3 / 17 （1）根式的性质： n为任意正整数，(na)n a 当n为奇数时， nan a ；当当n为偶数时，为偶

10、数时， nan| a | 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：a 1 (a 0) （3）负数指数幂：a （4）分数指数幂：a n 0 1 *(a 0,n N ) na m n nam (a 0,m,n N且n 1) （5）实数指数幂的运算法则：(a 0,m,n R) a a a mnmn (a ) a mnmn (ab) a b nnn 2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。 当a 0时，y xa在（0， ）上单调递增 3.幂函数y x a当a 0时，y x 在（0， ）上单调递减 a 4.指数与对数的互化：ab

11、 N log a N b(a 0且a 1) 、 (N 0) logaN 5.对数基本性质： log a a 1 log a 1 0 a N logaaN N 1 log b a log a b与log b a互为倒数 log a blog b a 1 log a b n log amb n log a b m 6.对数的基本运算： log a (M N) log a M log a Nlog a 7.换底公式：log a M log a M log a N N N log b N (b 0且b 1) log b a 对数函数 8.指数函数、对数函数的图像和性质 定 义 图 像 指数函数 y a

12、x(a 0,a 1的常数)y log a x(a 0,a 1的常数) 4 / 17 性 质 (1) xR, y 0 (1) x 0, y R (2) 图像经过(0,1)点(2) 图像经过(1,0)点 （3） a 1, y ax在R上为增函数； x0 a 1, y a 在R上为减函数。 （3） a 1, y log a x在(0,)上为增函数； 0 a 1, y log a x在(0,)上为减函数 9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用 中间值 0，1 来过渡。 10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化 同底法 换元法 取对

13、数法 注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。 第五章第五章数列数列 定 义 注：当公差d 通项 公式 推 论 等差数列 每一项与前一项之差为同一个常数 等比数列 每一项与前一项之比为同一个常数 a 2 a 1 a 3 a 2 a n a n1 daa 2 a 3n q(q 0) a 1 a 2 a n1 注：等比数列各项及公比均不能为 0； 当公比为 1 时，数列为常数列 0时，数列为常数列 a n a 1 (n 1)da n a 1q n1 （1）qnm a n a m （1）d n m （2）an a m (n m)d （3）若m n a n a m （2）an a mq nm p

14、 q，则a m a n a p a q （3）若m n p q，则aman a p a q 三个数a、b、c成等比数列，则有中项 公式 前 三个数a、b、c成等差数列，则有 2b a c b a c 2 b2 ac a 1 (1 qn)a 1 a n q S n （q 1） 1 q1 q n 项和 公式 n(a 1 a n )n(n 1) S n na 1 d 22 1.已知前n项和S n 的解析式，求通项an (n 1)S 1 a n S S (n 2) n1 n 2.弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。 （见教材） 第六章第六章三角函数三角函数 1.弧度和角度的互换 5 /

15、17 180o 弧度 1o 2. 180 弧度 0.01745弧度 1弧度 (180 )o 57o18 扇形弧长公式和面积公式 L扇|rS 扇 3. 111 Lr |r2 （记忆法：与S ABC ah类似） 222 任意三角函数的定义： sin 4. 邻边对边y对边yx = cos = tan = 斜边r斜边r邻边x 特殊三角函数值 sin 0 00 6 300 4 450 3 600 2 900 0 2 4 2 0 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 4 2 0 2 不存在 cos tan 5. 13 三角函数的符号判定 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的

16、，其余的为负） 图像记忆法 （1） （2） 6.三角函数基本公式 tan sin （可用于化简、证明等） cos sin2 cos21 （可用于已知sin求cos ；或者反过来运用） 7.诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。 解释：指k 2 (k Z)，若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。 7.已知三角函数值求角: (1) 确定角所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角 ; (3) 写出满足条件的0 终边的角的集合） 8.和角、倍角公式 和角公式：sin() sincos cossin注意正负号相同 2 的角; (4) 加上周期（同 ) coscos sinsin

17、注意正负号相反 cos( tan() tan tan 1 tantan 二倍角公式： s in 2 2s inc oscos2 cos2sin2 2cos211 2sin2 6 / 17 tan2 2tan 21 tan 半角公式： s in 2 1c os1cos cos 222 9. 三角函数的图像与性质 函数图像 性质 定义域值域同期奇偶性单调性 y sin xxR1,1 T 2 奇 2 3 2k,2k 22 2k 2 ,2k y cosx xR1,1 T 2 2k,2k 偶 2k,2k 9.正弦型函数y Asin(x ) (A 0, 0) (1)定义域R，值域A, A （2）周期：T

18、2 （3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将 x 的系数提出来，再看是怎样平移的。 （4）y asin x bcosx 10. 正弦定理 a2b2sin(x ) abc 2R （R为ABC的外接圆半径） sin Asin BsinC 其他形式： （1）a 2Rsin A b 2Rs in Bc 2Rs in C（注意理解记忆，可只记一个） （2）a:b:c sin A:sinB:sinC 11. 余弦定理 b2 c2 a2 a b c 2bccos Acos A （注意理解记忆，可只记一个） 2bc 222 12. 三角形面积公式 S ABC 111 absinC bcsin

19、 A acsin B （注意理解记忆，可只记一个） 222 7 / 17 13. 海伦公式：S ABC P(P a)(Pb)(Pc)（其中P 为ABC的半周长，P 第七章第七章平面向量平面向量 a b c ） 2 1.向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向大小又有方向的量。 （2）向量的表示：书写时一定要加箭头！书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为AB。 （3）向量的模（长度） ：| AB|或| a | （4）零向量：长度为 0，方向任意。 单位向量：长度为 1 的向量。 向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。 2.向量的

20、运算 （1）图形法则 三角形法则平形四边形法则 （2）计算法则 加法：AB BC AC减法：AB AC CA （3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律 3.数乘向量： a （1）模为：| | a | （2）方向：为正与a相同；为负与a相反。 4. AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。 AB (x B x A , y B y A ) 5.向量共线（平行） ：唯一实数，使得a b。 （可证平行、三点共线问题等） 6.平面向量分解定理：如果e 1,e2 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的 一对实数x1,x2，使得a x1e1

21、x2e2。 7.注意ABC中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点） 、内心（内切圆圆心：三角平分 线交点） 、垂心（三高线的交点） 8.向量的内积（数量积） （1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,。 （2）内积公式：ab | a |b|cos a,b 9.向量内积的性质： 8 / 17 （1）cos a,b ab | a |b | （夹角公式）（2）ab ab 0 （3）aa | a |2或| a | aa （长度公式） 10. 向量的直角坐标运算：（1）AB (xB x A , y B y A ) y 2 )a (x 1, y 1) ab x 1x2 y

22、 1 y 2 x 1 x 2 y y 2, y 1 22 （2）设a (x1, y1),b (x2, y2)，则 a b (x 1 x 2 , y 1 11.中点坐标公式：若(x 1, y1) (x 2 , y 2 ),点 M()是线段的中点,则x 12.向量平行、垂直的充要条件：设a (x1, y1),b (x2, y2)，则 ab x 1 y 1 （相对应坐标比值相等） x 2 y 2 ab ab 0 x 1x2 y 1 y 2 0 （两个向量垂直则它们的内积为 0） 11. 长度公式 （1）向量长度公式：设a (x, y)，则| a | x2 y2 （2）两点间距离公式：设点A(x1,

23、y1),B(x2, y2)，则 12. 向量平移 （1）平移公式：点P(x, y)平移向量a | AB |(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 x x a 1 记忆法： “新=旧+向量” (a 1,a2 )到P(x, y)，则 y y a2 （2）图像平移：y f (x)的图像平移向量a (a1,a2)后得到的函数解析式为：y a2 f (x a 1 ) 第八章第八章平面解析几何平面解析几何 1.曲线C上的点与方程F(x, y) 0之间的关系： （1）曲线C上点的坐标都是方程F(x, y) 0的解； （2）以方程F(x, y) 0的解(x, y)为坐标的点都在曲线C上。 则曲线C叫做

24、方程F(x, y) 0的曲线，方程F(x, y) 0叫做曲线C的方程。 2.求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x，y） ；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用x, y的关系式 表示这个条件列出的方程； （4） 化简方程（不需要的全部约掉） ； （5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果 方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4.直线： (1) 倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是范围是0,) 9 / 17 (2) 斜率：倾斜角为90的直线没有斜率；k 0 tan （倾斜角的正

25、切） 经过两点P 1 (x 1 , y 1 ),P 2 (x 2 , y 2 )的直线的斜率K (3) 直线的方程 两点式： y 2 y 1(x 1 x 2 ) x 2 x 1 y y 1 x x 1 斜截式：y kx b y 2 y 1 x 2 x 1 点斜式：y y0 k(x x0)一般式：Ax By C 0 注：1.若直线l方程为 345=0，则与l平行平行的直线可设为 340；与l垂直垂直的直线可设为 430 2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系 l 1 : y k 1 x b 1 l 2 : y k 2 x b 2 l 1 : A 1x B1x C1 0l

26、2 : A 2 x B 2 x C 2 0 l 1 与l 2 平行 l 1 与l 2 重合 l 1 与l 2 相交 l 1 l 2 (5)点到直线的距离 k 1 k 2且b1 b 2 k 1 k 2且b1 b 2 k 1 k 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 A 2 B 2 k 1 k 2 1A 1 A 2 B 1B2 0 注：系数为 0 的情况可画图像来判定。 点P(x0, y0)到直线Ax By C 0的距离：d 5.圆的方程 （1）标准方程：(x a) (y b) r（r 22 222 | Ax 0 By

27、0 C | A B 22 0）其中圆心(a,b)，半径r。 22 （2）一般方程：x y Dx Ey F 0（D E 4F 0） DE 圆心（ , ）半径：r 22 D2 E24F 2 （4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较。 d r 相交；d r 相切；d r 相离 6.椭圆 动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a 几何定义 | PF 1 | | PF 2 | 2a 10 / 17 标准方程 x2y2 2 1（焦点在x轴上） 2ab x2y2 2 1（焦点在y轴上） 2ba 图像 a,b,c的关系 对称轴与对称中心 顶点坐标 焦点坐标 a2 b2 c2

28、 注意：通常题目会隐藏这个条件 x轴：长轴长2a；y轴：短轴长2b；O(0,0) (a,0) (0,b) (c,0) 焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 7.双曲线 cb2 e 1 2 1 aa 动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a 几何定义 | PF 1 | | PF 2 | 2a x2y2 2 1（焦点在x轴上） 2ab y2x2 2 1（焦点在y轴上） 2ab 标准方程 图像 a,b,c的关系 对称轴与对称中心 顶点坐标 c2 a2b2 注意：通常题目会隐藏这个条件 x轴：实轴长2a；y轴：虚轴长2b；O(0,0) (a,0) 11 / 17 焦点坐标 (c,0)

29、 焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 cb2 e 1 2 1 aa y b x（焦点在x轴上） a y a x（焦点在y轴上） b 渐近线 注：等轴双曲线： （1）实轴长和虚轴长相等 a 8.抛物线 几何 定义 焦点 位置 b（2）离心率e 2（3）渐近线y x 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 | MF | d（d 为抛物线上一点M到准线的距离） x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴 图像 标准 方程 焦点 坐标 准线 方程 顶点 对称 轴 离心 率 注： （1） y2 2px(p 0)y2 2px(p 0)x2 2py(p 0)x2 2py(p 0) p F(,0)

30、 2 p x 2 F( p ,0) 2 p x 2 p F(0,) 2 p y 2 O(0,0) p F(0,) 2 p y 2 x轴 e 1 y轴 p的几何意义表示焦点到准线的距离。 （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法 （3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式弦长公式： | AB |1 k2(x 1 x 2 )24x 1x2 （4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义定义！ ！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！ 第九章第九章立体几何立体几何 1.空间的基本要素：点、线、面 注：用集合符号表示空间中点（元素） 、线（集合） 、面（集合）的关系 2.

31、平面的基本性质 12 / 17 （1）三个公理： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2）三个推论： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3.两条直线的位置关系： （1）相交：有且只有一个公共点，记作“ab A” （2）平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 b.平行于同一条直线的两条直线平行 （3）异面： 定义：不

32、同在任何一个平面内的两条直线 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于 角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4.直线和平面的位置关系： 的角。注意在找异面直线之间的夹 2 （2）直线与平面相交：l A （1）直线在平面内：l （3）直线与平面平行 定义：没有公共点，记作：l 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5.两个平面的位置关系 （1）相交： l （2）平行： 定义：没有公共点，记作： “” 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行

33、，则两平面平行 性质： a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行 b.平行于同一平面的两个平面平行 c.夹在两平行平面间的平行线段相等 d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例 6.直线与平面所成的角： （1）定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2）范围：0, 2 7.直线与平面垂直 （1）判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 （2）性质： 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； 垂直于同一平面的两直线平行； 13 / 17 垂直于同一直线的两平面平行。 8.两个平面垂直 （1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个

34、平面互相垂直。 （2）性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9.二面角 （1）定义：过二面角l 的棱上一点O，分别在两半平面内引棱l的垂线OA、OB，则AOB为二面角的 平面角 （2）范围：0, （3）二面角的平面角构造： 按定义，在棱上取一点O，分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB，则AOB即是 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、OB，AOB即是 第十章第十章排列、组合与二项式定理排列、组合与二项式定理 1.分类用加法：N m1 m2 mn分步用乘法：N m1m2mn 2.有序为排列：P n n(n 1)(n 2)(n m 1) m

35、 n! (n m)! P n m n(n1)(n2)(nm1)n! 无序为组合：C m m!m!(nm)!P m m n 阶乘：P n n! n(n 1)(n 2)321 规定：0!1 0C n 1 n 注： （1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！ （2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质： （1）Cn 4.二项式定理： 0n01n11rnrrn11n1n0n(a b)n C n a b C n ab C n ab C n a b C n a b mnmmmm1 （2）Cn1 Cn C n C n 通项：

36、Tr1 rrnrr 叫做第r 1项的二项式系数。 C n ab ，其中Cn r 注： （1）二项展开式中第r 1项的系数系数与第r 1项的二项式系数二项式系数Cn是两个不同的概念。 （2）杨辉三角 1.二项式系数的性质 （1）除每行两端的 1 以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即Cn1 （2）与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即Cn rnr C n rrr1 C n C n 14 / 17 （3） n 1项） 2 n 1 n为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。 （第 项和后一项） 2 （第 n为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大； 01mnn024135n1 7

37、. C n C n C n C n 2C n C n C n C n C n C n 2 第十一章第十一章概率与统计概率与统计 一、概率一、概率. . 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每 一个基本事件的概率都是 1m ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率P(A) . nn 3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件发生(即 A、B 中有一个 发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生

38、的概率和，即 P()(A)(B)。 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于 1：P(A)P(A) P(AA) 1. .互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(AB)(A)P(B). 由此，当两个事件同时发 生的概率 P（）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件. 独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其

39、他各次试验的结果，则称这 n 次试验 是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： knk. P n (k) Ck n P (1P) 二、随机变量二、随机变量. . 1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是 恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量。

40、 设离散型随机变量 可能取的值为：x 1,x2 ,x i , 取每一个值x 1(i 1,2,) 的概率P(x i ) p i ，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列. P x 1 p 1 x 2 x i p i p 2 有性质p1 0,i 1,2,；p 1p2 p i 1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：0,5即可以取 0 5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. 离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试 验中这个事件发生的次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，

41、那么在 n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是 kP n ( k) C n pkqnk， （k0,1,2,，n，q 1 p） 于是得到随机变量 的概率分布如下： 01kn 15 / 17 P 由于C n p q kknk 00nC n p q 11n1C n p q C n p q kknk C n p q nn0 恰好是二项展开式 00n11n1knn0(q p)n C n p q C n p q C n pkqnk C n p q 中的各项的值，所以称这样的随机变量 服从二项分布，记作B(n，p)，其中 n，p 为参数，并记 kC n pkqnkb(k；n，p) 二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结 果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此 时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 三、数学期望与方差三、数学期望与方差. . 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 x 1 x 2 P p 1 p 2 x i p i 则称Ex 1p1x2 p 2 x n p n 为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型 随