Lecture 5 运算器-定点加减法

1、思考,设X=-0.1010 Y=0.0101 求(X+Y)补 和 (X-Y)补,设机器数字长为 8 位（含 1 位符号位） 且 A = 97，B = +41，用补码求 A B,思考,定点整数、小数有原码、补码表示形式，手工在纸上怎么加减？举例分析(两正数相加、两负数相加、正负两个数相加)。(符号位直接参与运算!) x原+y原=？x+y原；x原 +-y原=？x-y原 x补+y补=？x+y补；x补+ -y补=？x-y补 计算机中表示数据的寄存寄或存储单元长度固定， 如果运行结果超过这个长度会产生什么结果？ 什么情况下会发生超出表示范围的现象？ 这个结果能否被利用？ 试从计算机的角度来判断运算结果什

2、么时候出错了？,定点数加减运算,课程结构,主要内容,定点补码加减法 溢出检测 基本加法器,解：,A补,B补,A补 + B补,+,= 0 . 1 0 1 1,= 1 . 1 0 1 1,= 1 0 . 0 1 1 0,= A + B补,验证,0.1011, 0.0101,0.0110, A + B = 0 . 0 1 1 0,A补,B补,A补 + B补,+,= 1 , 0 1 1 1,= 1 , 1 0 1 1,= 1 1 , 0 0 1 0,= A + B补,验证, 1001, 1110,解：, A + B = 1110, 补码加法的运算公式为： xy补x补y补 补码减法的运算公式为： xy补

3、 x补y补 加减法运算规则： 参加运算的数都用补码表示。 数据的符号与数据一样参加运算。 求差时将减数求补，用求和代替求差。 运算结果为补码。如果符号位为0，表明运算结果为正； 如果符号位为1，则表明运算结果为负。 符号位的进位为模值，应该丢掉。,定点补码加减法, 补码加法的运算公式为：xy补x补y补 证明：下面以模为2定义的补码为例，分几种情况来证明这个公式。 （1） x0， y0， 则xy 0 由于参加运算的数都为正数，故运算结果也一定为正数。又由于正数的补码与真值有相同的表示形式，即 x 补x y 补y 所以 x补y补xyxy 补 （2） x0， y 0或xy 0 时， 2 (xy)2，

4、2为符号位进位，即模丢掉 。 又因为(xy)0，所以 x 补y 补xy xy 补 当xy0 时，2(xy) 2，又因为(xy) 0，所以 x 补y 补 2xy xy 补 这里应将(xy)看成一个整体。,定点补码加减法,（3）x0， 则xy 0 或 xy 0 这种情况和第种情况类似，即把x与y的位置对调即可得证。 （4） x0， y0， 则xy 0 由于参加运算的数都为负数，故运算结果也一定为负数。又由于负数的补码为： x 补 2x y 补 2 y 所以 x补y 补 2(2xy) 由于xy为负数，其绝对值又小于1，那么(2 x y)就一定是小于2而大于1的数，所以上式等号右边的2必然丢掉，又因为

5、xy0，所以 x补y补 (2xy) 2(xy)xy 补 至此证明了在模为2的定义下，任意两个数的补码之和等于该两个数之和的补码。 这是补码加法的理论基础，其结论也适用于定点整数。,定点补码加减法, 补码减法的运算公式为： x补y补 x补y 补 证明： 因为 x补y补=xy补 令x = y 代入， 则有 y补y补=yy补 = 0补 = 0 所以 y补=y补 所以： x补y补 x补(y补)=x补y 补,定点补码加减法,不难发现，只要能通过y 补求得y 补，就可以将补码减法运算化为补码加法运算。 已知y 补，求y 补的法规是：对y 补各位(包括符号位)取反、末位加1，就可以得到y 补。 例如：已知y

6、 补1.1010，则y 补0.0110； 又如：已知y 补0.1110，则y 补1.0010；,定点补码加减法,证明：-x 补 与x 补的关系。 证明： 当0 x1时，设 x 补=0.x1 x2 xn -x =-0.x1 x2 xn 所以 -x 补=1.x1* x2* xn* 2-n 比较x 补和-x 补，发现将x 补连同符号位求反，末位加，即得x 补。 当-1x0时，设 x 补=1.x1 x2 xn 则 x =-( 0.x1* x2* xn*2n ) 所以 -x= 0. 1.x1* x2* xn*2-n 故 x 补= 0. 2-n 比较x 补和x 补，发现将x 补连同符号位求反，末位加，即得

7、x 补。,(1) 设X=-0.1010 Y=0.0101 求(X+Y)补 和 (X-Y)补 解: (X)补 = 1.0110 (Y)补 =0.0101 (-Y)补 = 1.1011 (X)补 1.0110 (X)补 1.0110 + (Y)补 0.0101 + (-Y)补 1.1011 (X+Y)补 1.1011 (X-Y)补 1.0001 X+Y = -0.0101 X-Y = - 0.1111,加减法运算示例,(2) 设X=-0.1011 Y=-0.0101 求(X+Y)补 和 (X-Y)补 解: (X)补 = 1.0101 (Y)补 =1.1011 (-Y)补 = 0.0101 (X)补

8、 1.0101 (X)补 1.0101 + (Y)补 1.1011 + (-Y)补 0.0101 (X+Y)补 1.0000 (X-Y)补 1.1010 X+Y = -1 X-Y = - 0.0110,加减法运算示例,例,练习 2 设机器数字长为 8 位（含 1 位符号位） 且 A = 97，B = +41，用补码求 A B,A B = + 1110110 = + 118,错,错,主要内容,定点补码加减法 溢出检测 基本加法器,溢出判断,由于机器码的位数通常是给定的（如16位字长，32位字长），因此，数的表示范围是有限的，若两数进行加减运算的结果超出给定的取值范围，就会产生溢出。 溢出是指运算

9、结果超过了数的表示范围。 两个符号相同的数相加，才可能产生溢出； 两个符号相异的数相加，不可能产生溢出。 例，X=+0.1011,Y=+0.1001,X+Y=? X补 0.1011 + Y补 0.1001 1.0100 此时，两个正数相加的结果成为负数，显然是错误的。,溢出判断,又如，X=0.1101,Y=0.1011,X+Y=? X补 1.0011 + Y补 1.0101 0.1000 两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。 为判断溢出是否产生，可以采用三种检测方法。,溢出判断,1、单符号位操作检测 方法：当运算结果的符号位与操作数的符号位不一致时，表示溢出；当加数和被加数符号位不同时

10、，相加的结果绝对不会溢出。 例，X=+0.1001,Y=+0.1110, 是否溢出？ X补 0.1001 + Y补 0.1110 1.0111 运算结果产生溢出。,溢出判断,2、进位检测法 Cf C000正确（正数）01上溢10下溢11正确（负数） V=Cf C0 ，其中Cf为符号位产生的进位,C0为最高有效位产生的进位。 看高位的进位输入与其进位输出是否一致,从真值表可判断当两个单符号位补码进行加减运算时，若最高数值位向符号位的进位值C0与符号位产生的进位输出值Cf相同时，则没有溢出发生。如果两个进位值不同，则有溢出发生。 溢出表达式： V CfC0。,设xf和yf表示两个相加数的符号，C0

11、表示高位的进位信号，Cf表示符号位的进位信号，S表示结果的符号，V为溢出信号,例，X=+0.1011,Y=+0.1101 X补 0.1011 + Y补 0.1101 1.1000 若最高数值位向符号位的进位为1，符号位产生的进位为0，表示有溢出。 又如，X=-0.1011,Y=-0.1100 X补 1.0101 + Y补 1.0100 0.1001 若最高数值位向符号位的进位为0，符号位产生的进位为1，表示有溢出。,溢出判断,3、变形补码检测法(双符号位) 方法：每个操作数在运算时都采用两个符号位，正数用00表示，负数用11表示，两个符号位与码值一起参加运算；若运算结果的两个符号位的代码不一致

12、时表示溢出，两个符号位代码一致时，没有溢出。 设左边第一位为第一符号位Sf1，相邻的为第二符号位Sf2，则 溢出逻辑表达式： VSf1Sf2 若V0无溢出；V1有溢出。,溢出判断,主要内容,定点补码加减法 溢出检测 基本加法器,基本的加法器,基本的加法和减法器 半加器HiAi Bi不考虑进位 全加器考虑低位进位Ci-1和向高位的进位Ci,一位全加器真值表,基本的加法器,基本的加法器FA逻辑电路和框图,FA（全加器）逻辑电路图,FA框图,图行波进位的补码加法/加法器,基本的加法器 n位行波进位加法器,基本的加法器 n位行波进位加法器,一个“与”门或者一个“或”门的时间延迟为一个T，异或门为3T,

13、9T时刻,11T时刻,6T2(n-1)T+3T时刻,C0,C2,Cn-1,C1,Cn,并行加法器,由,知,令,C0,&,&,&,C2,基本的加法器实现加法的逻辑图, 实现加法时应提供以下控制信号： AALU，BALU，+，ALUA 实现减法时应提供以下控制信号： AALU，B*ALU，ALU+1，+，ALUA,小结,定点补码加减法运算方法，理解减法运算用加法来实现 三种溢出检测方法及溢出判断的逻辑表达式 基本加法器：半加器，全加器中和及进位的表达式、理解电路实现,作业5,5-1.两个定点补码数分别放在寄存器A，B中，A0，B0是符号位，试列出两数加减运算的溢出判断条件并画出逻辑电路。 5-2.

14、用补码运算求x-y,并判断是否溢出。 x=-0.0100, y=0.1001 x=-0.1011, y=-0.1010 5-3.已知x补=1.1001,y补=1.1110，计算2x补+1/2y补,并判断结果是否溢出。,5-4 一个C语言程序在一台32位机器上运行，程序中定义了三个变量xyz,其中x和z是int型 ，y是short型。当x=127,y=-9时 ,执行赋值语句z=x+y后，xyz的机器码分别是 ( ) 5-5 某字长为 8位的计算机中，已知整型变量 x、y的机器数分别为x补=1 1110100，y补=1 0110000。若整型变量 z=2*x+y/2，则 z的机器数为,5-6. 用一位全加器设计一个4位8421BCD码加法器。当4位加地结果