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1、第三节 交错级数，绝对收敛与条件收敛,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、交错级数及其审敛法,如,定理8-9. ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注. 定理给出了截断误差的估计，,而例1, 2表明这样,的估计是谨慎的，即实际误差小于误差估计。,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,

2、收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、绝对收敛与条件收敛,1.定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 如下的比较审敛法是不对的！,反例：,发散，,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,X,正项级数审敛法不能想当然的推广到一般的数项级数。,例7. 证明下列级数绝

3、对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判定级数绝对收敛其实就是判定正项级数的收敛.,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其和分别为,2. 绝对收敛级数区别于条件收敛级数的性质.,性质1. 绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛，且其和不变。,* 性质2. (柯西定理) (绝对收敛级数的乘法),则柯西乘积,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,注：1.其实按任意方式构成的乘积级数都是绝对收敛的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 条件收敛级数不具有这两条性质.,(同济第三版P246 (4)式 ),作业 P682 从1至43的单数,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,补充.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (

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