结构弹性稳定

1、,结构的弹性稳定,结构的弹性稳定,1. 概述,2. 用静力法确定临界荷载,3. 具有弹性支座压杆的稳定,4. 刚架的稳定计算,5.用能量法确定临界荷载,1. 概述,1. 概述,稳定平衡状态 随遇平衡状态 不稳定平衡状态,三种平衡状态：,球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：,如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为 稳定平衡,如小球受到干扰后失去回到原先平衡位置的可能性，则称该状态为 不稳定平衡,如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为 随遇平衡,结构失稳,结构失稳：结构离开稳定的平衡状态，转入不稳定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结构屈曲。 结

2、构稳定分析的目的：防止结构发生不稳定的平衡状态或随遇平衡状态。 结构失稳破坏是结构常见的破坏形式，破坏突然，后果严重。,1. 概述,结构失稳的类型：,第一类失稳（分支点失稳） 第二类失稳（极值点失稳）,第一类失稳（分支点失稳）,理想中心受压直杆 当 FFcr 时，在杆上横向作用一微 小的干扰力使杆弯曲，取消干扰力 后，杆会恢复直线，此时，压杆的 直线平衡是稳定的。 当F=Fcr 时，同样在杆的横向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不会恢复直线而仍保持弯曲平衡，出现了平衡形式的分支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也 可以具有同时受压和受弯新的弯曲平衡形式。此时的状态称为

3、临界状态。 第一类失稳的特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。,1. 概述,Fcr 临界荷载,第二类失稳（极值点失稳）,压杆始终处于受压和弯曲的复合受 力状态，随着荷载 F 的增加，杆件 的挠度会逐渐增大。当荷载 F 达到 临界值 Fcr时，即使不增加荷载甚至 减小荷载，挠度仍会继续增加。压 杆始终处于弯曲平衡形式。 第二类失稳的特征：平衡形式不发生改变，没有新的平衡形式产生。 第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的第一类失稳。部分第二类失稳问题也可转化为第一类失稳问题简化处理。,1. 概述,Fcr 临界荷载,结构的稳定自由度,结构稳定自由度：确定结构失稳时所有可能的变形形式所需的

4、独立坐标的数目。,1. 概述,1个自由度,2个自由度,无限多个 自由度,2个自由度,与支承弹簧的数量无关,2. 用静力法确定临界荷载,静力法：根据分支点状态（临界状态）结构新出现的平衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。 1. 刚性压杆（有限自由度）的临界荷载,2. 用静力法确定临界荷载,F 曲线,图示单自由度结构，竖杆为刚性，下端为转动弹簧支承，其转动刚度为 k 。 设压杆处于随遇平衡状态时偏离竖直位置，产生倾角 ，由平衡条件有：,分别用近似形理论和精确理论求解此方程。,1）按近似理论求解,平衡方程： 由于位移和变形都很小，近似地取 ，平衡方程可写为：,2. 用静力法确定临界荷载,F 曲线

5、,方程的解： = 0 时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。 0 时，有 ，上式也成立，此时对应的是新的平衡形式。 因此，欲使 0 ，则必有 ，此式称为稳定方程或特征方程，反映了结构失稳时平衡形式的二重性，即：结构在新形式下也能维持平衡的条件。由稳定方程可求出临界荷载 失稳后的位移值 无定值，荷载位移曲线如AB。,2）按精确理论求解,由平衡方程 可得：,2. 用静力法确定临界荷载,即每一个 值对应一个F 值， 荷载位移曲线如AC。 临界荷载为： 当 0 时， 当 0 时，临界荷载与按近似理论分析所得结果相同。 因此，若只求临界荷载而不需计算失稳后的位移，为简化计算，可按近似理论计算。,例1

6、：图示结构中两个抗侧移弹簧的刚度均为k ，求结构的临界荷载。,解：结构有2个稳定自由度， 设失稳时A、B点的侧向位移分别是y1、 y2。（Y坐标向左为正）,对AB段，由MB=0，有,对整体，由MC=0，有,整理后得： 写成矩阵形式：,列平衡方程时，假定弯矩以顺时针为正。,2. 用静力法确定临界荷载,y1 、y2 不能全为零，（否则对应失稳前的直线平衡状态）其非零解的条件是矩阵方程的系数矩阵行列式为零，即：,展开得,解得,2. 用静力法确定临界荷载,两个稳定自由度结构的稳定方程,理论上，F1、F2都是临界荷载， 但两者对应的失稳形式不同，将F1、F2 分别代入矩阵方程可以求得y1、y2的比例关系

7、。,F1=2.618kl 时，失稳形式是 F2=0.382kl 时，失稳形式是 因 F2 F1，所以临界荷载为 而真正的失稳形式是,2. 用静力法确定临界荷载,注意：无法求得y1、y2的具体数值。,由材料力学可知，挠曲线与截面弯矩的近似关系是： 由平衡条件得： 或： 令 ， 有,此微分方程的通解为：,2. 用静力法确定临界荷载,无限自由度弹性压杆的临界荷载,弯矩以y轴负向受拉为正,式中A、B为积分常数，Fs / F也是未知数，用挠曲线的边界条件来确定这些未知数。边界条件为,当 x=0 时，y=0， y=0 当 x=l 时，y=0,代入挠曲线方程，得到关于A、B、Fs / F的齐次线性方程组,2

8、. 用静力法确定临界荷载,写成矩阵形式：,通解,该式即为该结构的稳定方程，,（1）A=B=Fs /F=0，显然是方程的一组解，此时挠曲线y=0，故这组解对应的是原有的直线平衡形式。 （2）A、B、Fs /F 不全为零（非零解），才可得到弯曲的挠 曲线方程 y=y(x)，因此，非零解对应的是失稳后的弯曲平衡形 式，齐次线性方程组为非零解的条件是：系数矩阵行列式为零。 故若A、 B、Fs /F 有非零解，则必有：,讨论该方程组的解,2. 用静力法确定临界荷载,通解,稳定方程展开整理得： 该方程为超越方程，可用试算法结合 图解法求解。解得： 因 ，所以临界荷载为：,2. 用静力法确定临界荷载,3.

9、具有弹性支座压杆的稳定,3. 具有弹性支座压杆的稳定,一端弹性固定另一端自由的 直压杆，弹簧抗转刚度为k1，试写出其稳定方程。 根据 建立平衡方程,取下段隔离体分析，由 又因 ，于是可得挠曲线微分方程： 即： 改写为：,令 ，上式写为： 微分方程的通解,3. 具有弹性支座压杆的稳定,弯矩以y轴负向受拉为正,当 x=0 时，y=0， y= 1,当 x=l 时，,式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为,将挠曲线方程代入边界条件，得,写成矩阵形式,3. 具有弹性支座压杆的稳定,通解,上式为关于 A，B，1 的齐次线性方程组，当 A= B= 1 =0 时，对应原有的直线平衡形式。 当A，B， 1

10、不全为零时，对应新的弯曲平衡形式，此时，上述方程的系数矩阵行列式必为零，即可得到稳定方程：,3. 具有弹性支座压杆的稳定,解出n，进而可求得Fcr 。,展开行列式，得： 因 ，故稳定方程可写为,（稳定方程）,3. 具有弹性支座压杆的稳定,讨论右图所示具弹性转动支座的压杆的临界荷载。压杆下端转动弹簧的刚度为k。,设压杆失稳时下端转角为 ，则相应的反力矩为 ，设压杆上端支座反力为 ，则由平衡条件 可得：,有,根据压杆任一截面弯矩的平衡条件可得到压杆挠曲线的平衡微分方程为,令 上式化为,其通解为,3. 具有弹性支座压杆的稳定,已知边界条件为： 当 时， 和 ； 当 时，,将边界条件代入通解可得如下齐

11、次方程组,新的平衡形式要求A、B和不能全为零，因此上式的系数行列式应为零，即稳定方程为,3. 具有弹性支座压杆的稳定,将其展开，整理后可得 （1）,当转动弹簧刚度k之值给定时，便可由此超越方程解出nl的最小正根，再根据 求得临界荷载。,(1)当k=0时，相当于两端铰接情况，式（1）变为 。最小正根为 ，可求得 ，这就是两端铰接弹性压杆的临界荷载。,(2)当k=时，相当于一端铰接，一端固定的情况,式（1）变为 ，最小正根为 ，可求得： 这就是一端铰接，一端固定弹性压杆的临界荷载。,3. 具有弹性支座压杆的稳定,对不同支座情况的压杆均可采用类似的方法求解其临界荷载。 下图给出了几种常见的刚性支承条

12、件下等截面弹性直杆的临界荷载值。 各种支撑情况的临界荷载可用如下的统一式表达： 式中 称为长度系数。下图五种情况， 值分别为：1、2、0.7、0.5、1。,3. 具有弹性支座压杆的稳定,4. 刚架的稳定计算,刚架的稳定分析通常较复杂，但某些结构和受力均较简单刚架稳定分析可简化为弹性支座压杆的计算。 分析方法是将压杆单独取出，其余部分对它的约 束作用以弹性支座代替。然后借用弹性支座压杆稳定分析的结果计算。,4. 刚架的稳定计算,( b ),( a ),右图（a）所示刚架，AB为压杆，将其单独取出分析临界荷载。该杆两端的约束情况是：,A端：为铰结点，可自由转动， 但侧移受链杆AD的弹性约束， 其效

13、果相当于一个抗移弹簧， 设弹簧刚度为k3。 B端：不能侧移但可转动，而转动不是完全自由的，要受BC杆的弹性约束，其效果相当于一个转动弹簧，设转动刚度为k1。,于是，刚架中AB杆的稳定分析就简化为图（b）的弹性支座压 杆的稳定。,（a） （b）,4. 刚架的稳定计算,( d ),( e ),( c ),弹簧刚度的计算,由 ，有,于是,抗移弹簧刚度k3 为链杆AD发生单 位伸长（缩短） 时，杆端作用的 外力，见图（c）,抗转弹簧刚度k1 为BC杆的B端发生单位转角时，在杆端作用的力矩，由图（d）或图（e），可得,4. 刚架的稳定计算,计算出k1和k3后可按弹性支座压杆计算临界荷载。,5. 用能量法

14、确定临界荷载,势能驻值原理：弹性结构处于平衡状态时，对于满足约束及连续条件的所有可能的位移中，只有真实的位移（还须满足平衡条件）使结构的势能为驻值，即结构势能的一阶变分为零。 结构的势能用 Ep表示，结构势能的一阶变分为零，即 Ep=0。 势能驻值原理是变形体系虚功原理的另一种表达形式，实质上就是用能量形式表示的平衡条件。,5. 用能量法确定临界荷载,结构的势能（或总势能）Ep， 其中， V 结构的应变能 V外力势能，等于外力所作虚功的负值，即,具有 n 个稳定自由度的结构，描述其失稳后的位移需要n个独立参数a1，a2 ，an。结构的失稳形式由这n个参数决定，故结构的势能为这 n 个参数的函数

15、，即 Ep = Ep( a1，a2， ，an)，于是， Ep 的变分计算可转换为微分计算。,结构的总势能 势能的一阶变分为零,5. 用能量法确定临界荷载,有限自由度结构的总势能,给所有参数 ai 一个任意微小的增量 ai （位移的变分）， i =1，2， ，n，则势能 Ep 的变分 Ep为：,由势能驻值原理 Ep=0，而a1 ，a2， ，an 的取值是任意的（不能全为0，否则是对应失稳前的平衡状态），因此必有：,5. 用能量法确定临界荷载,对于单自由度结构，上述方程简化为,方程为一组关于a1，a2 ，an 的齐次线性方程。欲使 a1，a2 ，an 不全为零（对应结构失稳后新的平衡形式），则该方

16、程的系数行列式应为零，根据该方程的系数行列式为零的条件，即可得到稳定方程，由此可计算出临界荷载。,5. 用能量法确定临界荷载,下面举一个简单的例子，看看势能驻值原理的应用。右图表示一个刚度为k的弹簧在外力F作用下产生压缩变形 。,结构的应变能为： 外力势能为： 结构总势能为：,根据势能驻值原理，真实位移使结构总势能为驻值，即结构总势能的一阶变分等于零，即 由于 ，得 即 与胡克定律求解一致，可见势能驻值原理即是平衡条件的能量表达形式。,5. 用能量法确定临界荷载,例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。,解：结构稳定自由度为单自由度，设失稳时杆件的转角为 。,弹簧的应变能,荷载作用点的竖向位移,外

17、力势能,因此，结构势能（总势能）为,5. 用能量法确定临界荷载, 为非零解的条件为,故临界荷载为,结构总势能,由势能驻值原理 ， 得 ，于是有,5. 用能量法确定临界荷载,例：已知AB和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k， 试用能量法确定结构的临界荷载。,y1,y2,ky1,ky2,EI=,EI=,k,k,A,B,C,弹簧的应变能,荷载作用处的竖向位移,外力势能,5. 用能量法确定临界荷载,解：结构有2个稳定自由度，设失 稳时两弹簧的伸长分别是y1，y2 。,y1,y2,ky1,ky2,EI=,EI=,k,k,A,B,C,结构的势能（总势能）为,5. 用能量法确定临界荷载,由势能驻值原理

18、,5. 用能量法确定临界荷载,得 于是有 ，即,y1，y2应为非零解，故上式的系数行列式应为零，即,展开并整理得 方程的解为 所以，结构的临界荷载为,设失稳后的挠曲线为,杆件发生弯曲变形，其应变能为,而 故应变能也可写为,无限自由度弹性压杆的临界荷载,图示弹性压杆，截面抗弯刚度EI，失稳时发生弯曲变形（不计轴向变形和剪切变形）。,5. 用能量法确定临界荷载,设荷载作用点的竖直方向位移为。杆件微段竖直长度dx，变形后的位置为ds，则变形前后的长度之差为d。,所以荷载作用点竖向位移为,5. 用能量法确定临界荷载,因而，外力势能为,于是，结构的总势能为,EP 是 y 的函数，而挠曲线 y= y(x) 是未知的，故 EP 是一个泛函。 EP= 0 是对泛函求极值，即泛函的变分法。变分法既复杂且得到的是挠曲线函数 y(x) 的微分方程，而不是临界荷载。故通常不用变分法计算（精确方法），而是使用近似方法，即瑞利李兹法。,5. 用能量法确定临界荷载,假设挠曲线函数 y 为,-满足位移边界条件的已知函数，,-任意未知参数（广义坐标）。,这样临界状态的变形形式由 a1， a2， ，an 共 n 个参数确定，原无限自由度问题就近似地简化为 n 个自由度的问题。 若假设的挠曲线函数 y 只取一项 ，则简化为单自由度。,瑞利-利兹法,5. 用能量法确定临界荷载,讨 论,(1)此方法为近似法，所假设的挠曲