微分方程第5章.2(V函数)

1、5.2 liapunov 第二方法 （v函数法）,5.2.1 定理及概念,5.2.2 二次型v函数的构造,讨论方程组,连续,（5.20）,5.2.1 李雅普诺夫定理,定理4 对于系统（5.20），如果可以找到,一个定正函数 ，且此 函数沿着系统的,全导数 为常负函数或恒等于零，则系统（5.20）,的零解是稳定的。,定理5 对于系统（5.20），如果可以找到一,个定正的函数 ，且沿着系统的全导数 为,定负函数，则系统的零解是渐近稳定的。,定理6 对于系统（5.20）如果能找到一个,函数 它在 点的任何邻域内至少有,一点 ，,那么，如果存在 的某个邻域 ,使,得在 中 是定正（定负）的，则,系统（

2、5.20）的零解是不稳定的。,当且仅当 和 同时成立，,是定负的，当且仅当 和,同时成立。,定理8 对于系统（5.20），,如果存在定正的 ，且 常负，,但是使得 点 的集合不含系统,(5.20)的除零解外的任何整条正半轨线，,则（5.20）的零解是渐近稳定的。,定理9 对于系统（5.20），,如果存在函数 和某一非负常数 ，使得,且当 时, 为定正函数，,当 时， 为常正函数或恒为零，,又在 的任意小的邻域内，,至少存在某个 使得 ，,则（5.20）的零解是不稳定的。,注： 例题及定理的证明,例1 在二维空间 上,是定正的 函数。,是常正的。,关于 函数有两个结论：,结论2 如果 是一个二维

3、定正 函,数，则对于适当的 是一条包,围原点的闭曲线。,微分方程解的稳定性问题。,现在讨论如何应用 函数来确定非线性,为了简单，考虑非线性自治系统,（5.20）,其中:,复合函数，对 函数关于 求导数得到：,这样求得的导数 称为函数 沿着方程,组(5.20)的全导数，一般情况下它仍为,的函数。,（5.21）,假设 ，且 在原点的某个邻域内,满足解的存在唯一性条件。,把(5.20)的解 代入函数 中得 的,例2 求函数 沿着平,面自治系统,（5.22）,的全导数。,解 利用公式（5.21）得此函数 沿着系统,(5.22)得全导数为,例3 利用李雅普诺夫稳定型准则判定下面,系统的零解的稳定性态。,

4、解 对于系统（1），构造李雅普诺夫函数,则 是正定的且,是定负的。所以由定理6知系统（1）的零解,是渐近稳定的。,对于系统（2），构造如（1）中的 函数则,显然 在原点邻域是定正的，而,在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定正,函数），所以由定理7知系统（3）的零解是,不稳定的。,例4 构造二次型 函数证明系统,（5.23）,的零解是渐近稳定的。,证明,显然若取 ，则 ，,因而 定正， 定负 ，,故系统（5.23）的零解是渐近稳定的。,例题5 利用李雅普诺夫函数讨论数学摆振动,方程等价系统,（5.24）,零解的稳定性。,解 构造李雅普诺夫 函数如下,显然 在原点邻域内是定正的，且,若 ，则 ，

5、由定理5知零解,是稳定的。,若 ，则 是常负的，但是仔细,分析一下，式 的集合是 ，,而在原点邻域 不是(5.24)的解。,系统（5.24）的零解是渐近稳定的。,定理6的证明,证明 由前一个定理知此时系统（5.20）的零解,稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是,吸引的即可。即证明存在 使得,当： 满足 时从 点出发的解：,满足：,（5.25）,下面证明零解的吸引性，由稳定性知,必存在 使得当 时对一切,有,由于 定正， 定负，,所以 关于 单调递减有界，因而有极限,假设 ，必 ，那么对于任何的 ，,有,所以 在 上连续，故,在 有最大值，记为：,且由 的定负性知,由于 有连续的偏导数，,于是对于任何 有,即,由上式看出当t充分大时， 这,与 定正矛盾，因此 ,即,（5.26）,假设（5.27）式不成立，则由零解的稳定,性知解 是有界的，因而由聚点原理必可,抽取一个序列,且当 时， ，而使,因