全等三角形课件

1、第十二章 全等三角形,12.1 全等三角形,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,观察,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,观察,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,观察,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,思考:他们能完全重合吗?,观察,下列各组图形的形状与大小有什么特点？,思考:他们能完全重合吗?,观察,每组的两个图形有什么特点?,完全重合,观察,把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形剪下纸板。剪下的纸板与三角板大小、形状完全相同吗？他们能够完全重合吗？,想一想,形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,概念

2、,全等形包括规则图形和不规则图形全等,两个图形全等，它们的形状一定相同 ，大小一定相等！,形状相同,大小相同,观察,下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？,形状不同,观察,大小不同,观察,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？,思考,A,C,B,D,E,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？,思考,A,B,C,D,A,D,E,下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？,思考,B,D,C,一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。,1、能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形,2、把两个三角形重合到一

3、起 重合的顶点叫做对应顶点， 重合的边叫做对应边， 重合的角叫做对应角。,全等三角形的概念,对应顶点是点A和点D， 点B和点E，点C和点F；,对应边是AB和DE， AC和DF，BC和EF;,对应角是A和D， B和E,C和F,“全等”用符号“ ”表示,图中的ABC和DEF全等， 记作:ABC DEF 读作:ABC全等于DEF,全等三角形的表示,你能否直接从记作ABC DEF中判断出所有的对应顶点、对应边和对应角？,A,B,C,D,E,F,?,!,注意,记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。,两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？

4、,寻找各图中两个全等三角形的对应元素。,观察与思考,E,A,D,C,B,F,全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.,如图：ABC DFE AB=DF, BC=FE, AC=DE,几何语言：,ABC DFE A=D,B=F,C=E,图形语言：,全等三角形的性质,例题讲解，掌握新知,如图, ABCDCB， 指出所有的对应边和 对应角。,O,解：ABCDCB AB与DC，BC与CB， AC与BD是对应边 A与 D，ABC与DCB， ACB与DBC是对应角,例题讲解，掌握新知,O,图中ABODCO，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角。,解：ABODCO AB=DC，BO=CO，AO=DO

5、 A= D，ABO=DCO， AOB=DOC,A,B,C,D,E,F,ACBDEF,AB=DF, CB=EF,AC=DE.,A=D,CBA=F,C= DEF.,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,A,B,C,D,ABCABD,AB=AB,BC=BD,AC=AD.,BAC=BAD,ABC=ABD C= D.,规律一：有公共边的，公共边是对应边,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,A,C,D,B,AOCBOD,AO=BO,AC=BD,OC=OD.,A=B,C=D, AOC= BOD.,规律二：有对顶角的，对顶角是对应角,o,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,

6、探究交流,A,B,C,D,E,ABCADE,AB=AD,AC=AE, BC=DE,A=A,B=D, ACB= AED.,规律三：有公共角的，公共角是对应角,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,探究交流,先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角,ABCFDE,AB=FD,AC=FE, BC=DE,A=F, B=D, ACB= FED.,规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角,A,B,C,F,D,E,规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边,探究交流,3.有公共角的，公共角一定是对应角。,4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角,5.在两个全等三角形中最长边对

7、最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。,1.有公共边的，公共边一定是对应边。,2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。,规律,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABDCBD,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,AODCOD,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABCADE,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ADECBF,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,ABNACM,ABMACN,课堂练习,找出下列全等三角形的对应边、对应角,AOBDOC,ABCDCB,O,课堂练习,如图, ABD EBC,2、如果AB=3cm,BC=5cm, 求BE

8、、BD的长.,BE=3cm,BD=5cm,解：ABD EBC,AB=EB，BC=BD,AB=3cm,BC=5cm,1、请找出对应边和对应角。,AB 与 EB、BC BD、AD EC，,ABEC、DC、ABDEBC,课堂练习,如图, EFGNMH,2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm, HN=3.3cm, 求NM、HG的长.,HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2,解：EFG NMH,NM=EF=2.1,EG=HN=3.3,1、请找出对应边和对应角。,课堂练习,ABDACE，若ADB=100，B=30，说出ACE中各角的大小？,解： ABDACE， AEC= ADB=1000 ， C=

9、B=300， 又A+AEC+C=180 A=1800- AEC- C =1800-1000-300=500,课堂练习,如图,已知 AOC BOD 求证：ACBD,能力提高,把四边形ABCD纸片沿EF折叠使点C落在四边形ABCD内部，如图,则C与1+2之间的一种数量关系始终保持不变，这个规律是( ),C=1+2 2C=1+2 3C=1+2 3C=2(1+2),B,能力提高,互相重合的角叫做,互相重合的边叫做,其中：互相重合的顶点叫做,2. 叫全等三角形。,1.能够重合的两个图形叫做 。,全等形,4.全等三角形的 和 相等,对应边,对应角,对应顶点,课 堂 小 结,能够完全重合的两个三角形,3.“

10、全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”,对应边,对应角,5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上,全等于,再见,学习几何的关键是要开动脑筋,12.1 全等三角形的判定,第十二章 全等三角形,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,全等三角形的性质是？,全等三角形的对应边相等， 对应角相等,反过来成立吗？,本节就来讨论这个问题,先任意画出一个ABC，再画一个 ABC，使ABC与ABC满足 上六个条件中的一个或两个。你画出 的ABC与ABC一定全等吗？,两个直角三角形，有一个角相等， 它们全等吗？,探 究 1,有一条边相等的两个三 角形全等吗？,一边、一角相等的两个三 角形全等吗？,通

11、过画图我们可以发现，满足上述六个 条件中的一个或两个，ABC与ABC 不一定全等。满足三个条件呢？能保证 他们全等吗？我们来分情况讨论。,先任意画一个ABC再画一个ABC， 使AB=AB，BC=BC，CA=CA。把 画好的ABC剪下，放到ABC上， 它们全等吗？,探究2,画一个ABC， 使AB=AB， AC=AC， BC=BC；,1、画线段BC=BC；,2、分别以B、C为圆心，线段AB， AC为半径画弧，两弧交于点A；,3、连接线段AB，AC；,C,A,A,B,C,B,探究2反应了什么规律？,三边对应相等的 两个三角形全等 (可简写成SSS),你能写出它的符号语言吗？,在ABC与ABC中， A

12、B=AB，BC=BC，AC=AC ABC ABC,C,A,A,B,C,B,符号语言,我们曾经作过这样的实验，将三根木条钉成 一个三角形木架，这个三角形木架的形状、 大小就不变了。就是说三角形的形状大小 也就确定了，这里用到的就是上面的结论。,用上面的结论可以判断两个三角形全等， 判断两个三角形全等的过程，叫做证明 三角形全等。,例1 如图， ABC是一个钢架， AB=AC，AD是连接点A与BC中 点D的支架。求证ABC ACD,C,A,B,D,分析：要证ABC ACD，可以看 这两个三角形三边是否_ 它们相等吗？,相等,证明：D是BC的中点， BD=CD,AB=AC，,在ABD与ACD中,BD

13、=CD，,AD=AD，, ABD ACD(SSS）,(公共边),(已证),(已知),你学会了吗？,从例1可以看出，证明是由题设 (已知)出发，经过一步步推理， 最后推出结论(求证)正确的过程。,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一 条直线上，AD=FB。要用“边边边 ”证明 ABD FDE，除了已知中的AC=FE， BC=DE以还应该有什么条件？怎样才能 得到这个条件？,A,B,C,D,E,F,工人师傅常用角尺平分一个任意角。 做法如下：如图，AOB是一个任意 角，在边OA、OB上分别取OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分 别与M，N重合，过角尺顶点C的射线 OC便是AO

14、B的平分线。为什么？,练 习,先任意画一个ABC，再画一个 ABC，使AB=AB，A= A， AC=AC，(即使有两边和它们的夹角 对应相等)，把画好的ABC 剪下， 放到ABC上，它们全等吗？,探究3,C,A,A,B,C,B,画一个ABC， 使AB=AB， AC=AC， A= A ；,1、画DAE= A ；,2、在射线AD上截取AB=AB，在 射线AE上截取AC=AC；,3、连接线段BC；,探究3反应了什么规律？,两边和它们的夹角对应相等的 两 个三角形全等(可简写成SAS),你能写出它的符号语言吗？,C,A,A,B,C,B,符号语言,在ABC与ABC中， AB=AB，AC=AC，A= A

15、ABC ABC,例2 如图有一池塘，要测池塘两端 A、B的距离，可先在平地上取一个 可以直接到达A和B的点C，连接AC 并延长到D,使CA=CD；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量 出DE的长就是A、B的距离，为什么？,分析：如果能证明ABC DEC， 就可以得到AB_DE,=,在ABC与DEC中， CA=CD，CB=CE，,1= 2,ABC DEC还差一个条件是： _,证明：,CA=CD，,在ABC与DEF 中,1= 2 ，,CB=CE，, ABC DEF(SAS）,(已知),(对顶角相等),(已知),你学到了什么？,从例2可以看出，因为全等三角形 的对应边相等，对应角相等，所以

16、 证明分别属于两个三角形的线段 相等或者角相等的问题，常通过 证明这两个三角形全等来解决。,探究4,我们知道，两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。由“两边及 其中一边的对角对应相等”的条件能 判定两个三角形全等吗？为什么？,可以通过画图来回答，还可以通过实验来回答,把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合 在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端 点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成 的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来,动动手,练 习,1、如图，两车从路段AB的一端A出 发，分别向东，向西行进相同的距 离，到达C、D两地，此时C、D到B 的距离相等吗？为什么？,A,D,C,B,2、如

17、图，点E、F在BC上，BE=CF， AB=DC，B=C，求证：A=D,A,D,C,B,F,E,探究5,先任意画一个ABC，再画一个 ABC，使AB=AB，A= A， B= B ，(即两角和它们的夹边 对应相等)，把画好的ABC 剪下， 放到ABC上，它们全等吗？,画一个ABC， 使AB=AB， A= A , B= B ；,1、画AB=AB ；,2、在AB同旁画DAB=A ， EBA= B ，AD，BE交于点C；,A,B,C,A,B,C,E,D,两角和它们的夹边对应相等的 两 个三角形全等(可简写成ASA),你能写出它的符号语言吗？,C,A,A,B,C,B,在ABC与ABC中， A= A ，AB

18、=AB， B= B ， ABC ABC,探究6,在ABC与DEF中，A= D，B= E ， BC=EF， ABC与DEF全等吗？能利用角 边角的条件证明你的结论吗？,C,A,D,B,F,E,两个角和其中一个角的对边对应 相等的 两个三角形全等 (可简写成AAS),C,A,A,B,C,B,在ABC与ABC中， A= A ，B= B ， BC=BC， ABC ABC,例3 如图，D在AB上，E在AC上， AB=AC，B= C，求证AD=AE,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,分析：如果能证明ABE_ACD， 就可以得到AB_DE,=,AB=AC，,在ABE与ACD 中,B= C ，,A= A

19、，, ABE ACD(ASA）,(已知),( ),(已知),证明：,公共角,AD=AE( ),全等三角形对应边相等,探究7,三角对应相等 的两个三角形全等吗？ 现在我们学了哪些判定全等的方法？,判定两个三角形全等的方法,1、SSS：三边对应相等,2、SAS 两边及夹角对应相等,3、ASA两角夹边对应相等,4、AAS 两角及一角的对边对应相等,1、如图，要测量河两岸相对两点A，B两 点的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A，C，E在一条直线上，这时 测得DE的长就是AB的长，为什么？,A,B,C,D,E,F,2、 如图，ABBC， ADDC ， 1= 2，求证AB=AD,1,2,A,B,C,D,分析：如果能证明 ABC_ACD， 就可