第2章 波动.ppt

1、Wave,第二章 波 动,本章主要内容,2-1 机械波的产生和传播 行波 2-2 平面简谐波 2-3 物体的弹性形变 2-4 波动方程与波速 2-5 波的能量 2-6 Huygens原理 波的反射与折射 2-7 波的叠加 驻波 2-8 声波 2-9 Dopller效应 2-10 波包与群速,振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动,简称为波(wave)。机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波，如声波、水波和地震波等。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，例如无线电波、光波和X射线等。,机械波只能在介质中传播，例如声波的传播要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。但是，电磁波（光）的传播不需

2、要介质，它可以在真空中传播。,机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物理量的波动。,第二章 波 动,虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有叠加性，都能发生干涉和衍射现象，也就是说它们所具有波动的普遍性质。,除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微观粒子也能发生干涉和衍射。因此，微观粒子也具有波动性。,简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是最简单的波。我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质。,波动是振动状态的传播， 不是介质的传播,按波面形状,平面波（plane wave ）,球面波（spherical wave ）,柱面波（ cyl

3、indrical wave ）,按复杂程度,简谐波（simple harmonic wave ）,复波（ compound wave ）,按持续时间,连续波（continued wave ）,脉冲波（pulsating wave ）,按是否传播,行波（travelling wave ）,驻波（standing wave ）,2-1 机械波 行波,Mechanical Wave and Travelling Wave,2-1 机械波 行波,1. 机械波的产生和传播,机械波机械振动的传播。,2-1 机械波 行波,横波媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波。, 横波与纵波,纵波媒质质元的振动方向

4、与振动的传播方向在一条直线上的波。 疏密波：空气中的声波,横向抖动绳端,一般固体中既可有横波也可有纵波；流体中只能有纵波。实际中还有横波和纵波的叠加波。如气液分界面上的波（水纹波）就是叠加波。,光波,2-1 机械波 行波,2. 行 波,行波单向传播的振动。 驻波, 行波的特点,示意图, 各质元的振动频率相同。,2-1 机械波 行波,行波的示意图,返回,2-1 机械波 行波,波函数表示传播方向上各质元的位移随时间变化规律的函数。波动表达式, 行波的波函数,以 y 表示位移，x 表示沿传播方向上的空间坐标，则波函数为,波函数是沿传播方向的空间坐标和时间的二元函数,示意图, x取特定值 x0时， 表

5、示在 点质元振动的运动方程。, t 取特定值 t0时， 表示在 时刻各质元的沿 x分布的函数。相应的 y-x曲线称为波形曲线。,2-1 机械波 行波,波面同相点组成的曲面。波阵面 波前波线表示传播方向的曲线。波射线, 波面和波线,球面波（同心球形波面）,行波传播行为的几何描述,2-2 平面简谐波,Plane Simple Harmonic Wave,2-2 平面简谐波,1. 简谐波 波速和波长, 波速振动状态的传播速度。相速,波速的大小决定于媒质的特性。 2-4, 波长传播方向上相邻同相点之间的间距。,一个周期时间里某相位传播的距离就是波长,示意图,因此有 即, 简谐波各媒质质元作简谐运动的波

6、。,波长表示波的空间周期性,不是质元振动速度,2-2 平面简谐波,2. 平面简谐行波的波函数,坐标为x处的质元的振动状态如何？,考察t时刻x点质元振动的相位。x点相位是从“上游”以速度u传播过来的，从“上游”的O点传到x点需要时间为 ，因此t时刻x点的相位应是O点 时刻的相位，即为 。,于是，波函数为,波在某点的位相反映该点质元的“运动状态”。,所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。, 相速度（相速）,设 t 时刻 x 处的位相经 dt 传到（x +dx）处，,则应有,于是得到,即，简谐波的波速就是相速。,2-2 平面简谐波,说明： 波函数中的 为原点处质元振动的初相。, 设如果波沿x轴负

7、向传播，“上游”在右“下游”在左，t时刻x点的相位应是O点 时刻的相位，即为 ，此时的波函数应为, 波函数的其他表达式：（不妨设 ）,波函数的意义,（2） x = x0，y t 给出 x 点的振动函数。,沿波传播方向每增加 的距离，位相落后2。,说明：,因此，x点比0点位相落后,引入 ，称为波数。,2-2 平面简谐波,3. 平面简谐波的波形曲线,结论：波形曲线也是余弦函数曲线； 波形曲线以波速u向传播方向平移。,注：波形曲线平移反映了状态的传播，质元未传播而只是在振动。,例 设波源位于 x 轴的原点处，波源的振动曲线如图所示，已知波速为 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。（1）画出距波

8、源 15 m处质元的振动曲线；（2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。,于是，波函数为,即,（1）令 x = 15 m,（2）令 t = 3 s,【例】,反射波在S处相位改变。,如图示，已知：y0 = Acos t ，波长为 ，,求：反射波函数 y(x , t ),解：,全反射， A不变。,波由0经壁反射到 x 传播了距离l + (l x) = 2l x，,相位落后2(2lx)/ ，,在壁处反射相位改变了 ，,2-3 物体的弹性形变,Elastic Deformation of a Body,2-3 物体的弹性形变, 线变,弹性势能：,杨氏模量 决定于材料的特性，与形状大小无关。,返回,2-

9、3 物体的弹性形变, 体变, 切变,G和K决定于材料的特性。,压缩系数,2-3 物体的弹性形变,有波动时媒质质元的形变, 纵波, 横波,返回,2-4 波动方程与波速,Wave Equation and Velocity of Wave,2-4 波动方程与波速,波动方程是指波动物理量 所满足的偏微分方程，可通过物理定律导出。,1. 波动方程,可以证明，普遍的波动方程形式为,由此，一维情况的波动方程为,可以证明：平面简谐波的波函数是它的解之一。,(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；,(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；,2-4 波动方程与

10、波速,证明 是下列波动方程的解。,2-4 波动方程与波速,2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导,设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x正向传播。考察媒质中 x x +x 段质元：,x处的线应变可表为 ，Hook定律即为,2-4 波动方程与波速,由牛顿定律,取极限 ，则,波速为,2-4 波动方程与波速,已导出固体细棒中纵波的波速为 ，还可以证明其他波速公式如下：,3. 波 速,波速由弹性媒质特性决定。,2-5 波的能量,Energy of Wave,波的能量,波在弹性介质中传播时，介质的质元由于振动而具有动能，因发生形变还具有弹性势能。,介质质元能量是如何变化的？ 能量传播的规律如何？

11、,随着扰动的传播，质元的能量也向前传播。对于机械波来说，我们把波动引起的介质的能量，称为波的能量。,以弹性棒中的简谐横波为例来分析：,“质元”形变势能Wp，,振动动能Wk, 波的能量密度,取媒质中小体积元 ，讨论总机械能 ：,查看,动能：,势能：,总机械能为,能量密度为,平均能量密度为：,2-5 波的能量,结论： 区别于孤立的振动系统，单个质元的机械能不守恒。 因单个质元是开放的系统 简谐波中任一质元的动能和势能总是相等。等幅同相 简谐波的能量密度 具普遍意义（适用于弹性媒质中的机械波）。,的说明：,查看,适用于各种弹性波。,能量的传播：,A,能量“一堆一堆”地传播。,处， ； 处，,2-5

12、波的能量, 波的强度, 波的能流单位时间内流过某一面积的能量。,能流密度：,强度：,面上的能流：,如果 上 和 处处相等，且总有 ，,2-5 波的能量, 平面波和球面波的振幅, 对球面波,球面波,柱面波,波面,波线,波面,波线,x,y,z,球面简谐波的波函数：,柱面简谐波的波函数：,2-6 Huygens原理波的反射与折射,Huygens Principle Reflection and Refraction of a Wave,2.6 惠更斯原理（Huygens principle）,前面讨论了波动的基本概念，,其传播方向、,惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）,现在讨论与波,的传播特性有关

13、的现象、原理和规律。,是一种处理波传播方向的普遍方法。,频率和振幅都有可能改变。,由于某些原因，,波在传播中，,2-6 Huygens原理波的反射与折射, Huygens原理 C. Huygens（荷）1690,这一原理的意义在于： 提出了子波的概念 给出了波传播方向的规律 提出一种描绘波面几何方法，即Huygens作图法,原理： 媒质中任一波面上的各点，都可以看成发射子波的次波源，其后任一时刻这些子波的包络面就是新的波面。, Huygens原理的应用,2-6 Huygens原理波的反射与折射,波的衍射（wave diffraction）,衍射：,波传播过程中，当遇到障碍物时，,能绕过障碍物边

14、缘而偏离直线传播的现象。,障碍物的线度越大衍射现象,越不明显，,障碍物的线度越小衍射现象越明显。,相对于波长而言，,波的反射和折射（reflection & refraction）,1.波的反射,2.波的折射：,用惠更斯作图法导出折射定律, 折射定律,得到,2-7 波的叠加 驻波,Superposition of Waves Standing Wave,2-7 波的叠加 驻波,观察表明：弹性媒质中的机械波，满足独立传播的特性。, 波的叠加原理,波的叠加原理：几列波在空间相遇时，相遇区域中的任一点的振动位移（或波矢量）等于各波单独存在时在该点产生的位移的矢量和。,进一步的研究指出：如果两列波在空

15、间相遇时，要使它们表现出独立传播的特性，相遇点处的媒质质元的振动必须是两列波单独对它引起的振动的叠加。,光波和电磁波也如此,干涉现象频率相同、振动方向平行、相位差恒定的两列波相遇时，重叠区域内某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象。, 波的干涉,干涉现象必须有稳定的波的叠加图样。,波的相干条件,满足这些相干条件的波(源)称为相干波(源)。,干涉情况分析,设相干波源 S1 和 S2 的振动表达式为,两列波传到点 P 时引起的分振动分别为,那么,在 P 点的振动为同方向、同频率的简谐振动的合成。,P 点处的合成振动为：,对空间任意位置，都有恒定的 ，则合振幅 A 也不随时间变化。因

16、而空间各处的合振动是稳定的，即有干涉现象。,干涉相长的条件：,讨论:,满足此相位差的空间各点，合振动始终最强，称为干涉相长。,干涉相消的条件：,当两相干波源为同相波源时，,称 为波程差。,干涉相长的条件：,干涉相消的条件：,满足此相位差的空间各点，合振动始终最弱，称为干涉相消。,A点在x处质元引起的振动相位 :,解：设 A 点的振动相位 :,设 B 点的振动相位 :,B点在x处质元引起的振动相位为:,两分振动的相差为：,的各点发生干涉相消。,整理得到, 干涉相消的点需满足：,波节位置,2-7 波的叠加 驻波,线性波的叠加可以产生许多独特的现象：驻波、干涉等, 驻 波,驻波是指两列波频率相同、振

17、幅相同、振动方向相同、在同一直线上沿相反方向传播，它们叠加所形成的合成波。,设两列波的表达式为,叠加后得驻波表达式：,这一结果表明：驻波不含波动特有的相位因子 ，即不再具有波的特性（相位沿传播方向依次落后等）。,2-7 波的叠加 驻波,振幅最大的点称为波腹；振幅为零的点称为波节。,驻波具有简谐运动的特征。所有点的振动圆频率都为 ，但各点的振幅不全相同，即为 。,波腹的位置：,波节的位置：,2-7 波的叠加 驻波,拉紧的绳中的驻波演示,驻波的特点：,通常将相邻两个波节的一段称为一个驻波。,2-7 波的叠加 驻波,形成驻波的两列传播方向相反的行波，往往就是媒质分界面一侧的入射波和反射波。显然，反射

18、波与入射波的频率、振动方向和波速均相同；如果分界面对入射波完全反射，反射波与入射波的振幅也相同。, 半波损失,如果波从波疏媒质（ 相对较小）向波密媒质（ 相对较大）入射，则反射点存在半波损失；如果从波密媒质向波疏媒质入射，则不存在半波损失。,反射点P处的振动函数为,反射波在坐标为 x的任意点处的振动相位比p点落后 ，考虑到反射点有半波损失，故反射波的波函数为,（2）叠加波 为驻波：,令振幅为零：,2-8 声 波,Sound Wave,2-8 声 波, 声压,声压声波传播时，媒质内部的压强与无声波时的压强的差额。,可以证明：简谐波的声压为,声压的幅值为,声波 是最常见的机械波，也是纵波。 可闻声

19、波 是指人可以听见的声波，其频率在20 20,000 Hz范围。低于20Hz的为次声波；高于20,000 Hz的为超声波。,2-8 声 波, 声强,简谐波的强度为,声强声波的强度，即平均能流密度。,可闻声波的强度值的范围很大，我们只需要关心其绝对数值的数量级，因此引入声强级：,贝尔(Bell),分贝(1dB=0.1B),能引起人听觉的可闻声波的强度值在10-12 100 W/m2的范围，对应声强级在0 120dB。0dB称为为听觉阈，120dB称为痛觉阈。,或,超声波：, 20KHz的声波,2-9 Doppler 效应,Doppler Effect,2-9 Doppler 效应, 波源不动,接收器迎着波源运动,当波源或/和接收器相对媒质运动时，接收器感知到的频率与波源发射的频率不同，这种现象称为Doppler效应。,设波源运动的速度为 ，接收器运动速度为 ；波源的频率为 ，接收器接收到的频率为 。 相对媒质,2-9 Doppler 效应, 接收器不动,波源迎着观察者运动, 波源和接收器均相对媒质运动（相向运动）,2-9 Doppler 效应, 波源和接收器相对媒质沿任意方向运动,因电磁波无需媒质即可传播，故上述结论不适用于电磁波。又因电磁波的波速就是光速，相应的Doppler效