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文档简介

1、第三节 格林公式及其应用,一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积,一、格林（Green）公式,定理1,10平面区域 D 的边界L的正向的概念：,近处的那部分总在他的左边.,简言之，,外圈逆时针方向；,内圈顺时针方向,注,当观察者沿该方向行走时，D内在他,20 以 L为边界的平面闭区域 D的面积为,（在格林公式取）,30 格林公式记忆法:,40 格林公式的实质:,揭示了曲线的积分与二重积分之间的联系.,例1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线 , 证明,证,则,利用格林公式 , 得,令,例2 计算 其中L 是以点,O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为

2、顶点的三角形正向边界.,解,则,利用格林公式 , 得,令,例3 计算 其中L 为由点,O(0,0)到点A(2,0)的上半圆周,解,则,利用格林公式 , 得,令,设,则,计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑逆时针向闭曲线.,解,则,例4,令,取顺时针方向,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,B,A,1平面上曲线积分与路径无关的定义,定义,2平面上曲线积分与路径无关的等价刻画,命题,3平面上曲线积分与路径无关的条件,定理2,若平面区域 D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为复连通区域.,注,复连通区域即为有“洞”区域,简言之，单连通区域 即为无“洞”区域，,验证

3、曲线积分,在全平面,则,内与路径无关，并计算,令,所以曲线积分,取积分路径：,例5,解,路径无关,在全平面内与,其中，,则,例6,其中 L为曲线 上,故原曲线积分在右半平面内与路径无关,从点（2，1）到点（1，2）的一段弧.,则在右半平面内，有,令,计算,解,取积分路径：,其中，,则,三、二元函数的全微分求积,定理3,注,方法一：曲线积分法,方法二：不定积分法,（）,【代入（）式即得】,例7,全微分？如是，求出一个这样的函数.,设,则,故存在函数 u (x , y) 使,。,。,是否为某个函数的,解,条件,(1) 在D内曲线积分与路径无关,等 价 命 题,（1）对于D内任一闭曲线 C，有,（2）存在函数,

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